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STAT4
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i'^VnLUj'^r
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EXERCICES
■»
DE CALCUL INTÉGRAL.
"1
EXERCICES
DE
CALCUL INTÉGRAL
SUR
DIVERS ORDRES DE TRANSCENDANTES
ET SUR LES QUADRATURES ;
Par a. m. LE GENDRE , Membre de l'Académie royale des
Sciences et du Bureau des Longitudes , de la Société royale de
Londres, etc.
TOME TROISIÈME.
PARIS,
jyjME yE ÇQURCIER, IMPRIMEUR -LIBRAIRE POUR LES MATHÉMATIQUES,,
rue du Jardinet, n'' 12, quartier Saint- André-des- Arcs.
1816.
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EXERCICES
DE CALCUL INTÉGRAL.
/w/^yx 'V/'VW 'V*/*y% 'V%/«y% 'X/%/v%
METHODES DIVERSES
POUR LA CONSTRUCTION
DES TABLES ELLIPTIQUES,
Suivies de la Table générale des Fonctions complètes , de
la Table particulière pour le module sin 45°, etc.
JUILLET 1816.
8i2233
MIslh. Ocpt.
EXERCICES
DE CALCUL INTÉGRAL.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
JN DUS avons fait voir dans tout le cours de cet Ouvrage, et
principalement dans la première Partie , que la théorie des fonctions
elliptiques mérite d'être cultivée plus qu'elle ne l'a été jusqu'à pré-
sent, non-seulement à cause des belles propriétés dont jouissent
ces fonctions et qui leur assigjient un rang distingué dans l'analyse,
mais a cause des applications nombreuses que cette théorie peut
recevoir , et qui contribueront au perfectionnement du Calcul inté-
gral , en donnant aux Géomètres les moyens de continuer leurs
recherches sur beaucoup de questions importantes, sans être arrêtés
par cette espèce de barrière qu'ils n'osaient plus franchir quand ils
avaient dit que le problème était réduit aux quadratures.
Mais cette nouvelle branche d'analyse ne pourra rendre tous les
services qu'on peut attendre d'elle , que lorsqu'on aura construit
des Tables au moyen desquelles les fonctions elliptiques pourraient
être évaluées dans tous les cas avec un degré d'approximation con-
venable , et sans exiger des calculs trop pénibles.
Il ne peut être question de réduire en Tables les fonctions de la
troisième espèce , puisqu'elles contiennent deux constantes arbi-
traires, outre la variable principale , et qu'ainsi il faudrait que ces
Tables fussent à triple entrée , chose tout a fait inexécutable. Il
suffit d'avoir prouvé^ relativement à ces fonctions, i". que le cas
des paramètres imaginaires se réduit toujours à celui des paramètres
9^:
4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
réels; 2°. que les fonctions complètes de ce genre s'expriment tou-
jours par des fonctions de la première et de la seconde espèce ;
5°. qu'il y a une infinité de cas particuliers , déterminables algébri-
quement, où une semblable réduction peut avoir lieu ; 4°- qu'on peut
pareillement trouver une infinité de cas où une fonction donnée de
troisième espèce, est réductible indéfiniment à la première espèce ;
5°. enfin que dans tous les cas , la valeur aussi approchée qu'on
voudra de toute fonction de troisième espèce, peut être trouvée par
des séries régulières et toujours convergentes (*).
Toute la difficulté se réduit donc à construire des Tables qui
représentent les fonctions de première et de seconde espèces, cal-
culées pour un nombre déterminé de valeurs, tant du module c que
de l'amplitude (p , afin d'en pouvoir déduire par interpolation, les
valeurs des mêmes fonctions correspondantes à toutes valeurs don-
nées des quantités c et (p. Le calcul d'un pareil système de Tables^
et en général le perfectionnement des formules d'approximation,
sont l'objet des recherches suivantes , que nous allons indiquer
sommairement.
Dans le § I on donne les formules nécessaires pour calculer
jusqu'à 14 décimales , les logarithmes des fonctions complètes
E'c, F'c, et on explique la construction de la Table L Ce même
paragraphe contient quelques théorèmes nouveaux sur les fonctions
complètes , et sur l'échelle des modules dont elles dépendent.
Le § Il offre deux méthodes générales et entièrement nouvelles
pour réduire en Table toute intégrale proposée de la forme/^ud<p.
Le § III contient l'application de ces méthodes aux fonctions
elliptiques E =zfùk.d:p , F = / — . On a pris pour exemple la cons-
truction de la Table II qui se rapporte au module c = sin 45".
Le § IV contient une autre méthode purement trigonométrique
pour construire les Tables des fonctions E et F.
Dans le § V on donne des formules qui expriment d'une manière
très-simple les valeurs des fonctions E(c, (p), F(c,(p), lorsque
l'amplitude <p n'excède pas une limite donnée.
(*) Voyez première Partie, § XXIII, XXIY et XXV.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLlPTIQtJES. S
Dans le § VI on indique divers moyens d'étendre à un plus
grand nombre de cas l'usage des formules précédentes; mais les
calculs deviennent quelquefois plus longs que ceux qu'exige la
méthode générale d'approximation. On fait voir comment les
formules de celle - ci peuvent être simplifiées dans un cas fort
étendu.
Enfin dans le § VII, on donne quelques développemens nouveaux
sur la méthode connue qui consiste à exprimer les fonctions F et E^
par des séries ordonnées suivant les sinus des angles multiples de 2(p.
J I. Z)ii Calcul des Inondions complètes F'c, E'c.
1. Nous avons déjà donné dans la première Partie , art. 82 et suiv.,
des formules pour simplifier le calcul des fonctions complètes ,
Jorsque le module est peu éloigné de l'une de ses limites ; nous
allons faire voir maintenant quels sont les moyens de faire ces calculs
dans tous les cas , avec un degré d'approximation déterminé. Nou^
supposerons en général qu'on veut calculer les logarithmes des
fonctions dont il s'agit jusqu'à 14 décimales, parce que ce nombre
est celui que comportent les Tables les plus étendues qui aient été
publiées jusqu'à présent , savoir, VArithmetica Logarithmica de Briggs,
et la Trigonometria Britannica du même auteur. Les exemples que
nous apporterons dans celte hypothèse feront juger aisément des
simplifications dont les calculs sont susceptibles, lorsqu'on ne voudra
obtenir que dix ou un moindre nombre de décimales exactes.
On verra bientôt que les mêmes données qui servent à calculer
les fonctions F'c, E'c, servent aussi à calculer leurs complémens
F'^, L'o». C'est pourquoi nous ne considérerons que des valeurs de c
moindres que \/ { , c'est-à-dire que nous supposerons toujours
Fangle du module plus petit que 45°. S'il était plus grand, on échan-
gerait enlr'elles les quantités c et Z» , afin que c désignât toujours la
plus petite des deux.
Mais avant de nous occuper de ces approximations , nous croyons
devoir ajouter quelques théorèmes nouveaux à ceux que nous avons
donnés, pag. 08 et suiv. de la première Partie , sur les fonctions
Fv, E'c, et leurs complémens F'è , E'^,
6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
2. Considérons les deux suites correspondantes
I c'", c", c', Cy c% c°% c""° o, •-" -^V^
o b'", h\ //, h, h\ b^% b'°' I.
Dans la première on dislingue deux parties ; l'une à compter de c
vers la droite , se compose des modules de'croissans c, c% c°% c°°%....
dont la limite est zéro; l'autre à compter de c vers la gauche , offre
la série des modules croissans c , c' , c', c'",. . . . dont la limite est
l'unité. Ces deux parties ne forment qu'une seule et même suite de
termes liés enlr'eux par une seule et même loi qui consiste en ce
que si x ,j- sont deux termes consécutifs, on a jc = jf , etréci-
proquement j = , _^ — -^. On peut donc en partant d un
terme quelconque de la série , former successivement tous les
autres termes , tant dans le sens où la série est décroissante que
dans le sens contraire , la limite étant zéro dans le premier cas ,
et I dans le second.
La seconde série qui répond terme à terme à la première , est
composée des modules complémentaires , ensorte que si c^ et b^ sont
deux termes correspondans dans les deux séries, on aura toujours
(c^y~}-(by= j.
Au reste la série inférieure est formée suivant la même loi que
la série supérieure, avec cette seule différence qu'elle est croissante
dans le sens où l'autre est décroissante , et réciproquement. Nous
avons adopté le signe ° pour indiquer la diminution des c; ainsi
on a c' < <? , 0°° < c" , c°°° < 0°° , etc. De même nous avons adopté
le signe ' pour indiquer l'augmentation des c , de sorte qu'on a
c' "^ c , c" ^ c' , etc. Ces signes auront un effet contraire sur les
complémens ; ensoi'te qu'on aura b" "^ b , b°° >» b", etc. , b' <^ b ,
V <Ch' , etc.; et d'après celte observation, toutes les fois qu'il y
aura lieu d'échanger entr'elles les lettres <: et ^, on devra en même
temps changer les signes ° en ' , et réciproquement,
5. Il résulte de la loi de nos deux suites^ que si jr et^ sont deux
termes consécutifs de la première , p Qi q les deux termes corres-
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 7
pondans de la seconde , on aura géne'ralement xq =2 V/y^; ce qui
donne dans un sens et dans l'autre, ces deux séries d équations :
cb° = 2 \/{c°b) , c*h'° = 2 \/(c'°b'') , 6-°»^°°° = 2 v/(c°°»^°°) , etc. ,
C'^ = 2V/(C^'), C" b' = 2^(c' b") , C"'b" z=:2)/(c" b'"), etC. '
On remarque d'ailleurs dans celle-ci que l'e'change des lettres c et ^
peut se faire en même temps que celui des signes ° et ', et qu'alors
l'une des deux séries se déduit de l'autre.
4. La fonction F'c peut s'exprimer de deux manières; l'une au
moyen des modules décroissans c, c°, c°% c°°°, etc. ; l'autre au moyen
des modules croissans c , c', c", etc.
La première expression est, suivant l'art. 65 y F'c=-K, où
l'on a
c ' c° ' c°° * (7^°°
Mais les formules de l'article précédent donnent — — = —
c i/b *
Q \/c°° b°* . .
~~7°~ ^^ "ÎTF ' ^^^' ' ^^"^^ ^^^ ^"^^ P^"^ simplement
K = \/(^yb°b°°b'°°.., etc.),
où l'on se souviendra que la suite b , b° _, b°° , b°°'', etc. converge
rapidement vers une limite égale à l'unité.
La seconde expression , d'après les formules des art. 45 et 68 ,
est F'c=: — log -^ , où Ton a
¥J =^/(- c'c"c"' \ — ^^ iv/^ n^ 2t/Z>^
V \c' / b ' b' ' b" — "^F^ »
et où l'on suppose b^ assez petit pour que i — c^ soit négligeable.
Egalant entr'elles les deux valeurs de FV, on aura cette formule
générale
• 5»- /Cb\...b°°'>b'^b°bh'b" b-^~\ r A
-^ wK -^ ; = ï^g ~ .
où l'oD: voit que la suite b''°°b°'b"bb'b" doit être prolongée à
8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
gauche , jusqu'à un terme V qui ne diffère pas sensiblement de
l'unité , et à droite jusqu'à un terme 5^**"^ assez petit pour que
le suivant ^, ou au moins son quarré, appartienne à l'ordre de
décimales qu'on peut négliger.
Si on change h en c, on aura semblablement
-a Vi -, ) = l^S 7 '
formule qui ne diffère pas essentiellement de la précédente; elle
suppose que (c^Y est négligeable ainsi que i — c.
5. Lorsque c = sin 45°, on a trouvé (pag. 99, première Partie)
- = — log — : donc alors on a
M
C
En bornant l'approximation à 14 décimales, on peut faire /* = 4
et y = 3 , ce qui donnera
c''c"c'c c°c°°c°°o
çoooo ' -~— T" y
et on aurait en même temps c'c"c"' = b^b^'b'"".
En faisant fj(,=.S , >' = 4> l'équation serait exacte jusqu'à la
28""' décimale.
Lorsque c = sin i5% on a trouvé (pag. 102)^^^ = — log — ;
donc , dans ce cas j le théorème précédent donne
c ... c'c"cc cV°°c°°° . . . c'""'
^ a'*
c-"
. = 3.4'".
6. Si on considère les équations successives
h°c = 2 \/{bc°) , ^°°c° = 2 v/(^V°°) , ^»°°c°» = 2 /(^'^c'"») , etc. ,
et qu'on les continue jusqu'à ce que leur nombre soit/*, le produit
de toutes ces équations donnera
d'où
i
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 9
d'où Ton lire j en supposant i — V^ négligeable ,
changeant c en h et re'ciproquement, ce qui oblige d'échanger en
même temps les signes ° et ', on aura
Multipliant ces deux équations entr'elles , il viendra
/c... c"'c"c'c c°c°"c°'' . . . c^^~\ fV ... b°°°b°°h°b b'b"b'" . : . b'^~\ _ 0.fC
\ ~ )k y^ ;-4 •
Multipliant de même les deux équations du n° 4 > et comparant les
deux produits, on en tire ce théorème remarquable.
^ = — -ïoff -f-.log -7-.
Ainsi c^ etb^ étant deux termes très-petits, pris dans les deux
suites générales à égales distances des termes moyens <? et ^, la
relation entre ces termes est telle que le produit de log -7- par
log -7- est égal à -7.4 • Celte équation n'est qu'approchée; mais
l'erreur diminuera de plus en plus à mesure que /n augmentera ,
et en général elle sera du môme ordre que le quarré des quantités
Dans le cas de c = ^ = sin 45% on a également c^= b^ ^ et
de là résulte Ioêj -~ = -.2'^, comme dans l'art. 4-
7. On peut parvenir plus directement à l'équation de l'article
précédent. En effet faisant
lo EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL,
on a
F'c = ^.R = - Iog4-,
F'i = -.K'=: - log-f ;
donc en multipliant ces e'quations , il viendra
8. On peut , pour plus de simplicité ^ supposer que c est déjà
assez petit pour que i — ^ ou ^ c* soit négligeable. Alors l'équa-
tion de l'art. 4 donnera
Celte formule offre le moyen d'exprimer directement le logarithme
d'un nombre quelconque par le rapport de la circonférence au dia-
mètre , savoir ^ en multipliant ce rapport vr par ^ \/(- c'c"c'^', etc. j,
quantité qui se déduit du nombre donné , au moyen de quelques
extractions de racine quarrée.
9. Veut-on , par exemple , avoir l'expression de log 2 , on fera
- = 2"*, ayant soin de prendre m assez grand pour que les quan-
tités de Tordre c'' ou (^)'""~'^ soient négligeables.
Ainsi en faisant f?i= 10, les erreurs de la formule seront de
l'ordre (i)'^; on aura donc, à moins d'un 60000^™% la valeur de
log 2 par l'équation
I TV / /c C C C'^\
,0l0g2 = -y/(— ^),
dans laquelle il faut substituer les valeurs c = C - V , c' = ^4— = — ^ ,
c" = f^ = ^'i, .'" = ^ , ,.. = ^. On borne celte
suite à c'% parce que la différence i — c^ est beaucoup plus petite
que l'erreur de la formule.
Le résultat donne en effet log 2 = o.GgSiSo , ce qui est conforme
au degré de précision qu'on voulait obtenir.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 1
En faisant m = 20 ^ on aurait un terme de plus à calculer , et on
obtiendrait au moins dix de'cimales exactes.
10. Puisqu'on a F'<? = - R et F'^ = — log — ^ il est facile de
trouver la valeur du module c , tel qu'on ait F'è = nY'c ; pour cela
on aura Te'quation ^Trn.'/' =log — , qui exprime'e en logarithmes
c
des Tables , donne
lofif — == T Trmn . 2 .
C
Cette équation de'terminera directement c*^, si toutefois fx est connu;
or £^ e'tanl connu , on en déduira aisément les modules précédens
</*~^ , c*^""^, et enfin c , par la méthode de l'art. 5g.
Quant à la valeur de /uc , elle sera égale à 4 ^ depuis c = sin 45°
jusqu'à c = sin 26° 54', c'est-à-dire depuis n = i jusqu'à n= 1 -,
à peu près.
Elle sera égale à 3 depuis c = sin 26° 34' jusqu'à c = sin 3° 1 1',
ou depuis /i = I i jusqu'à /i = 2 f .
Enfin on aura /-t = 2 depuis « = 2 f jusqu'à /î=5|,et^=i
si on a n "^ 5 ^.
Ces résultats sont fondés sur la limite jusqu'à laquelle il convient
de prolonger la suite des modules c , c% c°% etc. , pour obtenir un
même nombre de décimales exactes que nous avons fixé à 14. Nous
allons faire voir comment on détermine cette limite.
II. Si l'on est parvenu dans l'hypothèse dont il s'agit, à un terme
b^ tel que — log l/* soit moindre qu'une demi-unité décimale du
14* ordre, alors on pourra regarder log b^ comme nul ; et à plus
forte raison^ les termes suivans log b^'^^, log Z»"^"*"^ , etc. Ainsi
^~^ sera le dernier des modules b dont il faut tenir compte.
La série des modules c , c°, c°°, etc. comprend toujours un terme
de plus ; elle devra par conséquent être terminée au module c^. la
12 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
,/^— I
raison en est qu'on a alors c^ = f- j . —~, et qu'ainsi le log
de 6^ est ne'cessaire pour composer la valeur de log c^ .
Passé le terme c^, il n'y a pas lieu de considérer le suivant c/*"^^ ,
parce qu'on aura sans erreur sensible c^'^^ = (y^)S ^t qu'ainsi
la quantité — log — ne change pas en mettant/A + i à la place de /-t.
2'" c^
Cela posé , il est facile de voir qu'on connaîtra les limites des
diflférens cas , en commençant par déterminer la valeur du module c
qui donne pour son complément log b = — ^ (io)~'^.
Le module supposé c étant extrêmement petit, on a d'une manière
suffisamment exacte b = i — ^ c" et log b =. — ^ "^^^ > donc
c" = M(io)-'^ et c=( io)-7 V/M, ou
log c =3. 1811078.
Si on assimile c au sinus d'un arc , on trouvera que cet arc n'est
qu'une fraction de seconde et qu'on a c =sin o"o3i3.
Il faut maintenant partir de ce module très-petit pour former la
suite des modules croissans c, c', c", c'", etc.; c'est un calcul qu'on
pourra faire d'une manière suffisamment exacte pour notre objet ,
par une Table à sept décimales seulement.
On aura d'abord c'==-i^^ ou simplement c'=2\/cj ce qui
donne loge' =6.8915839 et c'=: sin 0° 2'4o" 70.
Pour avoir c" je fais c' = tang^^Q, j'ai / tang ^9 = 8.4457919 ,
i ô = 1° 35' 55" 78, Q = 5° 1 1' 5i"56; donc c"== sin 3° 11' 5i"56 et
loge" = 8. 74648 36.
Si on fait de nouveau c"=tang'^ 6', on aura /tang^ô'=9. 37324 18,,
i6' = i3°i7'i8"84, 6'=:26°34'37"68; donc c"'== sin 26=34' 57"68
et log c'" =9.6506981.
Soit enfin c'" = tang' j ô", on aura l tang | Ô = 9.8253490,-
1 8" =33° 46' 40" 1 5 , 6"= 6f 35' 20" 3o ; donc c- = sin 67° 53' 20" 3o^
et log c'^ = 9. 9657898.
12. II résulte des calculs précédens, 1°. que depuis c=sin67° 35r
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i5
jusqu'à (?=sin26°54', on devra se bornera calculer les quatre termes
b, h\ b^% 1"°% et les cinq c , c% c°% c°°% c°°°° ;
2°. Que depuis c = sin 26° 34' jusqu'à c =sm 3° 1 1', on n'aura à
calculer que les trois termes b, b% b°% elles quatre c, c% c°% c°°°;
5°. Que depuis <? == sin 3° 11' jusqu'à c = sino° 2^40", il suffira
de calculer les deux termes b, b% et les trois c, c% c°°;
4°. Que depuis c = sin 0° 2' 40" jusqu'à c=sino"o3i3, il suffira
de calculer le terme b, et les deux c , c°;
5°. Enfin qu'au-dessous de c= sin o"o5i3 , on n^a besoin que du
seul terme c.
Tel est le nombre des termes de la se'rie des modules et de celle
de leurs comple'mens , qu'il sera ne'cessaire de calculer dans les
difTerens cas, pour obtenir i4 décimales exactes dans les logarithmes
des fonctions F'6>, E'c, F'^, E'b. Nous allons faire voir maintenant
comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la
manière la plus facile.
Formation de l'échelle des modules.
i3. Connaissant les logarithmes de c et ^ , il s'agit de trouve^
ceux des termes suivans c° et b°. Pour cela, soit c° = x, l'équation
b'c=: 2\/{bc°) donnera œ = ^' (i — x") , et en faisant pz= -^ — y
la valeur de x développée en série régulière sera
Mais il importe de calculer directement log jc ', or la valeur
^ = i^Çi±4£)^ donne
d'où l'on lire en intégrant ,
logx=:logp-;.»-f--.;^^-^.-f + -3-4.-^ -etc.
Ces logarithmes sont hyperboliques ; pour les changer en loga-
rithmes vulgaires, il faut multiplier les parties algébriques parwf^
i4 EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
c'est pourquoi faisant
P = mp"- — I mp^ + -^ mp^ — etc. ,
on aura log x ou
log c° ■=. log p — P et log ^' = — ^ P ;
ainsi on connaîtra à la fois log c" et log ^°. -
La même formule servira à calculer les termes c'° et ^°°, au
moyen des deux précëdens c°, Z>% et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on
ait formé l'échelle entière des modules dans les limites déterminées
par l'art. 12.
Nous remarquerons qu'en supposant toujours qu'on veuille obtenir
i4 décimales exactes^ la valeur de P ne comprendra jamais pins de
trois termes; on trouvera même que le troisième ne devient nécessaire
que lorsque c est peu éloigné de la limite sin45°; dans les autres
cas, il suffira des deux premiers termes mp"" — \ nip^, et souvent du
seul premier terme mp"^.
14. Si la première valeur du module c est donnée sous la forme
c == sin 6 , et qu'en même temps l'angle 6 , ainsi que sa moitié,
se trouve directement et sans interpolation dans les Tables, alors
on aura immédiatement les quatre modules c , b , c% b°, par les
formules
casino, Z' = cosÔ, c» = tang*|ô, b" := -^^^:
On calculera ensuite les termes c°°, b°° en les déduisant des termes
précédens c°, b" , par les formules de l'article précédent. C'est ainsi
qu'on a procédé dans les calculs qui ont servi à former la Table gé-
nérale des fonctions E'i?, F'c dont nous parlerons bientôt.
i5. Si la valeur de c est donnée en nombres rationnels assez
simples , il pourra être facile de trouver les valeurs logarithmiques
de b , c°, h° au moyen des formules
et pour cet effet on emploiera la Table connue qui donne jusqu'à
i5 ou 20 décimales^ les logarithmes des nombres de i à 1161 , ou
même de i à 1200. Les calculs seront encore plus faciles si la valeur
de b est donnée immédiatement en nombres simples.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 5
Si on ne connaît que log c , dont le double sera log c% on cher-
chera dans une Table ordinaire à sept décimales , un nombre qui
approche de c" jusqu'à la sixième ou la septième de'cimale ; on
transformera ensuite cette valeur en fraction continue , afin d'obtenir
une fraction ordinaire exprimée en nombres assez simples qui
approche beaucoup de la valeur de c*. Cela posé , on appliquera la
formule suivante qui sert à trouver facilement Iog(i-|-A) ou
log (i — A) ^ lorsqu'on connaît log A ;
log A = log « + /'^
log(i±A) = log(iri=«)=fc^-(i + -^|^J; •
et pour faciliter le calcul de cette formule, on fera
r' = -^, logR = /«+//' + ^/-'.
't3
et on aura
log(i ± A) = log (i ±«) ± R.
Par le moyen de log c% on connaîtra donc log (i — c*), ou 2 log 5;
ensuite il faudra trouver log (i-f-Z») , ce qui se fera par l'application
de la même méthode. Enfin connaissant log ( i +^) , on aura immé-
diatement les logarithmes de c° et b°, par les formules
b' =
2[/b
16. Si on ne veut pas pousser l'approximation au-delà de dix
décimales , le calcul des premiers modules se fera sans difficulté par
les Tables de Vlacq ou de Wega , en faisant les interpolations
nécessaires, et ayant égard aux secondes différences. On peut à cet
effet suivre deux méthodes différentes.
1'. Etant donné log c ou log sin ô ^ on cherchera l'angle 9 avec tout
le degré d'exactitude que la Table comporte , c'est-à-dire en calcu-
lant les fractions de seconde jusqu'à la cinquième décimale au
moins; 6 étant connu, on aura par les interpolations ordinaires,
les logarithmes des quantités b, c°, b% savoir ; ^ = cos G, c° = tang»^ 9 ,
c
Ces calculs pourraient être faits de la même manière , lorsqu'il
i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
s'agira de trouver c°° et b""; mais ils deviendraient plus compliqués,
et les interpolations moins exactes à raison de la petitesse du nouvel
angle ô. Il sera donc préférable alors de se servir de la méthode
de l'art. i5.
2°. Pour éviter les interpolations assez pénibles qu'exige la mé-
thode précédente , on peut opérer comme il suit.
L'angle 9 auquel répond / sin ô, tombe toujours entre deux angles
de la Table ^ qui ne diffèrent entr'eux que de lo". Soit a celui des
deux qui est multiple de 20", et soit
/sinâ = Z sin a + r;
on déduira de là ,
/ cos ô = / cos a — r tane* ^ (i -\ r-) »
/tangiâ == / tangi a + -^(i-f-^Mr tangua).
Ainsi on connaîtra les logarithmes de b et de c"*; ensuite on aura
celui de b° par la formule b° = £±_i_li.
Si l'on fait l cos B = l cos a — R , Z tang ^ 9 = Z tang ^ a + S ,
le calcul des corrections R et S deviendra fort simple par le moyen
suivant. Soit /' = r tang'^a , on aura
log R = log /•' -f- / -f- /',
logS = log-^ + A/;
cos U
Au reste il n'est point à craindre que les erreurs se multiplient dans
ces calculs, puisqu'on suppose toujours 9 ou a <:^ 4^°. ;
Fonnules pour le calcul des quatre fonctions F'c, E'c , F'b, E'^.
17. Nous partons toujours de l'hypothèse que l'on veut avoir
les logarithmes de ces quatre fonctions, approchés jusqu'à la qua-
torzième décimale; d'ailleurs on peut toujours supposer c << sin 45".
Cela posé , nous commencerons par le cas qui exige les plus longs
calculs , celui où le module c est compris entre sin 45' et sin 26° 54';
^îors l'échelle des modules doit être prolongée jusqu'aux termes
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 17
^000 ^ ^0000 ^ inclusivement. Les autres cas seront susceptibles de
diverses simplifications à mesure que le module c deviendra plus
petit.
Les valeurs de F'c , E'c se trouvent d'abord immédiatement par
les formules
F-^ = ^.K, K=:y/(i.*'4»-4-),
E'c = LF'c , L = — (i — \ c^c"^ — l c^«.s'°'c°*»).
Pour simplifier le calcul du coefficient L, j'observe que les deux
termes j C^c"" (i +^ c"°) peuvent se réduire à un seul; car on
a d'une manière suffisamment exacte, i -\- ^ c""" = \/ Ç i -{- 0°°° )
= \/\^) ' ^ ^^ ^^^^'® ^^^^' ~T^^ = "jT^* ^"^
Ainsi faisant /•= j c**c*"'.-î^ , on aura
Lorsque c est donné sous la forme sin ô ^ et que l'angle 6 ainsi
que ^ ô , se trouve immédiatement dans les Tables , on a plus
simplement
Tout se réduit donc à trouver log ( i — r) , ce que l'on fera par
la formule log ( i — /•) = — mr — ^ wr* — ^mi^, dont il suffira de
calculer trois termes au plus.
Le premier terme mr de celte valeur peut être calculé avec une
précision suffisante par des Tables à dix décimales; car il ne peut
avoir au plus que dix chiff"res significatifs : et quand même il y
aurait une erreur d'une ou de deux unités sur le dixième chiffre
significatif, qui sera au rang delà quatorzième décimale, cette erreur
sera confondue avec celles dont les autres logarithmes sont suscep-
tibles; car en poussant l'approximation jusqu'à la quatorzième déci-^
3
ï8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
maie ^ on ne peut prétendre que la quatorzième décimale sera
toujours exacte.
18. Venons maintenant au calcul des fonctions complémentaires
F'^, E'Z». Les formules des art. 68 et 78 de la première Partie
donnent , après avoir échangé entr'elles les lettres b et c , et en
supposant ytt = 4
On voit d'abord qu'on a exactement K' = R, et qu'ainsi K' est déjà
connu ; ensuite pour changer les logarithmes compris dans ces for-
mules en logarithmes vulgaires , soit h = — log -^5-0? ^^ logarithme
tiré immédiatement de la série des modules, sera un logarithme
vulgaire , et on en conclura
F'^ = KMA.
Pour calculer E'^ , il faut connaître le coefficient L^; or les formules
des articles cités, donnent , après les permutations convenables,
V=c'- c, [•.• + ^(^") + /(^r) + etc.].
Mais on a i — b z= c \/c° , i -f- Z» = — — , c" — cb \/c° = c y^c" ;
y c
donc
L' = cy/c°— cy/(bc°c°'> ) — c i/(^£!^£!!!) — etc.
Celte suite est fort convergente, mais on peut lui donner une forme
plus commode; en effet on a les équations
y/(^c°) = ^ ^"c, d'où résultent \/{bc°c°°) = i b''c[/c°%
/ /bc°r°°c°°°r°°°°\
V/(i-c-») = i b^^^C^ y/ (. M^ ) = i b°'">cc°c°'> y^c'^^o,
etc. etc.
donc
h' = c \/c° — ^ c^'b" [/c"" — ^ c'c"^*"" ^c""" — l c'c'c'°^°°" ^/c*»°° — etc.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 19
Pour rendre cette expression tout à fait rationnelle, on subslituera
les valeurs V/c»= - (i+c°)^ \^^'° =f (1+^°°)^ etc.; et en obser-
vant qu'on a b' = —^^^ , ^°» = ^^^^^-^ , etc., il viendra enfin
ou
L' :== 1 o« + i cV + i cV'c"' + y^ c V°c°°c°" 4- etc.
Comparant cette expression avec celle du coefficient L qui sert à
déterminer E'c, on trouve exactement L'= i — L.
Ce re'sultat aurait pu se déduire directement de notre the'orème
sur les fonctions complémentaires , savoir,
2,
car en substituant dans cette équation les valeurs F'c = - R ,
E'c = LF'c , E'^ = L'F'^ + é- j on trouve immédiatement
L' = I — L ;
ainsi on a une nouvelle vérification du théorème dont il s'agit.
19. Il suffit, pour l'approximation que nous voulons obtenir, de ''
prendre
L' = i c» (i + I c» + ^ c'c»» + i cV°"c'°° ) ;
mais ces quatre termes seraient peu commodes pour le calcul loga-
rithmique, et on va voir qu'ils peuvent être réduits à deux.
En effet soit j-= i -h^C'^^ c°c°» + i c°c'»c""'% j'observe d'abord
qu'on a i + c°° = -^~- ; donc i + 7 c' (1 -f- c°» ) = i + \/c^% et
^ ^ ., ^ ^^ \
La seconde partie de cette valeur se réduit à un seul terme , parce
qu'on a avec une exactitude suffisante ,
1 - 1 c- = v/(i - C- ) = ^/(t^) = ^( h'- y/ h- ) j
il en résulte
jto EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Mais on a
b° b°°
et celte valeur se réduit ultérieurement à -— r . —-7- : donc si on
y/o \/o° '
fait i + v/c-==^, on aura C^==^.^.-===K.^^„,etC=K^(^„)•
Cela posé , la valeur de j devient
c°c°° —
et le second terme se réduit à ■k'TTû' (^''°°)*5 donc enfin on aura
Par ces transformations non-seulement la valeur de L' est réduite à
deux termes ; mais le second de ces termes reste toujours très-petit
par rapport au premier; j'observe d'ailleurs que le facteur (Z»°°°)*,
très-peu différent de l'unité , peut être omis sans qu'il en résulte
une erreur d'une unité décimale du quatorzième ordre sur le log.
de L', et encore moins sur celui de E'^.
20. Cela posé, le calcul de E'^ se fera par les formules
E'^ = ji(i + A),
Nous avons fait voir d'ailleurs comment du log. connu de A on
déduit log (i -{-A) ; ces formules Jointes à celles que nous avons
déjà trouvées , savoir ,
7 l/Aooo
E'c= — F'c(i--r), r = ic'=c-.-^^ „
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 21
«ont ce que l'analyse parait offrir de plus simple pour calculer
jusqu'à la quatorzième décimale , les logarithmes des quatre fonc-
tions F'c^ E'c, F'^, E'^, dans le premier cas de l'art. 12, c'est-à-
dire lorsque le module c est compris entre sin 45° et sin 26'' 34'.
21. Ces formules se simplifieront encore lorsqu'on voudra obtenir
une moins grande approximation , ou lorsque c sera plus petit
que sin 26° 54', parce qu'alors il y aura moins de termes à calculer
dans la série des modules.
Ainsi depuis c = sin 26° 34' jusqu^à c r= sin 3" 11', ou depuis
c = 0.447 jusqu'à 6'=o.o558, on pourra faire b"'" = i , et prendre
c°°° pour le dernier terme de la suite des modules , ce qui donnera
Ces formules conviennent au second cas de l'art. 12.
22. Le troisième cas à considérer est celui où c est compris entre
sin 5° II' et sin 2' 4^", c'est-à-dire entre o,o558 et 0.000776. Alors
on pourra faire b°° = 1, et prendre c°° pour le dernier terme de la
série des modules; on aura donc pour déterminer Y'c et E'c, les
formules
Dans la dernière^ le facteur 1 — ^ c°^c°° qu'on peut représenter
par (b^^Yf ne peut produire au plus que deux unités dans le qua-
torzième ordre de décimales ; car la limite supérieure de c est dé-
terminée par la condition que log b*° n'est que d'une demi-unité de
cet ordre. Ainsi, peu après cette limite , on pourra négliger tout à
fait ce facteur , et faire E'c = tW? ^^ T" s'accorde avec la formule
du n" 83, première Partie ; mais elle est réduite ici à une expres-
sion encore plus simple.
Dans le même cas, les fonctions F'Z», E'^ se calculent par les-
éê EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
formules
1 r«/^°B
E'^ = l(i+A), A = ic'R»F^.(i-ïi^°);
— c'*c°°
et on remarquera que le facteur i — '^ ne peut donner au plus
qu'une unité décimale du onzième ordre : ainsi il devra être né-
gligé si on se borne à dix décimales; alors on aurait simplement
E'^ ^^^ K C ^ "^" « ^^^'^ F'^) > ^^ ^^^ s'accorde avec les formules des
art. 79 et 82; mais celte nouvelle expression est encore la plus simple.
23. Ces formules sont déjà réduites à un tel degré de simplicité,
qu'il serait presqu'inutile de faire mention des deux derniers cas
de l'art. 1 2 ; l'un où l'on peut faire ^^ = i , R = -^ , h = ~ l ^
= / - + 7 Z r; l'autre oii l'on peut faire ^ = i ^ R = 1 , A = log -.
Il ne reste plus qu'à faire voir dans quelques exemples , l'appli-
cation des formules précédentes; nous commencerons par le cas où
il faut apporter le plus de précision dans les calculs , mais qui offre
plusieurs moyens de vérification; et pour mieux juger de l'exactitude
des formules ^ nous ne négligerons les décimales qu'au-delà du
quinzième ordre.
Exemple I. c = sin 4^^'-
24. On aura c' = tang' 22° | = (\/2 — 1 )* , b° =: 2 1 /— , ce qui
donne d'abord les logarithmes suivans ,
c,b... 9.8494s 5oo2i 68010
tang22*|... 9.61722 43i4^ 62137...^"... 9.99351 18092 42ii3
C 9.234448629324274.
Pour trouver les termes suivans c°° et b"" , on calculera par la
méthode de l'art. i3 , d'abord/?, ensuite les différens termes qui
composent P, et que nous désignerons ici par 1) , 2) , 5).
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aS'
|c° 8.95341 86356 60293
(^c°)\., 7.86685 72675 20586
b° 9.99351 18092 42113
p . . 7.87332"5458o 78473
m.
0
p'-
2
a •
P'-
9
3)
5-74665 091 61 Sy
9.63778 45ii5 og
5.38443 52274~5^
5.74665 0916
0.17609 1259
1 .30717 74
5.74665 09
0.34678 7
7.40061 5
D'après les logarithmes trouve's des trois parties de la valeur de P,
le premier terme 1) se trouve par des Tables à dix décimales >
0.00002 42345 64925; mais comme on pourrait craindre, dans
ce cas , que la quatorzième décimale ne fût pas exacte , et encore
moins la quinzième , voici le moyen d'obtenir une plus grande
précision.
25. 11 s'agit de trouver le nombre A d'après son logarithme
5.38443 52274 57; je trouve dans les Tables qu^en faisant....
a = 0.00002 4^3 , on a
log a = 5.38435 34141 37
logA = 5.38443 52274 5j
r = 8 i8i33 20
ce qui donne log A=log«-|-r; donc A=«e^'', A— -a = «(e^'- iV
e-^^ï'-)=«Mr6^^'-
ae^ "'' ( e
et enfin ^
log (A — a) = / (aMr) H-i r +
Voici le calcul de cette formule :
/' 5.9128240168
a 5.38435 34141
M. o. 36221 SÇfd^Sj
{r 4 09067
iVM/-»... 6
A — «...
0+g-
4-
120
Mr'
( MV\
\ 120/
I .65943 40269
A — a = 0.00000 00045 64929
a, . . 0.00002 423
A = 0.00002 42345 64929
24 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL:
On voit que la formule pourra , dans des cas semblables , être
réduite aux deux premiers termes^ de sorte qu'on aura log(A — a)
= l(aMr) + j/', et l'usage en sera extrêmement facile; d'ailleurs
il suffit de calculer log (A — a) avec sept décimales , pour en tirer
la valeur de A exacte jusqu'à la quinzième décimale.
26. Nous venons de trouver la valeur du premier terme 1) de P ;
les termes 2) et 5) s'obtiennent sans difficulté par leurs logarithmes :
ainsi on en conclura
1)... 0.00002 42345 64929
2) — 20 285i I
3) + 252
P = 0.00002 42325 56670 iP o.ooooi 21 162 68335
p..., 7.87352 54580 78475 b'^ 9-99998 78837 3i665
c*"... 7.87530 12255 4i8o3.
V Connaissant c"" et h°% on se servira de la même méthode pour en
déduire c^°' et b""-" ; mais la quantité P se réduisant à son premier
terme w/?% le calcul se simplifie beaucoup.
ic^° 7.57227 12298 77822 ;?' 0.28910 9i5
l^c°'-y... 5.14454 24597 55644 m 9.65778 451
^' i:b°\.. I 21162 68535 p 9.92689 346
p. 5.144554576023979
p 84507 ^P--'- 0.000000000042254
V"^*"^ c°°° 5.14455 45759 39472 Z»°-°... 9.99999 99999 57746
11 ne reste plus qu'à calculer le terme c°°°% ce qui se fera simplement
par la formule c"'»" = ( 1 c°°°y~.
^c°°°... 4.84352 45802 75491
9.68704 91605 50982
42254
c°°°°.... 9.68704 91Ô05 93256
27. Ayant formé ainsi l'échelle entière des modules, nous cal-
culerons
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 25
culerons d'abord K et F'c, comme il suit :
r o.i5o5i 49978 51990
b" 9.99361 18092 42ii5
b"' 9-99998 78837 3i665
V b°°\... 9-99999 99999 ^77^6
R" o.i44toi 416907 635i4
K.,... 0.07200 73453 81767
O j'Tt.... 0.19611 98770 3oi53
F'C... 0.26812 7222i 11910
Pour calculer ensuite E'c, on commencera par former le logarithme
de r qu'il suffit ordinairement d'exprimer avec dix décimales, mais
que pour plus de sûreté on peut porter jusqu'à douze ; ensuite on
en déduira les différens termes de log( i — r) que nous désignerons
à l'ordinaire par i) , 2), 5) ,
c°- 8.46889 72586 485
i-c°° 7.57227 12298 778
I : [/b°°. . . 50290 671
V/^""" -^ 211
r 6,o4ii7 i5i75 72
r. . . . . . 6.o4ii7 16175 72
m 9.63778 43ii3 00
1) 5.67895 68288 72
i r 5.74014 l5
2) 1.41909 73
|r 5.865o8 o
5) 7.28417 7
La valeur du premier terme i) se trouve par les Tables a dix
décimales, 0.00004 774^0 7077 ; pour la déterminer avec plus de
certitude^ et jusqu'à la quinzième décimale^ on fera usage du moyen
indiqué art. 26.
Soit a = 0.00004 775, on aura
log rt = 5.67897 33769 20
5.67895 68288 72
1 76470 48
r 5.24420 4o64i
M 0.36221 66887
a 5.67897 33769
logA
r
— 87735.
a — A.... 1.28538 4355ij
log A = log a -^ r.
log {a — A) = log («M/-) — i r
« — A = 0.00000 00019 29253
a z=z o.oooo4 776
A = 0.00004 77480 70768
26 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On Tolt combien la première dëlerminalion de A, par les Tables à
dix décimales, était approchée, et on en conclura que l'usage de ces
Tables sera toujours suffisant dans les cas ordinaires, lorsqu'on ne
veut pas obtenir plus de quatorze décimales.
Les deux autres termes 2) et 3) de la valeur de log ( i — /') , se
trouvent sans difficulté par leurs logarithmes, et on en déduit le
résultat suivant pour log EV.
1)... o.oooo4 77480 70768 F'c... 0.26812 72224 iigio
2)... 26 24807 4.... 9.86246 15856 85782
5)... 392 o.i5o58 86060 96692
/(i — /')= — o.oooo4 77606 96767 4 77606 96767
Ev. . . o.i5o5è 08665 99926
28. On peut vérifier la valeur trouvée pour E'c par l'équation
des fonctions complémentaires qui devient dans ce cas ^7r=2FE — F*,
et d'où résulte E = ■ "^^ = — ( i + A) , en faisant A = KF :
K.... 0.07200 704:65 81767
F.... 0.26812 72224 11910
A.... o.54oi5 46677 95667
D'après cette valeur de log A , on trouve aisément une fraction
exprimée en nombres peu considérables qui approche beaucoup
o_,
de A; cette fraction est ^ = a. Prenant son logarithme avec
quinze decnnales, amsi que celui de 1 + « =-^-~ , et appliquant
la formule de l'art. i5^ on trouve ce qui suit :
871... 2.94001 81660 07665 1269.... 5.io546 16220 94706
598... 2.69988 50720 76688 398.... 2.69988 50720 76688
a..... o.54oi5 60829 55976 i-^a... 0.60667 86600 21017
A.... 4667796667 1)— 5656 66564
r = — 6161 4o5o8 i-f-A... 0.60567 81964 46663
log A = log a — r 2K 0.57605 75410 46768
E'c. . . . . o.i5o64 o8555 99926
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 37
r 3.71192 55335
\-\-a..,, o.5o357 855oo
/•' ».. 3.20834 69853
a o.54oi5 50829
\r' — 808
(1) 5.54848 19854
On voit que la valeur trouvée pour log EV s'accorde jusqu'à la
quinzième décimale avec celle que nous avions déjà trouvée , ce
qui confirme pleinement tous ces calculs.
Il n'y a pas lieu de calculer dans cet exemple les valeurs des
fonctions F'/^,E'Z', puisqu'elles sont les mêmes que celles de F'c
et E'c ; mais si on exécute ces calculs par les méthodes indiquées,
on obtiendra deux nouvelles vérifications de nos formules.
Exemple II. c = \/i — i = tang \ tT.
29. Cet exemple est compris dans le second cas de l'art. 12 ;
ainsi il ne faut prolonger l'échelle des modules que jusqu'aux termes
^00 gj ^000. gj. d'abord nous supposerons qu'on connaît seulement
log €■■==. 9.61722 43146 6214^ qui donne
log c'^ = 9.25444 86293 2428.
De cette valeur il faut déduire log h-^ pour cela on trouve d'abord
la valeur approchée c*= o.i 71575 , laquelle , par les fractions con-
tinues , se transforme en -^ • soit donc c' = A et -3^ =« , on aura
I — a-=—ô~' Or par la Table à vingt décimales, on trouve les
logarithmes de <2 et de i — a comme il suit :
169... 2.22788 67016 15673 816 2.91169 01587 5586i
986... 2.99045 625o4 97611 985 2.99543 623o4 97611
a 9.254^5 04741 16062 I — a.,. 9.91825 59282 5625
A 9.25444 86295 2428
r = 18447 917^
28 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Ensuite il faut appliquer les formules de l'art. i5, savoir :
log A = log « — r , r' z= j^ ,
log(i — A) = log(i — «)+R, logR = log («;•') — 1^"';
en voici le calcul:
r 4.26694 73549 1 — a 9.91826 59282 6626
I —a.,.. 9.91826 59283 R... 5820 6987
r' 4.54769 54266 1 —A 9.91826 45io5 2612
a 9.25^^6 04741 b 9.96912 71661 65o6
— ^r' — iii54
R 5.68214 27873
II est aise de vérifier celle valeur de log b ; car puisque c=:\/2 — i,
il en résulte Z»'' ;= 2 \/2 — 2 =2c;
c 9.61722 45i46 6214
2 o.3oio2 99966 6398
b^.... 9.91826 43io5 2612
b 9.96912 71661 65o6 -'^
ce qui s'accorde parfaitement avec le résultat précédent.
Maintenant il faut avoir le log de i +^> po"»' en déduire ceux
de c° et b"', or par la valeur approchée ^ =: ^ , on trouvera les
logari-llames suivans qui répondent à la valeur exacte de b.
\-\-b.., 0.28107 42601 90616 2\/b.., 0.28069 36732 466r
c 9.61722 43i46 6214 1+^... 0.28107 42601 90616
\/c»... 9.55616 oo8^±4 71626 b\ 9-999^1 95430 5499l5
c° 8.67260 01689 4525
Maintenant le calcul de c°° et b°\ et ensuite celui de c°'% se feront
par la méthode ordinaire comme il suit ;
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 29
3.486o4 20070
9.63778 43ii3
3.12082 63i83
— iggS
3.13382 6rr8'8
0.00000 00664 96092
9-99999 9953^ 03908
P "
m.. .
P...
iP.
ic* 8.37127 01732 7927
({c°)\.. 6.74254 o3^65 5854
1:^»°.... o.ooo48 06569 45oo5
p 6.74302 ioo35 o3545
P i329 g2i84
c"" 6.74302 08705 ii56
o.3oi02 99956 6398
i 6°'» 6.44199 08748 475a
2.88398 17496 9476
664 9609
c°°° 2.88098 18161 9085
3o. L'échelle des modules étant ainsi formée , on procédera à
Tordinaire pour avoir K et F'c ;
A 0.04087 28448 3694
h" 9.99951 93430 54995
b"" 9 , 99999 99355 03908
o.o4o39 21 21 3 9584i
ÏC 0.02019 60606 9792
^TT 0.19611 98770 3oi5
E'c . . . . o. 21601 59377 2807
Pour avoir ensuite E"c, il faut chercher log (1 — /) d'après la
valeur r = i c°^e°° \/^,. Voici le calcul:
c°^ 7.3446003379
i 6°° 6.44199 08748
l\\/h°°... 166
r 0.78659 12293
m 9 . 63778 43ii3
mr. ...... 3 . 42437 554o6
b_
b
log(i-r) = - R
log R = log mr -f- I mr
log jnr z=z 3.42437 554o6
f mr = 1329
log R = 3.42457 56735
R = 0.00000 02656 90284
, g. 96008 84690 5307
F'c o.2i63i 59377 2807
( I — /•) — 2656 9028
E'6? . . ». 0.17640 4i4io 9086^
So EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
3i. Maintenant le calcul de ¥'b doit être fait par la formule
F'^ = KMh , où l'on a /î = f log ~; voici ce calcul :
4 o.6o2o5 99913 2796 h 9.98441 91861 62678
c«°°... . 2.88598 i8i6l 9085 M 0.56221 56886 99466
8h = 7.71807 CJ1751 3711 K 0.02019 60606 9792
h = 0.964175 97718 9214 F'^ o. 56685 09555 6006
On peut vérifier celle valeur de log F'^, par la propriété des fonc-
tions F'Z>, F'c, démonlrée art. 64, laquelle, en écliangeajit les
lettres ^ et c de cet article, donne F'Z» = \/2.F'c. En etlel, si on
prend la différence des logarithmes des deux fonctions^ on trouve
que celle différence répond à ^ log 2.
F'^ o. 36685 09555 6006
- . F'c... o.2i63i 59577 2807
o.i5o5i 49978 3199 = I log 2.
Le résultat est donc exact jusque dans la dernière décimale.
32. Il reste à trouver log E'^, et pour cela il faut calculer log A
par la formule A = ^ c^K^Y'b(b°°y (i — Vtk")»* mais d'abord faisant
/• = ^ — 7-- , nous chercherons log ( i — r) == — R , ce qui se fera par
l'équation log R = log (mr) + j mr.
^c° 8.57127 01752 8 7 c* 8.93541 86556 6o3o
■ic°°.... 6.44199 08748 5 R 0.02019 60606 9792
4.81526 10181 5 v^K 0.01009 8o5o5 4896
y/R. . . . 1009 8o5o5 5 F'^ o. 36685 09555 6006
r 4.8o5i6 50178 \/b°° — - 166 2103
m 9.65778 43] i3 9.35054 56456 4fc522
nir 4.44091 70291 R — 27602 5] 85
^mr.... i58oi A 9.55o54 o8855 9157
logR = 4.44094 87092
De celte valeur de log A, il faut déduire log ( i +7V) ; c'est ce qu'on
obtiendra aisément au moyen de la valeur approchée a = g-^, qui
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3ï
donne i + a-=P-^. Voici le calcul d'où l'on tire ensuite log E'^.
89042 10188 00914
80617 99769 83887
157.... ]3672 06671 564o7
640.... 80617 99769 86887
a 9.33o54 05961 7262
A 8866 9167
;• = 2902 i885
log A = log a -^ r
r 5.46272 56169
\-\-a. . . o.o8424 io448
111'"
640...
1)....
14-A..
R....
0.08424 io448 17027
5ii 71165
o,o8424 10969 8819
2019 60606 9792
o.o64o4 6o562 9027
u a
/■' 5.67848 45721
a 9.33o64 06962
\r' 1195
i) 2.70902 62848
Exemple III. c = sin 9 , sin aâ = ,tang* i5^°.
53. Cet exemple se rapporte au troisième cas de Tart. 12;
été déjà traité dans l'art. 84 , première Partie ; mais nous allons le
résoudre plus exactement en calculant les quatre fonctions jusqu'à
quatorze décimales.
Dans ce cas on ne donne directement ni la valeur de c^ ni celle
de ^ ; il faut les déduire de Téquation sin sGz^tang^i 5° ou 2^c=lang=i 5°.
Voici la méthode que nous choisirons pour cet objet.
De l'équation sin 29 = tang»A, on tire cos^Ô= llÇ££L^. Soi»
donc A = ~^^^^ , on aura cos= 9 = 1 ( i + A ) : connaissant par
celle équation cosGou^, on aura ensuite c par l'équation c = î^^^i-îi!.
Voici le détail des calculs.
sin i5°...- 9.41299 62606 6964 v/(cos3o°). 9.96876 55i58 47925
cosi5°... 9.98494 67781 0270 cos"i5... 9.96988 76662 o54o
lang i5°... 9.42806 24624 6664 A 9-99887~'776q6 4^5^
tang»i5°... 8.86610 49049 6628
52
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Une valeur approchée de A est « =
log ( I "{- A) , comme il suit ;
^ : elle servira à calculer
588
587...
388...
58771 09660 18911
58883 17255 94207
a 9.99887 92594 24704
A . . . . 77^96 42525
r = 14797 82179
log A = log a — /'.
r 4.17019 77928
i-f-^-*' o.3oo46 99769
r' 3.86972 78159"
a....... 9.99887 92394
i/-' — 3704
j) 4.86860 66849
Connaissant les logarithmes de c et ^ , on trouvera par la méthode
ordinaire, ceux de c% h% puis celui de 6°% ce qui suffit dans le cas
présent pour compléter la série des modules. Voici le calcul.
{c.... 8.25'i32 529244914
775.... 88900 17025 06010
388.... 58885 17255 94207
i+<2... o.5oo46 99769 i2io3
1) • 7^89 55761
I H- A. 0.00046 92579 76343
2 o.5oio2 99956 60981
b^ 9.99943 ^^^'2'b 1206
b 9.99971 96211 56i8
2b 0.30074 96168 2016
tang*i5% 8 .85610 49049 3328
c 8.555551.2881 l3l2
{^c)\.. 6.5o865 05848 9828
•y\b. ., 28 03788 4382
p..... 6.50893 09657 4210
p = 452 52874
c° 6.50893 09184 89226
. o.3oio2 99'j56 60981
~C°.... 6.20790 09228 25245
{^c°y.. 2.4i58o ]8456 50490
I : b°.. . 226 26437
c°°.... 2.4i58o 18682 76927
34. L'échelle des modules étant terminée, on calculera comme il
suit les quantités FV , E'^.
h*
p^ 3.01786 193
m 9.63778 43i
////;* .... 2 . 65564 624
l'"/^'--- — 7
logP = 2.65564 617
ip = 0.00000 00226 26437
^' 9-99999 99773 7^565
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 35
j 0.00028 o3562 17382 ^ 0.19697 96989 2i462
K 0.00014 01781 08691 ^ 226 26437
l^r... 0.19611 98770 5oi55 iogE'c==: 0.19697 97216 4790
logFv= 0.19626 00661 38844
Venons maintenant au calcul de F'^, il se fera par re'qualioti
F'^ = KMh, où l'on a /i = i log ^3-
log4s = 8.18626 8i25o 5io35 h o.3iio2 6443o 6o353
Ji=: 2.04656 463o7 6276 M 0.36221 56886 99466
K. . . . i4 01781 08691
log F'è = 0.67338 13098 68609
log F'c = 0.19626 00661 38844
log 3 = 0.47712 12647 19665
On voit qu'entre les logarillimes calcule's de F'^ et F'c, la diffé-
rence répond exactement au logarithme de 3 , ce qui s'accorde avec
la propriété de ces fonctions.
On peut encore faire voir que la valeur trouvée pour F'c satisfait
exactement à l'équation F'c= l£2i-!_ F' (sin45°), donnée art. 1 55,
, V/27 . .
première Partie.
F'(sin45°). . . 0.26812 72224 11910
2 o.3oio2 99966 63981
CCS i5° . . . . . . 9.98494 57781 0270
o.664io 09961 78691
4.
\/2J 0.36784 09410 39747
logF'c = 0.19626 00661 38844
valeur qui s'accorde parfaitement avec le résultat du calcul précédent.
Il ne reste plus qu'à calculer le log. de E'^ ; pour cela nous suivrons
la formule de Tart. 22.
5
54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
V'b 0.67338 iSogS 585i / (1 —r) = — mr.
\c^ 6.80968 o58o5 6226
K i4 01781 0869 \ C* 6. 20790 09
\/R 7 00890 54345 jc"" 2.11477 19
mr — 915 m 9.63778 43
A 7-48327 21575 8289 I : \/¥^.. — 7 01
mr 7 . 96038 70
Une valeur approchée de A est ^^Z- = a , i -|- « = ffô^.
17.. 23o44 89213 7827 5604... 74849 81266 3374
5587.. j^'jïj 86713 6017
a 7.48327 025oo 1810
A... . . 21575 8289
r == 19075 6479
5587.
74717 86713 6017
R
. . o.ooi3i 94552 5357
57 8670
,+A.
R
. . o.ooi3i 94610 4027
i4 01781 0869
r..... 4.28047 92975 logE'^ = 0.00117 9282g 3i58i,
i-|-fl... i3i 9^553
r'.. ..... 4.27915 98422
a 7.48327 025oo
R... .. 1.76243 io43i
Construction et usage de la Table des Fonctions complètes.
35. Au moyen des méthodes précédentes , on a calculé pour
toutes les valeurs de 0 , de dixième en dixième de degré , les loga-
rithmes des quatre fonctions FV, E'c, F'^, E'Z», approchés jus-
qu'à la quatorzième décimale. On a continué ainsi jusqu'à iS";
depuis i5° jusqu'à la limite 4^% on s'est borné à calculer ces loga-
rithmes de demi-degré en demi-degré ; on a ensuite interpolé \qs
termes trouvés, en insérant quatre moyens entre deux termes con-
sécutifs , de sorte que la Table s'est trouvée construite dans son
entier pour tous les dixièmes de degré de l'angle du module.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ZS
Quoique les logarithmes calcule's directement doivent êlre en
gëne'ral exacts , au moins jusqu'à la treizième décimale inclusive-
ment , on s'est contenté de marquer les différences comme si les
fonctions F et E n'étaient calculées qu'avec 12 décimales. L'inter-
polation de 15" à 45' a été faite dans le même principe.
Les formules dont on s'est servi pour cette interpolation^ sont
assez connues ; cependant nous les rapporterons ici, afin qu'on
puisse plus facilement vérifier nos calculs.
56. La Table ayant été calculée pour chaque demi-degré, de i5
à 45 degrés , supposons que pour une valeur déterminée G = a, le
terme A représente log F' ou log E', avec ses différences succes-
sives , comme il suit : '
a
cTA
cT'A cT'A
cT^A
Pour insérer quatre moyens entre deux termes consécutifs A ,
A -f- cTA , qui répondent aux variables a , a + i , en prenant pour
unité des variables un demi-degré, je forme à'ahord les di^érences
mojennes successives , savoir ,
lû 100 ' 1000 lOOOO '
désignant ensuite par dK, d'^K, d^A , d^A , les nouvelles différences
de A qui auront lieu lorsqu'il y aura quatre moyens insérés entre
A et A -f- (^A , on aura les valeurs suivantes de ces différences :
d^A = a'%
d'A = («'"--4«>*) — 2a'%
d'A z= a" — 4(a'"— 4«")j
dA = «' — «"— 2(^»A-f- J'îA),
Connaissant les différences dA , d'^A , d^A , d^A , on formera sans
difficulté les quatre termes qui suivent A, et le cinquième qui devra
être le même que le terme connu A -j- cTA , et qui servira ainsi à
vérifier les calculs. Ces termes étant trouvés , on les terminera à
la douzième décimale, en rejetant les deux autres, et on les insé-
rera dans la Table formée de dixième en dixième de degré ; on y
joindra en même temps les différences premières, secondes, troi-
56 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
sièmes et quatrièmes (s'il y a lieu) de ces nouveaux termes , lesquelles
doivent s^accorder suivant une loi convenable, avec les différences
pre'cédentes ; et si quelqu'anomalie s'y faisait remarquer, on en
conclurait que dans le calcul d'interpolation il s'est glissé une erreur
qu'il faut rectifier.
37. Je remarquerai que lorsque les différences quatrièmes cT^A
sont assez grandes pour que les différences suivantes cT^A aient
quelqu'influence dans les interpolations , il conviendra de prendre
J^4A— - -Z- /s^ ay jig^ ^Q jN4A^ En effet, les termes A et A + ^A
étant censés répondre aux indices x= o , a:=i,sion calcule le
terme intermédiaire qui répond à l'indice jc ,1a. partie de ce terme
due aux différences cT'^A, cf^A, sera
:x: .jc — 1 . ,r — 2.JC
-^fcT^A + ^JU);
1.2,3.4 ^
d^où l'on voit qu'on peut tenir compte des cinquièmes différences,
en prenant S^A -\ ~ S^A au lieu de cT'^A. Mais comme S^A est
censé très-petit par rapport à cT^A , si l'on donne à x une valeur
moyenne | , le terme — r-^ cT^A se réduira à — cT^A; ainsi au-
lieu de cT'^A, on pourra prendre «T'^A — S^A, ce qui sera sufïï'-
samment exact pour les valeurs de a: qui répondent aux quatre
moyens, savoir, 1, |, |,|.
Ce moyen a été employé surtout pour les valeurs de F'c, depuis
45° jusqu'à 65° ; passé 65° il a fallu tenir compte plus exacte-
ment des cinquièmes différences ^ ce qui a été pratiqué de la ma-
nière suivante.
38. On a fait d^abord le calcul entier de Tinterpolalion, en ayant
égard seulement aux quatrièmes différences. Ensuite pour tenir
compte des cinquièmes différences , et jusqu^à un certain point
des sixièmes , on a ajouté des corrections aux différens moyens
insérés , savoir ,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 67
Au i-raoyen... + a' (cT^A — | cTM) , loga' = 8.4071529
Au 2«' + a" (J''^ — î <^'^) y log^" = 8.4764258
Au 5« -I- «'"(cT^A — I J^^A), logot'" ^ 8.358448a
Au 4^ + a-(/^A — fcT^A), loga- =8.0516926
Dans ces expressions, la quantité — J J*A est la valeur moyenne
de^^^ J'^A, laquelle s'obtient en faisant x = ^. Quant aux
coefficiens et' , a", u'" , ct'\ ce sont les valeurs de la quantité
^•^JI-4j lorsqu'on y fait successivement x — '
i .jc — 9.0:
1 .2.3.4-5
5 >
«34
s f 5 > 5*
59. Pour donner un exemple de ces interpolations, supposons
qu'il s'agit d'insérer quatre moyens entre les deux valeurs de ïog F*
qui répondent aux angles 9 = 57" 5 et Q=58°o.
La Table des valeurs de logF', calculées de demi-degré en demi-
degré , donne les résultats suivans pour le cas de G = 67° 5 :
57° 5
LogF^
DifF. 1.
II.
39 776 335
m.
853 935 38 66c
IV.
vr.
2 3g 8
202
0.320 640 298 6952 541 i65 3i5
D*après ces données ^ les différences moyennes jusqu'au quatrième
ordre, seront
«' = 508233 063.00, «"=1591 013.40, a'"=685i.48, a''=6i. 8656>
on en tire par les formules précédentes^
<;?A=:5o5o90 725.90, ^'A=i564677.53,6?^A=646o.29,<^^A=6i.87.-
Au moyen de ces différences, on calculera les termes intermédiaires
comme il suit :
6.
A.
dA.
d^A.
d'A.
rfU..
57.5
0.320 640 298 695.00
5o5 090 725.90
i 564 677.33
6 460.29
61.87
57.6
0.321 145 389 420.90
5o6 655 4o3.p,3
1 571 137.62
6 522. 16
61.87-
57.7
0.321 652 044 824.13
5o8 226 540.85
1 577 669.78
6 584.03
57.8
0.322 160 271 364.98
5c9 804 200.63
1 584 243-81
57 -.9
0.322 670 075 565. 61
5 11 388 444.44
58.0
0.323 181 464 010. o5
.
'
lS EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Pour calculer ensuite la correction due aux cinquièmes et sixièmes
d.ifférences ^ on aura J^A — fcT^A = 22461, ce qui donnera les
corrections à appliquer aux dernières figures des moyens insères ,
comme il suit :
i"... 420.90 2^.. 824.15 3'... 364.98 4^.. 565. 6i
Cor. + 57.57 -i- 67.29 + 5i.33 +25. 3o
478.27 891.42 4^6. 3i 590.91
Les moyens ainsi corrigés sont, en supprimant les deux de'cimales,
tels qu'on les voit dans la Table générale construite pour chaque
dixième de degré.
40. Si on voulaitallerplusloinetétendre la Table à touslescentièmes
de degré , ce qui en rendrait les différences plus petites et l'usage
beaucoup plus facile, il faudrait commencer par insérer un moyen
entre deux termes consécutifs de la Table actuelle. On aurait ainsi
une nouvelle Table calculée pour tous les demi-dixièmes de degré;
il faudrait ensuite diviser chaque intervalle en cinq parties égales
par quatre moyens, ce qui se ferait par les formules que nous avons
rapportées. Ces interpolations cependant ne pourraient être prati-
quées avec succès que Jusqu'à 80 ou 85 degrés au plus ; elles pour-
raient être prolongées plus loin pour log E' que pour log F' qui
augmente rapidement vers la fin de la Table. Mais comme la Table
sera toujours de peu d'usage dans celte extrémité, et qu'il est facile
d'y suppléer par le calcul direct, on pourra laisser subsister la
Table actuelle , calculée pour chaque dixième de degré , dans la
petite partie qui ne se prête pas facilement aux interpolations. L'in-
convénient que nous remarquons ici dans la Table des log. des
fonctions F'^, E'Z», a lieu également , ou même à un plus haut degré,
dans la simple Table des logarithmes des nombres , vers le com-
mencement de celte Table, et jusqu'à une assez grande distance. Il
a lieu également, et par la même raison , dans la Table des loga-
rithmes-sinus, pour les petits arcs; et dans celle des logarithmes-
tangentes, il se fait sentir tant pour les petits arcs que pour ceux
qui diffèrent peu de 90°. Dans tous ces cas , les interpolations ne
peuvent être faites avec sûreté, et il faut recourir à des moyens par-
ticuliers pour y suppléer.
CONSTRUCTION t)ES TABLES ELLIPTIQUES. 3^
4'* Pour avoir le milieu entre deux termes consécutifs A, Ai
d'une suite dont les difïerences deviennent progressivement plus
petites qu'une quantité donnée, il est bon d'avoir recours aux termes
qui précèdent et qui suivent les deux termes proposés. Supposons
donc que la suite dont il s'agit soit représentée comme on voit ici :
...A(— -3), A{-^2), A(--i) , A, Ai, A2, A5 , etc. ;
et soit le moyen cherché A(ï) , on aura
3 2 «
1.3.5 ,?5A(__3)-f ^SA(— 2)
2.4
+ etc.
2.4.6* • 128
Cette formule suit une loi très-simple dont voici la démonstration.
Un terme quelconque A {x) peut en général être représenté par
A ( I -f- cT)', pourvu qu'après le développement de cette puissance,
chaque terme AcT" soit remplacé par j "A. Cela posé , on aura ^
suivant celte notation,
'A(i)=A(i+/)^
AH-Ai=A+A(i+/)=A(i+cr)*^[(i+cr)"^+(i4-J^)-^],
/»Ac-04-cr^A=Acr'(i4-cr)-+Acr>=Acr"(i+cr)~ ^ [(i-i-j^)^+(i+/)- i],
etc.
Si donc 1 équation supposée a lieu , c'est-à-dire , si en général
A (^) est de la forme
A(î) =>t; (A + Al) -f-;t7' [J^»A (— 0-f cT-A]
4- p" [cT^A (—2) + cTU (_i)]
+ etc.,
P j P'i P", etc. étant des coefficiens conslans ; il faudra , en substi-
tuant les valeurs précédentes^ qu'on ait l'équation identique
~^=^P+P''TT-^ + P"'^
(i+'^/4-(i+'^)
Soit
S^'
j-^^^=::Zj si on élève au quarré le premier membre de
4o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
., j . 1 x-{-^ ^ . donc on doit avoir
cette équation, il deviendra ^^^^^-^ — ^qi^' ^^"^
' z=p+p'z +p"z^ + p"'z' + etc. ;
or cette équation est satisfaite généralement au moyen des valeurs
suivantes ,
Ces coefficiens donneront donc aussi la loi générale de l'expres-
sion de A (7). ,
Au reste cette expression sera toujours si convergente , qu H
suffira de prendre les deux premiers termes, ou tout au plus les
trois premiers.
42. Veut-on, par exemple, calculer la valeur .le log F' qui
répond à l'angle du module G = 6.' o5 ? On prendra dans la Table
les valeurs suivantes :
A = 0.539 295 o5o 747
Al = 0.559 859 146 4^2
s 0
•679
i54
177 209
i* =
cT'A =
s' —
I
1
5
821 o5o
829 864
65o 894
^*' =
J^4A(~2) —
,cr^A(-i) =
s" =
M
ilieu
cher
85
171
ché
i^ = 0.559 577 088 604.5
22§ 180.9
-h
2.0
45. Soit encore proposé pour exemple de trouver log F' pour
l'angle 9= 77° 25; on fera le calcul d'après les élémens pris dans
la Table , comme il suit ;
A...
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 41
A.. 0.464 973 191 062.35
Ai 0.466 078 604 921.92
s = o.gSi o5i 795 984.27 j s = 0.465 525 897 992.15
J^-A(— -i)... 6 555 790
cT'A 6 645 169
s'... i3 198 969 -^5'.... —824934.94
/^A(— 2)... I 894
<r^A(-i)... I 9^7
/'.... 5 85i -^Z'... H- 43. i3
Milieu cherche. . . A(^)=o.465 525 073 100.32
44. Ayant expliqué la construction de la Tahle des fonctions
complètes, et les moyens de l'étendre jusqu'aux centièmes de degré,
•ce qui serait un travail fort utile sans être bien considérable, il nous
reste à montrer les usages de cette Table , c'est-à-dire à faire voir
<:omment^ pour une valeur donnée de l'angle ô, non comprise dans
la Table, on trouvera les logarithmes des fonctions F' et E', appro-
chés jusqu'à la douzième décimale; et réciproquement, comment
,du logarithme donné d'une de ces fonctions^ on déduirait l'angle
du module G, et le module lui-même c.
Et d'abord , si au lieu de donner l'angle Q , on donne le module c
ou son complément ^ , il faudra en déduire l'angle correspondant B
avec toute la précision nécessaire , pour que les quantités négligées
ji'influent pas sur la douzième décimale de log jF ou log E. Cetobjet
mérite un examen particulier.
Comme nous supposons toujours c <Cb , il sera plus exact de
déterminer l'angle 8 par le moyen de son sinus c que par le moyen
de son cosinus h ; cela est vrai surtout si l'angle 9 est d'un petit
nombre de degrés , parce qu'alors une petite erreur sur cos â en
produit une assez grande sur 6. Ainsi en général si on donne
à la fois log c et log Z> , il faudra déterminer l'angle 9 par le moyea
de log c.
Si l'on veut déterminer à dix décimales seulement les fonctions
F', E', en négligeant les deux de plus que donne la Table , il suffira
6
42 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. ^
de chercher l'angle Q par les Tables de Vlacq ou de Wega , et en
ayant égard aux secondes dilTérences. Ce calcul n'a pas besoin
d'autre explication ; seulement après avoir trouvé l'angle ô en degrés,
minutes et secondes, il faudra tout réduire en dixièmes de degré,
et parties décimales du dixième de degré , puisque le dixième de
degré doit servir d'unité dans les calculs d'interpolation.
45. Mais si on veut exprimer les logarithmes avec douze déci-
males, comme sont ceux de notre Table, alors l'angle ô ne peut
plus se trouver avec une précision suffisante par des Tables à dix
décimales, telles que celles de Vlacq ou de Wega.
Dans ce cas , il faudra employer les Tables de la Trigonometria
Britannica , qui sont calculées pour chaque centième de degré avec
quatorze décimales. Soit a l'angle de cette Table le plus approché
de l'angle cherché ô , et soit
l sin Q = l sin « -f- r.
De là il ffdit tirer la valeur de 9 — a. Or en regardant Q et r comme'
1 • T 1 '^^ Ti/r ^ û ^^^ M de ]VP sin 6
seules variables, on a -r =M tang b , -j— = — - . — = , — ^.
' dr o ' f^y^ cos' è dr cos ' 6 *
d? = cos.^ • Jr = ^é *^"g 9 ; faisant ensuite
dans ces coefficiens 9 = fl, on aura par la formule de Taylor,
6 = a + M/- tang fit { I + - . — — H . — _ -I- etc. ).
Et pour évaluer 6 en degrés, soit G = « + jf, et R° le nombre de
degrés compris dans le rayon , on aura
K°x = R° Mr tang a ( i + - . — - + ■ = . f- etc. ).
Celte formule se réduira le plus souvent à ses deux premiers
termes , et alors le calcul en sera très-facile. Quelquefois la diffé-
rence /■ sera assez grande pour qu'il faille tenir compte du troisième
terme; mais pour avoir besoin du quatrième, il faudrait que a
fut très-petit, et alors il y a un autre moyen de déduire Tare de
son sinus.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 45
46. Il conviendra dans ce cas d'employer la formule
log 9 = log sin 9 + f sin- ô + '-^ sia<8 + ^ sin^ô + elc. ,
ou^ en convenant que les nombres renfermés en parenthèses sont
les logarithmes des coefficiens,
log Q = log sin ô + sin^ô [S.SSgôS 30609]
+ sin^ô [8.42390 45o]
+ sin«ô[ 8.16523 46 ] 4- etc.,
et pour que ô soit exprime en degre's , il faudra ajouter à ce lo-
garithme la constante R* = i. 76812 26324 j 4"i ^^^ ^^ logarithme
j 180
de — •
TT
Il faut maintenant montrer par quelques exemples , l'usage de
ces formules.
47' Exemple I. Etant donné le module c = sin9= [/2 — i,
dont le logarithme = 9.61722 4314^ 6214 , on demande l'angle
correspondant 9 exprimé en degrés et parties décimales de degré.
Par la Trigon. Britan. y on trouve l'angle approché a z=. 24° 4/ >
qui donne
Isina = 9.61722 76371 2662
Zsin ô == 43146 6214
/• =— 53224 6448
Il faudra ensuite calculer les différens termes de la valeur de a: ,
d'après la formule de l'art. 4^. Voici ce calcul :
r. . . 4' 52146 03467
M... 0.36221 SÇiS^j
Mr. . . 4^88367 60354 4.88367 60
R"... 1. 75812 26324 cos'â!... 9.91825 29
lang«... 9.658IO 11701 4.96542 5i
1)... 6.29989 98379 2... o.3oio5 00
4*^^459 5i
1)... 6.29989 98
2)... 0.96429 29
44 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On voit par la pelilesse du second lerme 2) de la valeur de jr ,
qu'il est inutile d'avoir égard au troisième ; ainsi des deux premier*
on conclura la valeur de ô comme il suit:
a... 24° 4700^ 00000 000
i) — 0.00019 94802- 197
a) -h 9 ^^7
0 = 24.46980 06207 020
Cette valeur de ô est plus exacte qu'il ne faut pour que l'inlerpo-
lalion de la Table donne douze décimales exactes.
On aurait trouvé la même valeur de ô par la simple interpola-
tion de la Trigon. Britan. , en ayant égard aux secondes différences.
48. Connaissant la valeur de ô , si l'on veut avoir la valeur cor-
respondante de log Y\ on prendra dans notre Table les données
suivantes qui répondent à l'angle a= 24° 4*
a
A
M.
«r^A.
^'A.
«ru.
24.4
o.aiG «98 56i 343
168 272 307
745 715
768
5
et on aura à calculer la formule suivante dans laquelle»....
a: = 0.69800 52070 2 ,
A (x) = A + a: ( /A
(j^-A — ^(cT^A —
3 — X
cf^A.
a - 3 ^^ " 4
Voici ce calcul où nous suivons la même notation que dans l'art. 81 ,
quatrième Partie.
3 — X
cT^A = a.gr
^^Kx = 7C8 — 2.9 = 765.1,
'cT^Ajc = 532. 0
S^Ax = 745 585 ,
■ S'^Ax =112 550.9
SAx = 168 i59 756.1
xd Ax = 117 576 585.4
A = 0.216 198 56i 545
log r* = 0.216 3i5 957 728.4
= 0.454
= o.i5o 997 4
CONSTRUCTION DES TABr.ES Er^LlPTIQUES. 45
résultat qui s'accorde parfaitement avec celui que nous avons trouvé
ci-dessus, n° 3o.
49. Ex. II. Etant donné log cou lof^ sin 9 = 8.55f>55 5'288i i3i2,
on demande l'angle ô exprimé en degrés et parties décimales de
degré.
On peut encore trouver cet angle d'une manière suffisamment
approchée par la Table de la Trig. Bril. ; on a d'abord a == 2' 06 ,
log sin a = 8.55565 10170 2887
log siu Ô = 8.55535 52881 i3i2
r = — 29 67289 1675
On fera ensuite le calcul de la formule de l'art. 45 ^ comme il suit ;
r . . . . 6.47089 37910
M... 0.36221 56887
Mr... 6.83310 94797 6.833io 948
tang« 8.55593 17782 cos'a 9.99943 848
R'... 1. 75812 26324 ~-, 6.83367 100 «=!±^l!^=:o.334»
(i)... 7.14716 38905 o.5oio5 000 fj 9.62400 6
a.... 6.53264 100 a.,. 6.53264 100 — r-... 6.83367 1
cos^a '
(2)... 3.67986 489 b 6.35767 7
b. . . . 6.35767 7
(3)... 0.03748 2 « + (2)... 2' 06000 04784 i5o
(1) — 140 33431 862
0) — I 090
ô :t= 2.06869 7i35l 198
D'après cette valeur de 9^ nous chercherons par interpolation fa
valeur de log F ' ; pour cela nous prendrons dans la Table \qs nombres
suivans correspondans à 2° o.
A = 0.196 262 187 490.54, «TA = i3 563 720
«r*A = 66j 026, eT^'A = 54
46 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Cela posé il faut faire x = o.585^j i35i2^ et on aura
3 — X
4
-J^4A=I.2
t^'Ax = 52.8, i=^ = o.47i 5, ^^ cr'Ajc = 24.9
1 ^"^ ce
er*Ax = 662 ooo.i, =0.207 oi4-52,
i^=^6r*Ax= 15; 045.5
cTAx = i3 426 6j6.5
xJ'Ax = 7 867 547 '77
A = 0.196 252 187 49'^'54
logF'c = 0.196 260 o55 i58.3i
Celte Yaleur s'accorde dans les douze premières de'cimales avec
celle que nous avons trouvée directement, n° 34. Delà on voit
que l'interpolation, même pour des angles assez petits, donne des
résultats suffisamment exacts.
En général, dès qu'on aura déterminé l'angle G avec une précision
suffisante , soit par la formule de l'art. 45 , soit par celle de l'art. 46 ,
l'interpolation de la Table des fonctions complètes ne souffrira de
difficulté que vers la fin de la Table , lorsque l'angle du module
est très-près de l'angle droit. On peut y suppléer alors par les for-
mules directes dont le calcul est d'autant plus facile que l'angle du
module est moins différent de l'angle droit. Mais si on veut résoudre
le cas dont il s'agit par des interpolations qui ne soient sujettes
à aucune difficulté , on y parviendra par le moyen que nous allons
exposer.
5o. Il s'agit en général de trouver les logarithmes des fonctions
Vb y E'^, lorsque b diffère peu de l'unité ou lorsque son complé-
ment c est le sinus d'un angle d'un petit nombre de degrés. Dans
ce cas on trouvera aisément , par les interpolations , les fonctions
complémentaires F'c, E'c, et c'est par le moyen de F'c qu'il faut
déterminer F'è et E'b.
Pour cela j'observe d'abord que dans le cas dont nous nous oc-
cupons , on pourrait supposer b°° = i ; mais nous nous contenterons
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. /^rj
de supposer b^"" =z i , afin que la solution s'applique à un plusm^and
nombre de cas ; alors les formules générales donnent ( art. 21 )
Il faut donc chercher si l'on peut exprimer Y'b par les seules données
h , Cy F'<?, sans avoir recours aux auxiliaires ^% ^°°, c°°°.
D'abord K est connu par la valeur K == -^, Soit ensuite c"'=.r
c°°=J y des équations h¥J'=:b^b°% cb°=2\/(bc°) , c°b°°=.2[/(b°c^°)
c°° = 2 v/(^°V°°°) , on déduira
c^b^" = ^ YJ'c s/bx = 2 s/by.
Cette dernière étant quarrée donne K^c^^^c = 16^^; quarranl de
nouveau et substituant la valeur de b*, on aura Y^c^b'^x'' = r* ^^ •
donc 7" = —5- bx. Celte équation ne suffît pas pour déterminer x
et 73 mais on a d'ailleurs ^- = (i — j')^ = î^ . /^ • de là on tire
■^ \ oc
Soit K=<^ = a^ cette dernière équation donnera ^ = f^-A_Y A- -
«^^i« Z^ = (^0 b- = Q)b- = (-l-J (^0033 . donc
F-^ = MK log r-|- (^-)« T
3
Soit b = f p:,J , et on aura enfin
[loge = |log^-L = |M(logi)'.
Ainsi on voit que dans le calcul de log F'i, il n'entre que les
48 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
quantités b, c,K, dont on a les logarithmes, de sorte qu'on évite
ainsi l'interpolation directe pour F'Z», laquelle est ramenée à Tinler-
polation de F'c qui n'a point de difficulté.
5i. Pour juger de l'exactitude de cette formule, nous prendrons
p = sin i5% et nous donnerons à log R la valeur exacte jusqu'à
quatorze décimales , qu'on trouve par le calcul direct , et que
d'ailleurs la Table donne immédiatement. On aura donc le.s données
c,.. 9.41299 625o5 6954
b.., 9.98494 37781 0270
R... 0.00749 54886 8247
Au moyen de ces données, le calcul de hz=^ log -^ se fera comme
il suit :
4... o.6o2o5 99915 2796 \/b... 9.99247 18890 5i35
c... 9.41299 623o5 6934 R... 749 54886 8247
1 . . 1.18906576075862 -'• • -"9^99675777 5382
c ^ ' ^ a... 9.99998 36888 66gi
R... 0.00749548868247 1
'^^ - log- = o.ooooi 63iii 3009==^
A.... i.i8i56 82720 7615 " logC=fM/?*
a... 9.99998 36888 6691 /?... 5.21248 4i5
/ — " »*... 0.42496 826
-I-... 1.18.58 45852 0924 3^^^^ p.. 3727 695
^.•- 4 5946 /^ _ 0.66224 52
h,., i.i8i58 45827 4978
Cette valeur de h s'accorde exactement avec celle que donnerait
i log jLj calculée par la méthode directe , jusqu'à la quatorzième
décimale. Ainsi en la substituant dans la formule F'Z» = RMA^ on
aura de même une valeur de log Y'b exacte , jusqu'à la quatorzième
décimale, et qui satisfera à l'équation F'^= t/3F'c, exprimant une
propriété particulière de ces fonctions.
52. Si notre formule donne des résultats aussi exacts que la
]Liiélhode directe lorsque l'angle du module est de i5% à plus forte
raison
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^g
raison aura-t-elle cet avantage lorsque l'angle du module sera
moindre; en géne'ral le degré d'approximation avec lequel F'^ sera
déterminé , dépendra de celui avec lequel on connaît la quantité K ;
et comme R peut toujours, par l'interpolation des fonctions F'c,
être déterminé jusqu'à la douzième décimale , il s'ensuit que h et
par conséquent IF'b sera déterminé avec la même exactitude.
Connaissant F'c , E'c par l'interpolation directe ^ ¥'b par le calcul
précédent, il restera à déterminer E'^,ce qu'on pourra toujours faire
par l'équation des complémens - = F'c E'^ -j- F'-^ E'c — F'^F'c.
Ainsi on a les moyens de suppléer à l'interpolation qui ne peut
se pratiquer que difficilement dans les dernières colonnes de la
Table.
f^'
Il est remarquable que la valeur h = log -r— s offre successive-
ment les différentes opérations à faire suivant les différens cas indi-
qués dans l'art. 12.
Ainsi dans le cinquième cas , si c est tellement petit qu'on puisse
négliger i — ^ ou log ^, on aura simplement hz=\og-; dans le
quatrième cas ,011 i-^- b° seulement est négligeable , on aura
A = log;^; dans le troisième cas ^ où l'on ne peut négliger que
1 — b°% il faut un facteur de plus dans la valeur de h , et on a
h=\og -j7- ; enfin si on tombe dans le second cas, où i lf°°'>
seulement peut être négligé ^ il faudra encore ajouter le facteur é*
et on aura h = log -—:..
53. 11 nous reslerait à faire voir comment on peut trouver l'angle 5
qui répond à une valeur donnée de log F'<? ou de lo^' E'c; mais les
calculs de cette sorte étant entièrement semblables à ceux dont nous
avons donné le développement dans les art. 83 et suiv. de la qua-
trième Partie , nous pensons qu'il est superflu d'entrer dans de nou-
veaux détails à ce sujet.
Nous ferons observer en finissant que la Table des fonctions
complètes offre 900 valeurs de quarts d'ellipses, et un pareil
7
5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
nombre de valeurs de la fonction analogue F', dont 4^0 an moins
ont été calculées directement jusqu'à quatorze décimales , et les
autres jusqu'à douze. Ces transcendantes sont donc maintenant
connues plus exactement que ne Tétait la circonférence du cercle
avant Ludolph van Ceulen.
§ II. Alélhodes générales pour former une Table des valeurs
de l'intégrale \J = fud:p. ~ y-m xa^ -^
54- Nous supposerons que u est une fonction donnée de la
variable ?> , et que cette fonction est telle qu'en faisant varier (p d'une
quantité constante a, les différences successives de la fonction u
diminuent conlinuellement et finissent par être entièrement négli-
geables. On peut toujours prendre a, assez petit pour que cette
supposition soit admissible , quelle que soit la fonction w^ pourvu
qu'elle reste toujours finie dans toute l'étendue des valeurs de tp que
Ton considère; et la différence ce pourra être fixée dans chaque cas
particulier , suivant le degré d'approximation avec lequel on veut
exprimer les fonctions U.
55. Nous désignerons par U , U', U", etc. les fonctions qui ré-
pondent aux variables croissantes (p , (p + * ? ^-\~^^} etc.; et
semblablement nous désignerons par U, U% U"", etc. les fonctions
qui répondent aux variables décroissantes (p, ^ — a, (p — 2a, ^ etCr
Cela posé , la Table qu'il s'agit de construire pour la fonction U et
ses différences successives j pourra être représentée , dans l'une
quelconque de ses parties , comme il suit :
Yariable.
Fonction.
DifF. I.
II.
m.
IV.
ç — 5a
TJooo
.•-^û°=°,.
:
rijo^o
^(^00©
ç — 2*
U"»^'^-,-
- ^V-"
«?^U''
PV^o
«MJ°»
Ç — a
u° .
ni"
i'i;°
Pl]o
^^\]°
<P
u
«TU
r^v
PU
PU
<P + *
L'
m
/^lî'
^r
PU'
(p + 2A
U"
ê-v"
^■^u"
rv"
^ Tj"
9 + 3*
U'"
cTU'"
^^l}"
l'V"
PU'"
*.
I
I
*
i
•■
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i
La première colonne contient les valeurs de (p , formant une pro-
gression arithmétique dont la difîerence est a,; la seconde colonne
est celle des valeurs correspondantes de la fonction U. On a placé
sur la même ligne que (p et U , les différences successives J'U , cT^U,
cT^U, etc.; et par cette disposition, chaque ligne sert à former la ligne
inférieure, au moyen de la loi connue U' = U-{-crU, SU'=SU-\-J''''U ,
cr"U'=cr''U+ j^^u, etc.
Il s'agit maintenant de faire voir comment , étant donnée la fonc-
tion u, on peut calculer les différences successives qui servent à
former la Table des valeurs de U. Pour cela nous ferons usage d'un
algorithme qui a l'avantage de conduire rapidement aux résultais
que nous voulons exposer , et qui a surtout celui d'en faire con-
naître la loi de la manière la plus simple et la plus générale. Cette
notation , au reste , qui ne s'applique qu'aux sommes et aux diffé-
rences, considérées dans leurs combinaisons linéaires seulement,
est fondée sur les mêmes principes que celle qui a été indiquée par
Lagrange dans les Mémoires de Berlin, ann. 1772, et qui a été
adoptée par d'autres auteurs.
56. On a immédiatement , par la formule de Taylor ,
et puisque les coefïîciens de cette formule sont les mêmes que
ceux de l'exponentielle
e^ = i+.r + -a?*-| 5 jc^ -|- etc. ,
il s'ensuit qu'on peut mettre U' sous la forme "^ 'N „-^
v' = ue«^, y-f^-s^ •■ -^ Y
pourvu qu'après avoir développé le second membre suivant les
puissances de oid , on convienne que chaque terme Ua"'J'" sera rem-
place par a-. ^.
Dans cette hypothèse , on aura successivement
U' = Ue^^, U" = V'e^^i, V" = V'e-'^, etc. ;
55 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
V i /i>^ ^® ^^ résultent les différences premières,
cfU'= U'(e*'^— i),
etc. ;
celles-ci donnent les différences secondes,
cT^U = <^U (e*^— i) = U (e*^-. i)%
cTnj" = /U'Xe*'^ — 1 ) = U'^Ce*'^ — I )%
etc.;
et en général on aura
S-U = U ( e*^? — 1 )".
Au moyen de celte formule, la différence finie d'un ordre quelconque'
de la fonction U peut s'exprimer par les coeflîciens différentiels de
cette même fonction. En effet si on suppose
(e^— I )" = jc' ( i + A'jc + A"x' -h A"'^^ 4- etc.),>
an aura en môme temps
<^"U = «'-^ + A.«-.^ + A-«-.^ + etc.
57. Réciproquement on peut exprimer les coetïiciens différentiels
T- , i— , ,— > etc. d'une fonction U , par le moyen des différences
finies de cetle fonction, prises en donnant à la variable (p l'accroisse-^
ment constant et.
Pour cela je réduis l'équation symbolique cTU = U (e*^— i)
à la forme
&«)C^|-^/^ aJ = log (1 -j-cT),
f ^ et ctUd ou
a.|^ = uiog(i + cr).
Celte nouvelle équation suppose qu'après avoir développé le second
membre suivant les puissances de d' , chaque terme US'"^ sera rem-
" <r7?X J^-
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 55
placé par la différence S"'IJ j oa obtiendra ainsi
a ^ = cTU — 1 /"U + ï ^ 'U — i J^U + etc.
C'est la formule connue qui sert à exprimer le coefficient différea-
tiel d'une fonction par les différences successives de celle fonction.
Ainsi a étant assez petit pour que la suite des différences JU ^ cT'U , •*■
cT^U etc soit très-convergente, on déterminera le coefficient ^r- avec
toute l'exactitude qu'on peut désirer.
58. Si dans l'équation symbolique a ^ = U log ( i +/) , oii ' ^'J ^^ v''^T7
met ^ a la place de U , on aura z^' t- T /^. v
d'où résulte
On aurait de même a^ jy = U Z^ ( i + «^ ) ? et en général,
de sorte qu'un coefficient différentiel quelconque j-^ peut s'exprimer
facilement par les différences finies de la fonction U, en supposant
conim le développement de l" Ci -{- jc) , qui désigne la puissance »
de /(i +x). *-^-r^.,-
En effet si l'on a /"( i + Jc) ou -■ '. > ^' '• ■^'- V .^
;»:»(i__i^_j_ix» — ^.r34-elc.)"=:a:''(i — N'^+N'^j?' — N"'^^+etc.),
on pourra en conclure
a" J^= cT^U— -N' J'^-^'U +N"cr"-^"U — etc.
5g. Supposons maintenant qu'on ait U = fud(p ou -j- == m , la
valeur de otu exprimée par les différences successives <^U y S''''U ^
S'^U , etc., sera
au = cfU — ^ cT'U + ^ J^3u _ etc.
54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Dans le cas où l'on veut construire une Table des valeurs de U,
la quantité u est connue pour chaque valeur de (p, et en faisant
varier (p de a , on connaîtra les différences successives de u.
D'après ces différences , il sera possible de déterminer en général
la valeur de S'IJ.
En effet, soit ctu=.p et 77 — ; — r ou
i^ /(i+x)
,-i. + .^^r^. = • + k-^ + k"^' + k-oc' + etc. ,
l'équation précédente donnera
cTU = /? -f A'J> + k^'Sy + A^'V> + etc.
Ainsi éTU se déduit des quantités données p , <^p , S^'p , etc. * par
une suite dont la loi est connue.
Celte môme suite donnerait les différences ultérieures cT^XJ ^
cT^U, etc. par les formules
^^V z=: ^p + k'<^y + k"<^^p 4- etc. ,
cT^U = cf^ + k'<^'p + etc.
Mais ces suites, pour déterminer cTU, cT'U, S^\J , etc., peuvent
^^ être rendues plus convergentes par un moyen très-simple.
V^ J^^^ ^^' ^oi^ ^ ^^ ^^6 devient la fonction u, lorsqu'au lieu de <p on
^^^...^v/^ ^ met X -\- \a,-j on aura suivant la notation précédente,
V^'^J^^K^K P°^^'^" qu'après avoir fait le développement du second membre
S--' suivant les puissances de cT, on remplace chaque terme z^cf " nar ^
De là résulte ap = a^/ ( i + cT)» , et parce que aw == U / (i +/) ,
on aura
Mais en effectuant le développement jusqu'aux 07% on a
(1+^)^/(1+0:) =x-~^œ^ + ^x^ - -^ ^^ + -^ x« - etc •
^4 24 1020 ' qSo *^''^' '
donc
^4 ^24 "^ iqao ^ ^q6û '-'—etc.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 55
Conservons le premier terme cTU de ce développement , mais
substituons dans les termes suivans la valeur U = U° -J- cTU", nous
aurons
ctP = cTU - 4 ^'U» 4- A j 5u» _ ^ S'V° + etc.
24 640 640 "^ '
Dans cette suite, conservons les deux premiers termes cTU -, J'^U*^
24
et substituons dans les suivans U"" -j- cTU"" à la place de U% nous
aurons de nouveau y^f^^""^
^A^i^^ ^ ctu=SU — ^^ S'U^ + ^ S'U^^ - etc. -z^ à h -y 4 ^-'«2. ^ 5
J *^, 24 ' 640 r; i}t û^ Ç'4q. ^
Cette suite prend ainsi une forme très-convergente , mais il reste
à s'assurer de la loi que paraissent indiquer les premiers termes,
et à déterminer d'une manière générale celle de leurs coeffîciens.
Il faut donc faire voir qu'au moyen des coeffîciens n\ t{\ n"'j etc.
dont la loi sera déterminée , on aura généralement
. cLw=z S\J — n'J^V -{- «"cr^U°= — ji"'J ^U°°= + elc.
ou au -=1] l {\ -\- ê" ) , on en tire
d^
61. Reprenonspourceteffetréquation symbolique a^ = U/(i+cr}
I H- cT) , on en tire
iu^ r„TT tuè-^
Mais d'un autre côté on a
U"=rT>' U°°=(TT77. U"' = ^-^, etc.,
donc
ttU^
eT'U =
rSTJoo __ ^^
/7U.oo^ »^
etc.
De là on voit que la suite ^\j — n'S^'U°-ir «V^U°° — etc. est
f^^
56 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
représentée par
Si donc on veut que cette suite soit équivalente à au qui est repre'-
I
sente par uu ( i -i-J^Y , il faudra qu'on ait l'e'quation identique
j^ >3 /^5 ^7
/(i+J^) = --i-P — 7^^— i-^4.7^^--^— 7^'^— ^ + etc.
(1+^)^ (i+j^r (i+^r (1+^)'
Soit s = s\ le second membre devient z — nz^ + '^"-^^ — ^^^' >
et le premier se réduit à aZ [ ^ s + v/(i + i =^' )]• C)r on sait que
/Jx 1 x'^ i .^ x^ 1.3.5a:'
et qu'ainsi la quantité 2 log [ ^ z + \/(i + ^ 2')] se développe en
cette suite ,
1 z^ , 1.3 z5 1.5.5 a^ , .
^"~â' 3:i"^"^ M*5.2^ 2.4.6 •7.2«'^^'^*'
donc l'équation supposée a effectivement lieu en donnant aux coeffi-
eiens ?i, n", 7i'", etc. les valeurs
, 1 I „ 1 . 3 1 ,n I . 3 . 5 I ,
n'=- . j— , , n" = — Z' r—, n" = — j-, . — g j etc.
2 3.2-'' 2.4 5.2*' 2.4-t) 7.2'''^
donc on a en général,
,_^ 1 /JU", 1.3 <^5U°° 1.3.5 «^7U°°° ,
at' = à V . 5 — r H 7 . -r — r 7~c • 6 — r etc.,
2 3.2* 2,4 5.2* 2.4-0 7.2^ ' '
série qui procède suivant une loi évidente, et dans laquelle chaque
y>^ ^ /p coefficient est moindre que le quart du précédent.
T''^ -^v"^ ^ 62. Si on fait at' = P , et qu'on désigne par P% P°% etc. ce que
devient la fonclionP lorsqu'au lieu de (p on met (p — a, (p — 2a, elc^
on déduira de l'équation précédente une valeur de SJJ de la forme
J^U = P + m'cT^P" + 7«"cr^P'° + m"'S'¥'"'° + etc. ,
et les coeffîciens m', 7?i"j m'", etc. se déduiront des coefficiens «', «",
n"', etc., au moyen du développement de la fraction
j — n or 4- " * — 'i X * + etG, '
de
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^ 5y
de sorte qu'on aura
m' =
.^^ =
' ^'
m" =
m'" —
m'n' •
iiî'n!
+
17
6760'
ft'" —
067
967G80
etc.
Ainsi la valeur de J^U s'exprime par la fonction P, au moyen dé ^ ^ ,^-«=^ - *f
l'ëquation générale J V jjç -^ ^\ ^ X^^ tS ^ à.,fX^^ -Si Ll
j^U = p 4- i- cT'P" — ^J- cT^P- + -^ cT'^P"*'' — etc. , ' ''
9.4 5760 ' 967680 '
laquelle pourrait être continuée , suivant la même loi , aussi loin
qu'on voudra. ,
65. L'e'quation par laquelle la fonction at^ se déduit de U, peut
être repre'sentée ainsi ^
au = ^U/C^cT-f- v/(i+icr»)],
pourvu qu'après avoir de'veloppé le second membre suivant les
puissances de S' , on change UcT, UcT^ UcT^, etc. , respectivement,
en SU , S'U% S'U'% etc.
Au moyen de cette équation , on en peut former d'autres non
moins remarquables.
Désignons par U ((p-f-^ a) ce que devient la fonction U ou U((p) ,
lorsquau heu de (p on met <p-{--^ct; alors on aura u = — ^-^ — --^ ,
et l'équation précédente donne
Dans celle-ci mettons encore <p + i- a au lieu de :p, nous aurons
différentiant de part et d'autre par rapport a (p , et observant que
XJ {<p -\- et) n'est autre chose que U', on aura
8
58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ou en suLslituant dans le second membre la valeur de ^, — "-^ ,
d(f>
Mettant dans celle-ci (p — a au lieu de (p , on a enfin
"■^ °" «'| = 4u-/'[i/+/(i + i/')]-
Supposons donc qu'on ait 4^" [î J^-f- \^(i -h^ <^0]y ^^
\ a • 3.2^ "^ a. 4' 5.24 2.4.6 ' 7.2V
= cT" — N'cT^ -f. NV — IN'V« + etc. ;
et la vraie valeur de oJ" -7- t déduite de notre équation symbo-
lique , sera
a» $^ = /^U» — N'cT^U- + N"J'^IJ°°° — N"V«U"°° + etc.
64- Re'ciproquement on tirera de celte e'qualion la valeur de
du
d<p
1 Çy
cT^U" exprime'e au moyen de la fonction donnée a' -r- que nou» ~ -<
^ j^ -i? T^ - désignerons par Q; cette valeur sera de la forme
f "'^ ^ cr^U' = Q+]Nrcr^Q° + M"J4Q-+M'V«Q"'°° + elc.,
dans laquelle les coefficiens M', M", M'", etc. se déduisent des coeffi-
ciens IN', N", N"', etc. , au moyen de l'équation
^^r . ^r, \ ^^i^r-, = I + m'œ + M"x" + Wx^ + etc.
On voit aussi que ces mêmes coefficiens pourraient se former par
le quarré de la suite déjà connue , au moyen de l'équation
(i -\-m'x 4- m'x^ ^m"'x^+ etc.)» = i + M'^-f- M'x^-{''M!"x'^+ elG,
On aura de cette manière ,
M'=:-, M" = \-, M"'z=-^, etc.;
12' 240' 60480 ' '
ce qui donne enfin,
cT^U' = Q + - cT'Q- — 4- cT^Q" + ^^ ^«^Q"» — etc.
^ ' xa ^ 240 ^ , • 60480 ^ ^
/
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 59
65. L'analyse précédente nous a conduits à deux formules très- y
remarquables ; l'une pour calculer la valeur de «TU par le moyen ; T
de la quantité connue P = at^, où u est ce que devient Uy en ^ -- -^^"^""^
mettant <p -\- ^ ^ au lieu de (p 5 Tautre pour calculer la valeur de ^ . T
«T'U" par le moyen de la quantité connue Q = a* -p,
La première formule est is^x '^ '^ (Jr-^f è "f- ^/t, * >- X — f : ■* Ji*»^ > /
cTU = P -f ^ J^^ P^ — t.^ cT^P- 4- -^''-^, J' ^P-° -- etc. ,
et la loi générale de ses coefliciens est la même que celle de la
suite
^^24"^ 5760"^ ^945.2- ■* etc., . .^ J^.^^^ .
qui vient du développement de la fonction
T = -
1 X _, 1 • 3 x^ 1.3.0 a; * '
^ ~2''3T^ "^ M'sTF — MTë'T^"^^*^*
la seconde formule est
J^»U» = Q + - /*Q° ^ cT^Q"" 4- r^ J^'Q'"' — etc.,
^ ' 12 ^ 240 ^ 60480 ^ '
€t la loi générale de ses coefliciens est la même que celle de la suite
+ 1 * « _L_ ^' Si ^ ^'
12 240 60480 ^
qui est le quarré de la suite précédente 1 -\ — -^ x — =-;^ x'^ -f- etc.,
ou qui vient du développement de la fonction T*.
66. Les deux formules dont nous venons de parler fournissent
deux méthodes différentes pour construire une Table des valeurs
de l'intégrale \J ==: fudp , correspondantes aux valeurs de (p , for-
mant la progression o, a, ^a, , S^t, etc.
Suivant la première formule , il faut calculer les valeurs succes-
sives de la fonction donnée P = ap , t^ étant ce que devient u lors-
qu'au lieu de (p on met (p-\-\ a. Par cette substitution, P est toujours
regardé comme une fonction donnée de (p, qu'il faudra calculer
pour chaque valeur de <p comprise dans la Table. Ainsi pour les
rp^^ j^f-^e^^ '^'^,,/p.
\y--k.
V.3
■ {i*,r
60 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
valeurs successives (p , (p + a, (p + 2ct , etc., on aura les valeurs
correspondantes P, P', P", etc. ^ et ces valeurs étant porte'es dans
la Table , chacune sur la même ligne horizontale que la valeur de <p
à laquelle elle correspond, on en déduira leurs différences pre-
mières, secondes , troisièmes et quatrièmes, dont on fera autant de
colonnes séparées , comme on le voit dans le tableau suivant :
0)U
(p — et
<p
(p -\. et
(p -f- aa
0 -f- 3a
(P -H 4a
poo
po
P'
P"
P'//
piT
JNpoo
cfP°
/P
cTP"
Tapoo
cf=p
J^P'
k.
j3po<
^Spo
cJ^P
^4po
cT^P
V^C0
^y?,
Chaque colonne se forme de la précédente par soustraction, et
renferme un terme de moins , de sorte qu'il faut que la colonne
des P ait été prolongée jusqu'aux P'% pour que la différence cT'^P
puisse être connue et placée sur la ligne des (p et P.
Lorsqu'on aura formé pour chaque valeur de la variable <? , les
quantités P^ JP , /''P , J ^P , J ^P , on en conclura pour la même
variable (p , la valeur de la différence cTU^ laquelle sera
JU = P + -1 J^T° — p^ cT'fP''" 4- etc.
24 6760 '
67. Il faudra faire attention aux indices qui affectent les différent
termes de cette formule, et en vertu desquels le cT^'P" doit être pris
dans la ligne immédiatement au-dessus de celle où est P^ le cT'^P""
une ligne encore au-dessus, et ainsi de suite.
En général l'intervalle a doit être pris assez petit pour que la
suite précédejjte soit très-convergente et qu'on n'ait besoin que de
ses deux premiers termes P-j cT^P* : le troisième — ^'^ J'^P""
«4 07^0
servira seulement à diriger l'approximation pour savoir précisément
sur combien de décimales on doit compter , et il faudra par con-
séquent que ce terme soit moindre qu'une demi-unité du dernier
ordre cle décimales auquel on veut s'arrêter dans la valeur de S^\] .
11 pourra arriver cependant que dans quelques parties de la Table
/;l
^1l ^ ff^^S-^
7'^
0^-t>^(r
ffc
• j
CONSl:'RUCTlON DES TABLES ELLIPTIQUES. Ct
qu'on veul construire , le terme dont il s'agit soit d'une ou de plusieurs
unités de'cimales du dernier ordre; alors il faudra en tenir compte ,
et juger de ce qu'on néglige par le terme suivant de la série qui
_ jNspooo^ ce qui obligerait de prolonger la colonne des
367
est + ,r
^^ 945X2'
différences jusqu'au sixième rang.
68. Ayant fixé d'avance le nombre des décimales avec lequel on
veul exprimer les différences <^U, on calculera ^ cT^P" en se bornant
au nombre de décimales fixé , et négligeant le reste de la division
par 24 ; mais pour plus d'exactitude, il sera bon de prendre toujours
l'entier le plus approché du quotient, et de tenir compte du resté
dans l'opération suivante. Supposons , par exemple, que cT^P" divisé
par 24, donne le quotient c/ et le reste /• ; alors dans l'opération sui-
vante , pour former cTU', on divisera S'^F-i-r par 24 , ce qui donnera
le quotient q' et le reste r'^ et ainsi de suite. Cette manière d'opérer,
dont nous avons fait l'épreuve , donne des résultats plus exacts et
empêche les erreurs de se multiplier.
69. Cette première méthode suppose que la quantité P est calculée
pour chaque valeur de <p , avec une grande précision , et même avec
une ou deux décimales de plus qu'on n'en veut avoir dans la valeur
de U ; or la quantité P , peu différente delà différence première cTU,
est souvent d'une grandeur telle qu'il faudrait la calculer par des
Tables de logarithmes à dix décimales , ce qui rendrait les opérations
fort longues. Si l'on se propose , par exemple, de calculer les fonc-
tions elliptiques E et F avec dix décimales, et pour des amplitudes
croissantes de demi-degré en demi-degré, les différences cTF, cTE
devront être calculées avec douze décimales, et elles contiendront
le plus souvent dix chiffres significatifs , ce qui exigera l'emploi de
logarithmes qui aient au moins dix décimales.
70. On pourra ordinairement obtenir des résultats aussi. exacts et
avec moins de peine, par le moyen de la fonction Q = a^ -^^ qui
sert à déterminer les différences secondes S^'U. C'est l'objet de 1*
seconde méthode que nous avons à exposer.
6i EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Il faudra alors faire usage delà formule
^'V = Q + ^ J'-Q" - ^ ^^Q" + g|g3 /'Q'" - etc.,
el on prendra a assez petit pour que la suite se re'duise sensible-
ment aux deux premiers termes, ce qui aura lieu si le troisième
JN4Q00 ggj partout moindre qu'une demi-unité du dernier ordre
de décimales auquel on s'arrête dans le calcul des quantités J^^U.
On voit qu'en attribuant une valeur déterminée à <?- , et prenant la
quantité Q sur la même ligne, il faudra prendre J'Q° sur la ligne
supérieure pour former la somme Q -{ J^^Q° ; cette somme re-
présentant cT^U", devra être portée également sur la ligne supérieure
qui répond à la variable (p — et.
La colonne des cT'U étant ainsi formée , il restera à avoir la valeur
de cTU correspondante à cp = o , et c'est ce qu'on obtiendra immé-
diatement par la première formule. Au moyen de celte valeur et
de la colonne des différences secondes, on formera la colonne des
différences premières SU , et de celle-ci on conclura de même par
addition , les valeurs successives de U.
71. Cette seconde méthode sera en général d'une pratique plus
facile que la première , parce que la fonction Q est beaucoup
plus petite que P et n'a pas besoin d'être déterminée avec un
aussi grand nombre de chiffres significatifs , ce qui permettra
d'employer pour ces calculs des Tables de logarithmes moins
étendues.
Cependant comme les erreurs des différences secondes s'accu-
mulent suivant la progression des nombres triangulaires , dans les
résultats qu'on en déduit pour les fonctions principales, il faudra
en général exprimer les quantités Q avec une décimale de plus que
les quantités P ; il faudra aussi , dans le cours de l'opération, cal-
culer directement à des intervalles déterminés , la différence pre-
mière cTU, afin de vérifier et de pouvoir corriger les résultais
produits par les différences secondes.
Psous donnerons ci-après quelques autres préceptes pour tirer de
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 6?
ces mëlhodes le plus grand degré d'approximation qu^elles peuvent
offrir. Nous n'ajouterons ici que le tableau de l'opération qu'il faut
exécuter pour ajouter un terme à la colonne des U.
72. Voici, dans la première méthode, le tableau figuré de l'état
où le calcul est resté , après avoir trouvé la valeur de la fonction U
qui répond à la variable «p.
Variable.
Fonction.
Diff. I.
Auxiliaire.
Diff. I.
II.
(p — 5x
(p 2'J.
Ç — a
u*°°
u°°
u°
u
U'
cJU°
su
pooo
poo
p,
p
rpoeo
cTP'»
rapooo
JNapo,
Japo
(P
cTP
(p H- a
P'
Dans ce dernier état, les colonnes sont terminées, comme les barres
l'indiquent, par les termes (p,U , éU% P, cTP", J»P°°. Pour aller
plus loin, il faut calculer l'auxiliaire P' ou ctu' qui répond à la va-
riable <pH-a; connaissant P'^ on formera dans les colonnes suivantes
les termes cTP, cT^P" ; d'où l'on tirera crU = P+ -^ cT^P", et ensuite
U' = U+crU, ce qui ajoutera un terme à toutes les colonnes*
73. Nous avons supposé que le troisième terme — ^~- /4poo ^g^
négligeable dans la valeur de cTU- s'il fallait en tenir compte, la
colonne des P et les colonnes suivantes devraient être avancées d'un
terme de plus, pour qu'on put connaître la différence S'^P"^^ qui entre
dans la valeur de SU°. Voici donc quel serait alors le dernier état du
calcul , après avoir déterminé SU° et U.
J I
Variable.
Fonction.
Diff. I.
Auxiliaire.
Diff. I.
II.
III.
— 1
(P — 5ot
(p 2Ct
Ç — a
Uoo.
Uoo
U*
U
SU"'
SU'
su
pooo
poo
po
p
P'
J'-poco
JNpoo
sv
cfP
rapooo
Japoo
JNap,
S'V"'"
jvapoo
J3pc
cT^P"*!
f\4po« i
<P
ci^P
(P + a
U'
Si"
(p -j- 2Ct
P"
i
^\^. ,64 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Jrour ajouter un terme au-dessous des barres qui marquent le der-
nier ëtat des choses^ il faut commencer par calculer l'auxiliaire
P" = ap»" qui re'pond à la variable cp -f- 2a; connaissant P', orf for-
mera les diffe'rences cTP', cT'P , cT^P", S^'P°°, au moyen desquelles on
connaîtra J^U = P + ^ J*P° — =i|- cT^P-, et ensuite U'=U-j-crU.
74. La marche de l'opération est à peu près semblable dans la
seconde me'lhode. Supposons d'abord qu'on s'est assuré que les
cT'^Q sont négligeables et qu'ainsi on a , avec une exactitude suffi-
sante, S^'\J°z=. Q -f- i- cT^Q" ; on pourra représenter comme il suit ,
l'état des choses , lorsque le calcul a été conduit jusqu'au terme cf *U°'
qui fait connaître S''\J° et ensuite U.
Variable.
Fonction.
Diff. I.
II.
Auxiliaire.
Diff. I.
II.
(p — 3a
(p — 2a
<P CL
TTooo
u°°
u°
u '
^IJooo
SU"
JXa-JJooo
S'^U"
/^ooo
Qoo
Q»
Q
JNQooo
^aQo = o
JsQoo
<P
éU
<P -h et
U'
Q'
^ha
Pour aller plus loin , il faut calculer l'auxiliaire Q' égale à ce que
devient la fonction a* -7- en y substituant (p -|- a au lieu de (p ; con-
naissant Q', on connaîtra cTQ , J'Q" et cT'U^ ; enfin au moyen de
S'^U", on connaîtra SU et U', ce qui ajoutera un nouveau terme à
toutes les colonnes.
75. S'il fallait avoir égard aux quatrièmes différences , on ajoute-
rait un terme de plus à la colonne des quantités Q et aux colonnes
suivantes. Voici alors quel serait le dernier état des choses , lors-
qu'on est parvenu à déterminer U au moyen de la valeur. , . . . .
^.Uoo__ Qo . ± JVaQoo L J^4Q'>oo^
Variable,
*> 9-
CONSTRUGIION DES TABLES ELLIPTIQUES. 65
Variable.
Fonction.
DilF. I.
II-
.\uxiliaire.
DifF. 1.
IL
m.
IV.
<P — 3a
TToao
^u-°
JN.U°-
/^ooo
J\Qooo
J.Qooo
cl 3Q»°°
J4QO0.
<P — 2a
U = o
cTU''»
cr»u°°
Qoo
cTQ^'
JNaQoo
JN3Q00
(P CL
u»
cTU'
Q°
cTQ^
cT^'Q»
<?
u
Q
^Q
<?) + a
^'
Pour aller plus loin , on calculera l'auxiliaire Q" qui repond à la
variable (p-|-2a; on en déduira les dififérences successives ê^Ç^-,
cT^Q, cT^Q", cT'^Q"", au moyen desquelles on connaîtra J^U°:=Q
H cT'Q'* — - cT^Q"', ensuite cTU et U', ce qui ajoutera un terme
à toutes les colonnes.
Dans cette méthode ^ on ne néglige que les différences ^^(^ ,
lesquelles sont de l'ordre a^, puisque Q est de l'ordre a* ; on pourra
donc fixer a priori le nombre de décimales qu'on devra admettre
dans l'expression des fonctions U ; mais nous avons déjà fait observer
que les erreurs sur les différences secondes se multiplient comme
les nombres triangulaires; ainsi il faudra se procurer, à des inter-
valles déterminés, des valeurs exactes de la fonction principale U
ou de sa différence première cTU, afin de connaître et de corriger
les petites erreurs qui auraient pu s'accumuler par le progrès des
opérations.
5 III. Application des métliodes précédentes aux fonctions
elliptiques E et Y,
76. Les méthodes précédentes s'appliquent immédiatement aux
fonctions E et F , puisque ces fonctions sont exprimées par les
intégrales E = fÊ^d<p , F = j -~ , où l'on a A = v/'(i — c*sin»vp) ;
on construira donc , par leur moyen , les Tables particulières qui
conviennent à une valeur déterminée du module <?, ou de l'angle 9
dont ce module est le sinus. Mais il faudra former un système de
Tables semblables , qui correspondent à une suite de valeurs de
l'angle 9, aussi peu différentes entr'elles qu'il sera possible, afin qu'on
9
66 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
puisse assigner , dans chaque cas particulier, les valeurs de E et deE
qui répondent à des valeurs données des angles Q et (p.
77. Pour expliquer plus clairement Tusage de nos formules, nous
les appliquerons à la fonction E , dans le cas de c = sin 45% qui
lient le milieu entre les limites c = o , c = sin 90°. Nous suppose-
rons en même temps qu'on fait ot = à un demi-degré = ^^r-, c'est-
à-dire que la Table des fonctions 'E=/Ad(p doit être construite
pour toutes les valeurs de (p , de demi-degré en demi-degré, depuis 0°
jusqu'à 90°.
Des deux méthodes que nous avons données pour construire
une semblable Table ^ nous choisirons celle qui sert à calculer les
différences secondes de la fonction E par le moyen d'une auxiliaire
= a' -— = — 4 c'cc" , d ou 1 on déduit
Cette valeur suppose que le terme suivant de la série, contenant
(^^Q°°, est négligeable-, or c'est ce qui a lieu dans le cas présent^
et ce qui aura toujours lieu à l'égard de la fonction E , à moins
que les quantités c et sin (p ne soient toutes deux très-rapprochées
de l'unité.
Pour calculer les valeurs successives de Q, soit C=jc''cl'', et soit A
un angle déterminé par la valeur sin À =c sin (p, on aura A=cos.^,
et en omettant le signe de Q ,
>-v f sin 2(p
cos A
dans l'exemple proposé , on aura ^ = ^ a" = (~-) , et
log è = 5.27965 474^6*
78. Nous nous proposons de calculer jusqu'à douze décimales les
valeurs de E ; alors les quantités Q auront huit chiffres significatifs
au plus y de sorte qu'elles pourront être calculées par les Tables de
logarithmes à dix décimales, qu'on réduira à huit, et même quelque-
fois par les Tables à sept décimales seulement. L'opération pria-
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 67
cipale, pour avoir lo^ Q, est de déduire log cos A de la valeur
connue de log sin A ; il suffira le plus souvent , pour cet objet , de
tenir compte des premières différences donne'es par les Tables ,
dans Ihypotlièse de huit décimales seulement. Soit A la différence
qui répond à / sin a, et B la différence qui répond à Zcos «, a étant
l'angle de la Table, immédiatement plus petit que Aj si l'on fait
/sin A = /sin ^z + r , on aura /cos X = l cos a — .
Cette formule sera suffisante presque dans tous les cas , et le calcul
n'en sera pas bien compliqué , parce que les différences B et A ,
ainsi que r j peuvent être prises en bornant les logarithmes à huit
décimales.
Cependant si on voulait calculer / cos A de manière que le résultat
fut exact jusqu'à la dixième ou la douzième décimale, voici le moyen
qu'on pourrait employer.
Soit a l'angle de la Table qui approche le plus de l'angle A , et
supposons qu'on ait à la fois
/ sin A = / sin a zh. r , l cos K= l cos a qpK;
il s'agit de trouver la différence R par le moyen de la différence
donnée /■; pour cela on aura la formule
R = ,■ Ung- «/. ± -^±-) , ^« = ^» r K-'O
" \ COS 0/
ou
log R = log (/• lang" a) ztz (r + /* lang*^!).
7g. Les règles précédentes pour calculer log Q , s'appliquent à
toutes les valeurs de cp dans l'exemple proposé , parce qu'on aura
toujours tang ^ < i ; mais si c et sin (p étaient tous deux très-proches
de Tunité , tang a pourrait devenir très-grand, et il faudrait em-
ployer un autre moyen pour calculer la valeur de A qui fait connaître
celle de l'auxiliaire Q.
Alors A devra être mis sous la forme A = \/( Z»^-}" <?* cos' (p) , et
si on prend un angle fz tel qu'on ait
. c cos (Z> , n
tang fjL = — j—^ = tang B cos (p ,
il en résultera A= — — , et de la* Q =5' sin 2^ cos/tA, en faisavil
^l -Â'k^J^.
68 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
y = -^^-T — ; dans l'exemple proposé , on aura
log> =5.43014 97464.
11 s'agit donc , pour avoir Q , de déduire log cos ^ de la valeur
connue de log lang /a 5 c'est ce qu'on peut faire , comme ci-dessus^
avec une exactitude presque toujours sufiîsante , par le moyen des
différences premières qui répondent à log cos/^ et log tang fju. Si on
veut obtenir une plus grande précision, soit a l'angle de la Table
le plus approché de //. ; si l'on fait à la fois
l tang fJL-==- l tang « db /• , / cos ijl= l cos « qp: R ,
on déduira la différence R de la différence connue r, par la formule
R = /' snx'a ( i d= M/- cos^«) ,
ou
logR = log (r sin'' a ) db /• rp /' sin* a.
Celte manière de calculer / cos y. qui fait connaître A et Q , n'est
sujette à aucune exception ; elle peut élre employée dans toute
l'étendue des Tables qu'on veut construire , quels que soient les
angles ô et (p ; en effet , on voit que l'angle /a qui est 6 lorsque
<p = 0 , diminue continuellement à mesure que <p augmente, et finit
par être nul lorsque <p = 90°.
80. Par la formule Q = >- sin 2(p cos fJL , on voit que l'auxiliaire Q
est nulle aux deux limites de la Table ^ savoir, lorsque (p=o et
lorsque (p = 90°; il y a donc entre ces deux points une valeur de Q
qui est un maximum; ce maximum se détermine par l'équation
tan^îp = \/— — - = \/t (c'est le point remarquable où l'on a
F(p = i F' ) j alors Q = ^ ^"^ . Dans le cas de ô = 4^" <ï"e nous
avons pris pour exemple, on trouve le /?/«Jt:'i>wM/7ïQ=o. 00002 2 3o5o 94,
il répond à l'amplitude <p = 49° ^6' à peu près.
Pour la fonction F on a l'auxiliaire <2= >' sin 2cp cos^/^, en faisant
pour abréger ^' = |^ j elle s'évanouit encore aux limites ip = o ,
(p z=i 90°, et son maximum a ^ lieu lorsque tang^ <p = tang" 6
+ l/(i + tang' 8 H- tang-^Q). Dans le cas de ô = 4^° ? on a
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 69
fang* (p = I + \/3, ou à peu près (p = 58° 5o' , ce qui donne le
maximum Q = o.ooooS 34082 54*
81. Voici deux exemples du calcul de l'auxiliaire Q relalive à
la fonction E, que nous résoudrons chacun par les deux méthodes
que nous avons exposées.
Soit 1°. <p = 53°3o'; suivant la première méthode, on fera le
calcul comme il suit , en supposant toujours c = sin 45°.
l sin A = / sin a — r
cos a. . . g. 964 II 53965
R 4- 12845
cos À... g. 964 II 66810
€... 5.27963 47486
-~... 5.3i55i 80676
cos A '
sin2(p... 9.96402 60827
c.
9
84948
50022
sin (p.
9
.74188
94971
sin A.
• •
9
.5gi37
44993
sin a.
9-
5gi58
16478
r
71485
f\
4.85421
49
tang*<7.
• •
9
25453
25
/(rlang^âî)
—
4
10874
74
/'. . .
—
71.5
;• tang*â!. . .
—
12.8
log Q = 5.27954 4i5o3
Q = 0.00001 90346 iS
logR = 4.10873 96
Par les formules de la seconde méthode, on procédera ainsi :
tang^... 9.92110 65899 cos a.,. 9.88556 55668
tang«... g. 921 II 8i8i3 R -f 47544
r = — ï Ï5914 cosytA... g. 88536 83212
y.. . 5.43014 g7464
r... 5.0641 5 6 sin 2Cp. . . g.g64o2 60827
sin"a. . . 0.61206 4 1^^ r\ ^ V/ 7~7~ir
^ -^ ^ 10 g (^ = 5.27g54 4i5o3
/(/•sin'a) = 4.67710 o Q = 0.00001 90346 18
;• — r siQ. a . . .
7
log R = 4'(^7709 3
Supposons 2\, (p = 70°; le calcul fait par la première méthode
^o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
donnera les re'sultals suivans :
c. , . g. 8494s 5oo22
sinfp... 9. 97 ^fgS 58 164 / sin A= / sin a — r
sinA... 9.82247 08186 cos^... 9.87350 37415
sina,.. 9.82247 52805 R... 55274
/■ = 44G19 cosA... 9.87350 72687
^... 5.27963 47486
r..'. 4.649520 5.40612 74799
tang'^... 9.897943 sjg 2<p... 9.80806 74967
/(rtang''^) — '4,54-465 log Q = 5.21419 49766
,.,_ 4.5 Q = o.ooooi 63755 i5
/• lang* a. . . — 3.5
logR = 4.547455
Par la seconde méthode on trouvera ce qui suit :
/ tang jbt =z l tang a -^ r
tang/^... 9.53405 16846 cosû.,. 9.97598 07553
tang«... 9.55402 28281 R... 50219
/• = 2 88565 cosyw — 9.97597 77334
y... 5.43014 97464
r... 5.46024 36 sin2(p... 9.80806 74967
sia'fl... 9.02000 72 log Q = 5.21419 49765
l{rsWa) = 4.48025 08 Q = o.ooooi 65^55 i5
; rs'm^a. . . 2 59
logR = 4.48027 67
On voit que ces deux méthodes s'accordent parfaitement. Les calculs
ont été faits avec la même précision que si on voulait avoir la valeur
de Q exacte jusqu'à la quatorzième décimale ; on pourra donc les
faire avec deux décimales de moins j lorsqu'on ne voudra avoir que
douze décimales exactes.
82. Il est facile, par les moyens indiqués , de former la colonne
des auxiliaires Q et celles de leurs différences premières et secondes.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. yt
lesfquelles serviront à former la colonne des difTerences secondes S 'E,
d'après la formule
Mais pour avoir les diffe'rences premières cTE , et ensuite les fonc-
tions E elles-mêmes , il faut connaître le premier terme JEo qui
répond à (p = o; et ce premier terme est la même chose que Ea ^
puisqu'on a Eo = o.
Or la quantité A == ^( i — c'sin'tp) étant développée en série,
on en tire fà.d(p ou
E ((p) = (p — ^ c" fd(p sin*(p — -^ c^fd(p sm^<p — etc.
2.4
Soit sin (p = X j on aura
fd<p sin=(p ^fœ'^docii-x^Y^^z^^^ + 1 . ^ + i^ . Ç + etc. ,
fd<psm^(p:=fx^dx{i—x'Y^=^~-\'~.~ + i^.^-l- etc.
Ces suites sont très-convergentes lorsque x est très-petit; si on fait
donc (p z=z et z=z -^ , on aura les valeurs suivantes, exactes jusqu'à
la quinzième décimale :
EW=:a~^6-(5.3454i 424ô4)-t^U9.oo525 n), • f- ICh
F(a) = a + ^c" (3.34541 42464) -f-|c4 (9.00525 11). ^^
Les nombres en parenthèses désignent les logarithmes des coefficiens^
et la caractéristique 9, qu'on voit dans le troisième terme, indique
une fraction décimale dont le premier chiffre significatif est au
onzième rang. On a d^ailleurs
et = 0.00872 664G2 59971 65.
83. Connaissant ainsi Ea qui est la même chose que cTEo, on
pourra, comme nous Tavons dit , construire la Table dans son entier
au moyen de la formule cT'^E" = Q -f-y^ ^'Q°. Mais pour empêcher
autant qu'il est possible , les erreurs dues au terme tt cT'Q^ de s'ac-
cumuler , nous avons tenu compte des restes que donne la division
de cf^Q" par 12.
Pour cela nous avons joint à la colonne des secondes différences <f *Q
/
72 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
une autre colonne contenant deux nombres que nous désignons par q
et/', et dont voici l'usage. Soitr° le terme qui pre'cède /■,el supposons
qu'en divisant J''Q-|-/'° par 12, le quotient soit q et le reste /',
on fera constamment cT'^E = Q' -f- ^ , ou dans la ligne pre'cëdente,
er"E°==Q+^° (*).
84. Nous Joignons ici la se'rie entière des calculs faits d'après ces
principes, pour obtenir, dans le cas de c = sin 45°, les valeurs de
la fonction E , correspondantes à tous les degrés et demi-degrés de
l'amplitude <p.
On peut observer que pour les mêmes valeurs de c et de (p, l'auxi-
liaire qui est Q pour la fonction E, devient ^^ pour la fonction F;
d'ailleurs A est toujours donné par l'opération même qui sert à trou-
ver Q , puisqu'on a dans la première méthode A =cos À, et dans la
seconde A = . Ainsi en construisant la Table des fonctions E
COP fJi.
pour un module donné , on peut construire simultanément la Table
des fonctions F qui se rapporte au même module.
Comme le mode de procéder est le même dans l'une et l'aulre
Table , nous n'avons pas cru devoir joindre ici la Table particulière
qui concerne la fonction F , d'autant que celle Table et celle des
fondions E, ont besoin d'une dernière rectification qui leur donne
toute l'exaclilude dont elles sont susceptibles.
(*) Peut-être serait-il encore plus exact d'ajouter à <^^Q , non pas le reste pré-
cédent, mais la somme de tous les restes précédens. Soit cette somme r=^°, ou
prendrait pour q le quotient ^'Q + 2^^ divisé par 12 , et pour ^ le reste , ayant
soin de prendre s , positif ou négatif, <[ 6 , ou tout au plus = 6.
=/;
^S'
. H'
75
<P'
E.
J^E.
<^^E.
Q.
^Q.
«r^Q.
o°oo'
o.3g
1 .00
1 .3g
2.00
2.3o
0.00000 00000 00
0.00872 65908 'j^
0,01745 284c)4 88
0.02617 84436 20
0.03490 3o4ii 95
G. 04362 63io3 22
872 66908 79
872 62686 09
872 66941 32
872 45.975 75
872 32691 27
872 16090 41
3322 70
^H^_ 11
9966 67
13284 48
16600 86
19914 07
0000 00
3322 75
^'^^/^ 88
9965 73
13284 ^
1 660 1 1 2
3322 76
3322 i3
332G 96
33i8 ^'^
33i6 43
33i3 27
62
128
189
25'3
3i6
38o
5+2
11 — 2
16 — 6
21 — 4
26 0
32 — 4
3.00
3.3o
4- 00
4.3o
5.00
o.o5234 791.93 63
0.06106 73369 97
0.06978 48322 82
G. 07849 94747 20
0.08721 11343 20
871 96176 34
871 72962 85
871 \^/^o4 38
871 16696 00
870 83473 41
23223 49
26628 ^'J
29828 38
33 122 69
364 1 G 4'8
1.99^4 39
23223 86
26628 89
29828 85
33i23 12
3309 47
33o5 o3
3299 96
3294 27
3287 ^/^
607
669
633
698
37-4
42 — 1
53 + 1
68 + 3
5.3o
6. GO
6.3o
7.00
7.3o
0.09691 94816 61
0. 10462 41879 54
0. I l332 4q25l 09
0. 12202 i3657 94
G.i3o7i 3i835 04
870 47062 93
870 07371 '55
869 ^^Q^ 85
86q 18177 10
868 68691 18
39691 38
42964 70
46229 76
49485 92
5'.i732 69
364 11 06
39692 02
42966 38
46230 49
49486 72
3280 96
3273 36
3266 1 1
3266 23
3246 71
760
826
888
962
ioi5
e4 — 5
68 + 4
74 -h 4
80 — 4
84 + 3
8.00
8.3g
9.00
9.30
10. 00
0. 13940 00626 22
0.14808 \^/^^\ 81
0.16675 75474 3i
0.16642 77269 o3
0. 17409 16654 69
868 16968 69
867 69989 5o
867 00794 72
866 38385 ^Ç>
865 72774 42
66969 09
69194 78
62409 06
66611 24
658oo 69
62733 43
66969 99
69196 ''j/^
62410 06
66612 3o
3236 66
3226 75
3214 32
3202 24
3189 5i
1081
1143
1208
1273
i336
90 + 4
96 - 5
100 + 3
106 + 4
112 — 4
10. 3o
1 1 .00
Il .3g
12. oo
12.3o
G. 18274 88429 11
0.19139 92402 84
G. 20004 24399 77
0.20867 81267 83
0.21730 69829 58
865 03973 73
%^^ 31906 q3
863 56"868 b6
862 78671 75
861 97163 33
71976 80
761 38 87
78286 3i
81418 42
84534 69
68801 81
l^^ll 96
76140 10
78287 58
81419 75
3176 16
3i62 i4
3i47 48
3i32 17
3ii6 22
1401
1466
i53i
1695
1 660
116 + 5
123 — 5
127 + 2
i33 + I
i38 + 5
i3.oo
i3.3o
14 00
14 -30
i5.oo
G. 22692 56982 91
0.23453 69601 66
G. 2431 3 94586 24
0.26173 28864 36
o.26o3i 69341 61
861 12618 74
860 24984 59
869 34268 12
858 40487 26
867 43660 53
87634 16
90716 ^j
93780 87
96826 72
99853 35
84535 97
87635 Ô9
90717 96
93782 42
96828 32
3099 62
3082 37
3o64 /^^
3045 90
3026 69
1726
1791
i856
1921
1988
144 + 2
^49 + 5
i65 + 1
160 + 2
166 — 2
i5.3g
16.00
16. 3g
17. co
17.30
G. 26889 i3oo2 14
0.27745 66809 32
0.2860G 97766 39
0.29455 32867 12
o.3o3o8 59146 /^-j
856 43807 18
855 40947 07
854 35"ioo 73
853 26289 35
862 14534 78
1 02860 1 1
1 06846 34
.1 08811 38
1 11764 67
1 i^^j"^ 24
99866 01
1 02861 82
1 06848 11
1 o88i3 20
1 11766 /^i^
3oo6 81
2986 29
2966 09
2943 24
2920 73
2062
2120
2i85
2261
23i8
171 — 2
177 — 6
182 — 5
187 + 2
'93 + 4
18.0G
18. 3o
19 . 00
19.30
20. co
o.3ii6o 73681 25
0.3201 i 73543 79
0.32861 55827 60
0.3371G 17668 o3
G. 34557 66212 96
85o 99869 54
849 82286 81
848 61840 43
847 38544 92
846 12425 ^^^
1 17672 73
1 20446 38
1 23296 61
1 26119 46
1 28917 65
1 14677 17
1 17674 72
1 20448 42
1 23297 61
1 26121 62
2897 55
2873 70
2849 19
2824 01
2798 14
2385
2451
2618
2687
2653
Ï.99 + 1
204 + 4
210 + 2
216 — 3
221 — 2
20.3g
21 .00
2i.3o
22.00
22. 3o
0.35403 68638 41
0.36248 62146 32
0.37092 03966 i3
0.37934 21350 48
0.38776 oi585 91
844 835o7 91
843 61818 81
842 17385 35
840 80235 43
839 40^97 62
1 31689 10
1 34433 é,^
1 37149 92
1 39837 81
1 42496 47
1 28919 76
1 3/691 37
1 34435 78
1 37162 3o
1 39840 26
2771 61
2744 41
2716 62
2687 95
2668 71
2720
2789
2867
2924
3994
227 — 6
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641 + 2
65. 00
1 .03292 6doo3 53
668 96421) j6
1 87696 63
1 89985 03
2281 ^<^
76j4
640 —4
65. 3o
1 .03961 62430 29
66 j 08730 i3
I 85337 93
1 87703 o3
2358 73
7646
637 — 2
66.00
1 .04628 71 160 49
665 233q2 20
1 82902 77
1 85344 3o
2435 19
7614
634 +4
66. 3o
I .06293 9455a 62
663 40489 43
1 80391 4^
1 82909 1 1
2611 33
7^77
632 —3
67,00
1 .o5o57 35o42 c5
661 60097 97
1 77804 40
1 80397 78
2687 10
7636
628 —3
67.30
1.06618 96140 C2
669 82293 67
1 76141 98
1 77810 68
2662 46
7487
624 —4
7
6
■
■-
<p.
E.
lE.
i^^E.
Q-
«^Q.
^'^Q.
q> r.
67° 3o'
68.00
68. 3o
69.00
69 . 3o
70. ce
I ,06618 96140 02
1 . 07278 77433 69
1.07936 64685 18
1 .08693 19332 07
1.09247 84485 91
1 .09900 82932 10
669 82293 67
658 07151 69
656 34746 89
654 65i53 84
662 98446 19
65 I 34697 08
I 76141 98
1 72404 70
1 69693 o5
1 66707 65
1 63749 11
I 60718 16
1 77810 68
1 76148 22
1 72410 89
1 69699 20
1 66710 74
1 63755 16
2662 46
2737 33
2811 69
2886 46
2968 59
3o3i 02
7487
7436
73i3
7243
7170
624—4
619+4
6i5+i
609 -j- 6
604+1
698-6
70.30
71 .00
71.30
72.00
72.30
1.10662 17629 18
I. 11201 91608 11
1.1 i85o 07971 53
1 . I 2496 69892 96
1 . i3i4i 80616 92
649 73978 93
648 i6363 42
64Q 61921 43
645 10722 96
643 62837 09
1 67616 5i
1 54441 99
1 5i 198 47
1 47886 87
1 44606 20
1 60724 i3
1 67621 41
1 54447 82
1 61204 23
1 47891 55
.3io2 72
3173 69
3243 69
33i2 68
338o 77
7087
7000
6909
6809
6704
5qo + 2
583 + 6
576 + 3
568 — 4
658 + 4
73. OO
73. 3o
74.00
74.30
76.00
1.13785 43453 01
1.14427 61784 90
1.16068 39069 32
1 . 16707 78789 90
1.16345 8466"5 04
642 i833i 89
640 772.'j4 42
639 39730 58
638 06766 14
636 75441 60
1 41067 47
1 37643 84
1 33966 44
i 3o323 64
1 26619 40
1 44610 78
1 41062 97
1 37649 23
1 33970 74
1 3o328 72
3447 81
35 1 3 74
3678 49
3642 02
3704 25
6693
6475
6353
6223
6086
55o — 3
539 + 4
63o — 3
618 + 4
507 + 6
76.30
76.00
76.30
77.00
77.30
1 . 16983 59996 64
i.i7"6i8 c8'8i8 H
1.18262 34786 64
1.18886 41724 48
1 . 19617 335i4 78
635 48822 20
634 26967 80
633 06937 84
63 1 91790 3o
63o 80681 61
1 22854 4o
1 19029 96
1 16147 54
1 1 1 208 6ç)
1 07216 01
1 26624 4?
1 22869 36
1 19034 79
1 16162 24
1 112l3 26
3766 1 1
3824 57
3882 55
3958 98
3993 81
6946
6798
6643
5483
53i8
4q6 0
483 + 2
470 + 5
457 + 4
444 -Q
78.00
78.30
79.00
79.30
80.00
1 .20148 14096 39
1 . 20777 87462 99
1.21406 67661 41
1 .22034 28789 96
1 .22661 04996 69
629 73366 60
628 70198 42
627 71128 64
626 76206 G4
626 86480 67
1 o3i68 18
99069 88
9492*1 90
90726 07
86484 27
1 07219 46
l 03172 46
99074 02
94926 89
90729 .90
4046 99
4098 44
4148 i3
4193 99
4241 96
6145
4969
4786
4597
44o3
428 + 3
414 + 4
399 + 2
383 + 3
3S7 + 2
80. 3o
81.00
81. 3o
82.00
82.30
1 .23286 90477 16
1.23911 89473 4^
1 .Q/^S'SS 06271 32
1 .26169 45198 69
1 .26782 10623 14
624 98996 3o
624 16797 86
623 38927 27
622 66424 56
621 96327 60
82198 44
77870 69
73502 72
69096 96
64666 39
86487 94
82201 96
77873 92
73506 88
69099 93
4286 99
4328 o3
4368 04
4406 95
4441 74
44?^ 34
4606 73
4636 86
4562 70
4687 20
4204
4001
3791
3579
336o
36i— 6
333—1
3i6 — 2
298 -f 1
280 + 1
83. 00
83. 3o
84.00
84. 3o
85. 00
1 .26404 06900 j4
1 . 27026 38622 96
1 .27646 10114 93
1 .28266 26933 21
1.28886 90613 4y
621 31672 21
620 71491 98
620 16818 28
619 64680 26
619 18104 74
60180 23
55673 70
5ii38 02
46676 52
41988 5i
64658 19
60182 85
55676 12
5ij4o 26
46677 56
3i39
2910
2684
2450
22l5
262 — 4
242 + 6
224+ 1
204 + 3
i85 — 2
85. 3o
86.00
86. 3o
87. co
87.30
1 .29606 08718 21
1.30123 84834 44
I .30742 23671 3i
i.3i36o 29667 72
1 .31978 07439 93
618 761 16 23
618 38736 87
6j8 06986 41
617 77882 21
617 54439 18
37379 36
32760 4G
28104 20
23443 o3
18769 42
41990 36
57381 01
33761 90
28106 '44
23444 07
4609 35
46î?9 11
4^4^ 4^
4661 37
4673 82
19^6
1706
^49^
1245
999
i65 — 6
144+1
124 + 4
ic4+ 1
83+4
88. oc
88. 3o
89.00
89.30
90.00
1 .32696 61879 11
1 .33212 97648 87
1.33830 19132 82
1.34447 3l322 06
i.35o64 38812 68
61 j 35669 76
617 2i583 96
617 12189 24
617 07490 62
14085 81
9394 71
4698 62
18770 20
14086 44
9396 i3
4698 82
oc^ 00
4683 81
4691 3i
4696 3i
4698 82
760
5oo
261
63 — 2
42 — 6
20 + 5
85. Nous
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 77
85. Nous avons déjà dit que pour remédier à l'accumulation des
erreurs qui peut résulter de la méthode précédente, il était néces-
saire de calculer par les formules rigoureuses , les valeurs de la
fonction qui correspondent à quelques-unes des valeurs de la va-
riable (p. On aurait pu^ pour cet objet, se borner aux quatre valeurs
qui terminent les quatre parties de la Table ^ savoir, (p = 22° j ,
(p = 45% (p = 67°^, <p =90°; mais nous y en avons joint trois
autres , et voici les erreurs en plus qui se sont trouvées dans les
résultats de notre Table.
Variablecp 22°^, 26, 45, 49^, 6'j \ , 70^, 90*.
Erreur sur E (<p)... 4-62,4-93, 4-175, 4-iÔ5, 4-222^ 4-2^7^ 4-220.
Il s'agit maintenant de corriger les erreurs de tous les termes de
la Table , d'après les erreurs connues de ces sept termes ; et le
principe auquel il faut s'attacher dans cette opération délicate, est
d'altérer le moins qu'il est possible les difïerences premières de la
fonction , parce que ces différences , telles qu'elles sont portées
dans la Table , sont nécessairement très-approchées des différences
exactes.
On pourrait aisément construire des formules algébriques qui
embrasseraient une certaine étendue de termes, dans l'interpolation
des erreurs ; mais l'usage de ces formules serait pénible et souvent
peu exact. Il nous a paru plus simple de faire l'interpolation à vue
en s'écartant le moins qu^il est possible de l'ordre linéaire indiqué
successivement par les côtés du polygone, dont les angles sont les
extrémités des ordonnées qui représentent les erreurs connues.
L'inégalité dans la distribution des erreurs sur un même côté, n'aura
pour objet que de rendre moins inégales les différences en passant
d'un côté à l'autre ; et les anomalies à cet égard ne pourront jamais
être bien considérables , parce que la méthode suivie pour la cons-
truction de la Table , est de nature à ne permettre aux erreurs de se
multiplier que par des degrés presqu'insensibles.
86. C'est par ces procédés qu'on a rectifié la Table des fonc-
tions E, et en y joignant celle des fonctions F, composée et rectifiée
$emblablement,oaa formé la Table II ci-après, qui servira à trouver
li
78 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
jusqu'à douze décimales, les valeurs des fonctions F etE pour toute
valeur de l'amplilude cp , lorsque l'angle du module est de 45°. Elle
servirait aussi à faire l'opération inverse , c'est-à-dire à trouver
l'amplitude, lorsque Tune des fonctions est donnée.
On voit assez parles opérations dont nous avons donné le détail,
qu'on ne peut répondre de l'exaclitudc de la douzième décimale^ et
que même la onzième pourrait , dans quelques cas , être en erreur
d'une ou de deux unités; mais au moins on pourra toujours compter
sur l'exactitude de la dixième décimale^ et l'emploi des deux autres
dans les calculs d'interpolation _, garantira les résultats de toute erreur
sur la dixième décimale. Si on n'a besoin que de sept décimales
exactes dans le résultat , il suffira d'en admettre huit dans les calculs
d'interpolation, ce qui les simplifiera beaucoup,
87. Maintenant pour avoir un système complet de Tables ellip-
tiques, il ne s'agit que de construire, par les mêmes méthodes, des
Tables particulières analogues à la Table II , qui répondront à tous
les angles du module de demi-degré en demi-degré. On pourrait,
après les calculs faits, réduire toutes les fonctions à dix décimales,
et alors chaque Table particulière analogue à la Table II, n'occu-
perait que trois pages ^q\\\. in-folio , ce qui ferait pour les 181 Tables,
un volume de grosseur médiocre. J'ose espérer que cette entreprise
dont l'utilité se fera sentir de plus en plus , sera mise un jour à
exécution par quelqu'un de ces hommes laborieux qui apparaissent
de temps en temps dans la carrière des sciences, pour laisser des
monumens durables de leur patience et de leur zèle.
Dans le recueil dont nous venons de parler , la première Table
particulière , celle qui répond à l'angle du module ô = o,se cons-
truira immédiatement, puisqu'alors on aura F = E = (p , et qu'ainsi
il ne s'agira que de mettre à côté de chaque amplitude (p, la longueur
absolue de cet arc exprimée avec douze ou un plus grand nombre
de décimales ; il ne sera pas même nécessaire d'y joindre les diffé-
rences premières , puisqu'elles sont constantes.
La dernière des Tables particulières est celle qui répond au
module c == 1 , ou à un angle du module égal à 90°; elle se cons-
truira encore d'unemanière très-facile, au moyen des Tables connues.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 79
puîsqu'alors on a E ((p) = sin (p et F ((p) = log lang (45' + ^ <p ).
Les Tables III et IV ci-après soat destinées à représenter ces
fonctions.
88. La Table III offre les sinus naturels et leurs logarithmes pour
chaque quart de degré du quadrant , savoir , les sinus naturels ex-
primés avec quinze décimales ^ et leurs logarithmes avec quatorze
seulement. Ils sont tirés les uns et les autres de la Trigon. Britan.
de Bricgs , publiée après la mort de cet auteur, par Gei^librand,
seul ouvrage où Ton trouve un aussi grand nombre de décimales ;
car le Thésaurus Mathematicus de Pitiscus , ne donne les sinus
naturels qu'avec quatorze décimales. Nous avons cru que cette
Table serait utile , ne fût-ce que pour mettre le lecteur à portée
de vérifier par lui-même, et sans le secours d'un livre qui devient
chaque jour plus rare^ les calculs que nous avons développés dans
diflférens endroits de cet ouvrage, et surtout ceux qui se rapportent
à la Table des fonctions complètes.
La Table IV donne les logarithmes hyperboliques de tang (45°+| <p),
pour toutes les valeurs de (p , de demi-degré en demi-degré ; ces
logarithmes sont en même temps les valeurs de la fonction F(p, lors-
que le module est égal à l'unité.
Connaissant , par la Table III , les logarithmes vulgaires de
tang (45°-|- 7<p) , il a suffi de multiplier ceux-ci par le module
M = 2.3o25, etc., pour avoir les logarithmes contenus dans la
Table IV.
Enfin nous avons cru faire plaisir aux calculateurs en ajoutant à ce
petit recueil, la Table V extraite des grandes Tables du cadastre,
cil l'on trouvera les logarithmes à dix-neuf décimales pour tous les
nombres impairs de 1 165 à i5oi , et pour tous les nombres premiers '^| i^g 1 - 'j^-y.
de i5oo à 10000.
89. La Table IV, dans laquelle nous avons inséré les différences
successives de la fonction , autant que le format a pu le permettre ,
fait voir que ces diflérences décroissent d'une manière très-lente ,
lorsque Tamplilude (p approche de 90°. Alors l'interpolation de la
Table devient très-difficile, ou ne donne qu'une approximation
insuffisante.
So EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Pareille difficulté se rencontrera , mais à un moindre degré , dans
les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles
se rapprocheront de l'angle droit ; il y aura alors une partie plus
ou moins étendue de chaque Table , celle qui répond aux plus
grandes valeurs de cp , dans laquelle les interpolations seront plus
difficiles ou moins exactes ; mais cet inconvénient ne se fera guère
sentir qu'à compter de l'angle du module 6= 70% et seulement pour
des valeurs <p non moindres que 70 ou 75°. On remarquera au reste
que les simples Tables de logarithmes des nombres et des sinus ,
sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur commencement, et
que celles des logarithmes des tangentes le sont au commencement
et à la fin , lorsque l'angle approche de go*.
Il serait superflu de parler ici de la double interpolation que l'on
aurait à faire selon les diverses valeurs des angles 9 et (p , lorsque
le système de Tables dont nous avons parlé sera exécuté ^ ou , ce
qui revient au même , lorsqu'on aura une Table à double entrée
contenant les valeurs des fonctions E et F, pour toutes les valeurs
des angles 6 et (p, de demi-degré en demi-degré. Mais il y a d'autres
questions qui concernent la construction de la Table elle-même ,
et qui méritent d'être discutées.
go. On peut d'abord observer que l'interpolation est en général
plus facile à Tégard des fonctions E qu'à l'égard des fonctions F ;
et si on se rappelle que toute fonction F peut s'exprimer exactement
par la fonction E et une autre fonction de même nature , on en
conclura qu'à la rigueur on pourrait se contenter de construire la
Table des fonctions E, laquelle présentera toujours plus de facilités
et moins de cas d'exception, dans les calculs d'interpolation. Cette ob-
servation réduirait presqu'à moitié le calcul des Tables elliptiques, et
ce calcul deviendra surtout d'une exécution assez facile^ si on ne
voulait avoir les fonctions E qu'avec sept décimales exactes.
Mais d'un autre côté , les fonctions F étant plus simples analyti-
quement que les fonctions E, il y a quelque inconvénient à déduire
la fonction la plus simple F ou F (c, cp) de deux fonctions plus
composées E ( c , (p ) , E(c°, (^°). Cet inconvénient n'est pas sim-
plement idéal, il se fait sentir encore par la complication qu'il entraîne
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 8ï
dans les calculs^ puisque la détermination de la fonction E(c% (p°)
suppose qu'on a calculé de nouveaux élémens c°, (p°, qu'on peut
bien déduire trigonométriquement des élémens donnés c , (p, mais
qui rendent le calcul plus long et plus difficultueux.
91. Il faut observer de plus que quand on détermine la fonc-
tion F , soit au moyen des deux fonctions E (c, (p ) , E (c% (p°) ,
soit au moyen des deux fonctions E (i?, (p) , E (c', tp'), ce qui se
fait par l'une ou l'autre des formules
^F (c,<p)==.i(i+^)E(c%(p°) — E(c,^)-|-i(i — ^)sinr,
iè»F(c,<p) = E(^,(p)— (iH-OE(c',(p') + csin(p;
les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées
dans l'expression de F, à cause de la petitesse du diviseur b dans
une formule, ou ^ Z>' dans l'autre; de sorte qu'on ne pourra se
flatter d'obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables
donnent les fonctions E.
Enfin dès qu'une^ fois on aura déduit des données c, ^, les nou-
veaux élémens c°, (p" ou c' , <p' , il n'en coûtera guère davantage pour
continuer les suites c, c' , c", etc., et cp , (p', (p", etc. , jusqu'au troi-
sième terme environ , comme cela est nécessaire pour obtenir
directement une valeur aussi approchée qu'on voudra de la fonc-
tion F {c,(p), en la déduisant des formules,
F(c,?) = Rlogtang(45-+l*'), R = ^(£i^),
OÙ <S>' désigne la limite des angles <p, (p', (p", etc.; et dans ce cas^
on n'aura aucun besoin de la Table des fonctions E.
92. Il résulte de cette discussion que , quoique la fonction F
puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions E ; ce-
pendant cette propriété ne fournit pas des moyens de calcul assez
simples pour être employée utilement dans les approximations.
Il en est de même de l'usage qu'on voudrait faire de la formule
F = E — ^77~> ouF=E — tangQ -j- , en faisant c = sin 9.
Car pour faire l'application de celte formule , il faudrait d'abord
être en possession d'une Table complète des fonctions E , calculée
82 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
pour toutes les valeurs de ôet de (p , de demi-degré en deml-degre';
de plus en appelant a la longueur d'un demi-degré , ou faisant
a = ^ , le coefficient différentiel -j- devrait être tiré de la formule
ûbo ' civ
a, ^= J^E— icT'E 4-i J^^E — f J^'^È+etc,
où les différences successives cTE , «T'E , cT^E , etc. sont relatives à
la variable G seule. Mais on voit qu'à cause de la petitesse de a ,
la valeur de -j- ne serait déterminée en général qu'avec deux
décimales de moins que la fonction E , et la précision diminue-
rait encore sur la valeur de E , à mesure que lang 6 augmenterait;
ainsi ce moyen d'approximation que nous avions proposé autrefois,
ne saurait être adopté.
95. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent naturel-
lement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément,
dans tous les cas , les valeurs des fondions elliptiques E et F ,
l'idée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par
une autre qui serait plus facile à réduire en Tables. Telle est , par
exemple, la fonction G= / — - — , dont la valeur complète,
lorsque (p = ^ tt , sera ^ tT ou 1 , selon qu'on fait 0 = 0 o\i c= i;
de sorte que dans les cas intermédiaires cette fonction éprouvera
peu de variations , et sera Irès-propre à être réduite en Tables.
Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G,
au moyen de l'équation
^ E — c=G E — G . ^
il semble au premier coup d'œil que la fonction G pourrait être
substituée avec avantage à la fonction F , au moins dans la partie
des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations,
c'est-à-dire lorsque les angles 6 et <p sont tous deux plus grands
que 70 ou yS'.
M lis en examinant la chose avec plus d'attention , on reconnaît
que la difficulté n'est qu'éludée, et qu'on n'obtiendra pas une plus
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 85^
grande approximation par ce moyen , parce que si on a, par exemple,
ù" = — , l'erreur de E — G se trouvera centuplée dans la valeur
lOO ^ *
de F. Il vaudrait donc tout autant, à mesure que Q el <p augmentent
au-delà d'une certaine limite , diminuer le nombre des décimales
qui entrent dans l'expression de F , afin que l'interpolation fût toujours
également praticable , mais donnât pour résultat un moindre nombre
de chiffres décimaux.
Pour donner un exemple de l'usage de nos méthodes , lorsque
l'angle du module est peu éloigné de 90% nous joignons ici une
Table des fonctions E et F , construite d'après ces méthodes pour
le module c = sin 89°. Cette table n'est pas calculée avec autant
de précision que la Table II , et on ne peut guère compter sur
l'exactitude de la dixième décimale; mais elle pourra être utile ,
surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier di-
verses formules que nous donnerons ci-après pour les cas oii le
module est très-peu différent de l'unité.
V
f
TT '-^ ^
c = sin 89°.
?•
E.
^E.
F.
«TF.
o°oo'
o.3o
1 .00
1 .3g
2.00
2.5g
o.ocooo 00000
0.00872 65355
0. G 1745 24066
0.02617 69490
0.03489 94986
0.04361 93911
872 66365
872 68711
872 45424
872 26496
871 98926
871 66719
o.oocoo 00000
0.00872 67670
0.01745 4^784
0,02618 29290
G. 03491 36739
G. 04364 70790
872 67670
872 74214
872 87606
873 07449
873 34061
873 67323
3. GO
3.3o
4- 00
4.3o
5.00
0.06233 69600
0.06104 855o6
0.06976 64906
0.07846 91 199
0.08716 '67761
871 26876
870 7.9399
870 26294
869 66562
869 002 1 G
G.o5258 38ii3
G. 061 12 45591
0.06986 99322
0.07862 06620
0.08737 74022
874 07278
874 53931
876 07298
876 67402
876 34264
5.3o
6.00
6.3o
7.00
7.3o
0.09684 67971
0.10462 8621 3
0. 1 l32G 32877
0.12186 94358
0. i3o52 63069
868 27242
867 476^4 ■
866 61481
865 68701
864 69331
0.09614 08286
G . 1 049 1 16197
0. 11369 04669
0.12247 80245
0. i3i27 60102
877 0791 1
877 88372
878 76676
879 69867
880 70961
8. GO
8.3g
9.0G
9.30
10.00
0. 13917 3239G
0. 14780 96768
G. 16643 46619
o.i65o4 78376
G. 17364 84482
863 63378
862 5o85i
861 31767
860 06106
858 73906
0. 14008 2io53
G. 14890 ooo55
0. 16772 94102
0.16667 10234
G. 17642 55540
881 79002
882 94047
884 "16102
886 463o6
886 81620
10. 3o
1 1 .00
11. 3o
12.00
12.3g
0.18223 68388
0. 19080 93658
0. 19936 83464
0.20791 21691
0.21644 01434
867 36170
855 89906
854 38127
862 79843
85 i 16068
0. 18429 37160
0. 19317 62285
0.20207 38167
0.21098 72116
0.21991 7i5o3
888 25125
889 76882
891 33948
892 99388
894 72266
l3.GO
i3.3g
i4-oo
14. 3o
l5.0G
G. 22496 i65g2
0.23344 6o3i5
0.24192 26406
0, 20038 o8322
0.26881 99624
849 4381 3
847 66091
845 81916
843 9i3o2
841 94263
0.22886 43768
0.23782 96421
0.24681 "37043
0.26681 73294
'O.264&4 12912
896 62653
898 40622
900 36261
902 39618
904 60807
i5.3o
16.00
i6.3o
17.00
17.30
0.26723 93887
0.27653 847o3
0.28401 66676
0.29237 30429
0.30070 72600
839 90816
837 80973
835 64"763
833 42171
83 1 13246
0.27388 63719
0.28296 33624
0.29204 3o63i
o.3oi i5 62833
0.31029 38423
906 69906
908 97007
911 32202
913 76690
916 27278
18. GO
18. 3o
19.00
19.30
20.00
0.30901 86846
0.31730 63838
0.32667 00268
0.33380 88847
0.34202 233oo
828 77992
826 3643o
823 88679
821 34453
818 74076
0.31945 66701
0.32864 53070
0.33786 09049
0.34710 42267
0. 36 637 61479
918 87369
921 55979
924 33218
927 19212
93o 14082
20. 3g
21 .00
21. 3o
22. GO
22.3g
o.35o2o 97376
0. 35837 "04843
0.36650 39488
0 . 37460 96119
G. 38268 65568
816 07467
8i3 34645
810 5563i
807 70449
8c4 79117
0.36667 76661
0.37600 93622
0.38437 24607
0.39376 77796
G.4o3i9 62820
933 17961
936 3b985
939 53289
942 86024
"946 26337
c = sin 89''
85
c = sin 89".
<f>.
E.
^E.
F.
J^F.
22° 3o'
23. co
23. 3o
24.00
24.30
25.00
0.38268 65568
0.39073 ^/^Q%b
0.39875 26343
0.40674 0444°
0.414^9 7^-894
0.42262 26649
804 791 17
801 81668
798 78097
795 68454
792 62765
789 3 1026
o.4o3i9 62820
0.41266 89167
0.42216 66646
0.43169 o4883
0.44126 14236
0.46087 04849
946 26337
949 77388
953 38338
967 09353
960 90613
964 82293
25. 3o
26.00
26.30
27.00
27.30
0.43061 66674
0.43837 69969
0.44S20 29620
0.45399 69402
0.46176 4^672
786 03285
782 69661
779 29882
776 84270
772 32761
0.46061 87142
0.47020 71728
0.47993 69413
0.48970 91206
0.49962 48024
968 84586
972 97686
977 21792
981 67119
986 03878
28.00
28.30
2g . 00
29.30
3o.oo
^ 0.46947 76423
0.47716 61778
0.48481 63885
0.49243 06920
0.60000 76089
768 75366
765 12107
761 43o36
767 68169
763 87634
0.60938 62202
0.61929 14600
0.62924 47112
0.53924 62177
0.54929 72081
990 62298
996 32612
1000 16066
1006 09904
1010 17390
3o.3o
3i .00
3i.3o
32. 00
32. 3o
0.60764 62623
0.61604 63785
0.62260 72867
0.62992 84190
0,53730 92106
760 01162
j/^S 09082
742 11 323
768 07916
733 98891
0.66939 89471
0.66955 27266
0.67976 98663
0.69002 17154
o.6oo33 96531
ioi5 ^jys4
1020 71398
1026 18491
io3i 79377
1037 54367
33.00
33. 3o
34.00
34. 3o
35.00
0.64464 .9°,9,97
0.66194 76277
0.66920 69392
0.66641 77819
0.67368 85o68
729 84280
726 641 i5
721 38427
717 07249
712 70614
0.61071 60898
0.621 14 94686
0. 63 164 4^.662
0.64220 09946
0.66282 19020
1043 43788
1049 4yQj6
io55 67284
1062 02074
1068 62728
35. 3o
36.00
36. 3o
37.00
37.30
0.68071 66682
0.68779 84237
o.5q483 65344
0.60182 93646
0.60877 63822
708 28655
703 81 107
699 283o2
Q^/i 70176
690 06763
0.66350 ^74%
0.67426 843S3
0.68607 87690
0.69696 91454
0.70693 i36o9
1076 19635
1082 03207
1089 o3864
1096 22066
iio3 58233
38. 00
38. 3o
39.00
39.30
40.00
0.61667 70686
G. 62263 08684
0.62933 72906
0.66609 58067
0.64280 69039
685 38099
680 64221
676 86162
671 00962
QQQ 11666
0.71796 71742
0.72907 84621
0 . 74026 71110
0.76163 60691
0.76288 4o3'85
1111 12879
1118 86489
1 126 79681
11 34 92694
1 1 43 26389
40. 3o
41 .00
41. 3o
42.00
42.30
o.64q4S 70684
0.66607 87966
0.66264 06841
0.66915 19320
0.67661 23448
661 17281
666 17876
66 1 13479
646 04128
640 89863
0.77431 69774
0.78083 61027
0.79744 08921
0.80913 66870
0.82092 449^1
1161 81263
11 60 67894
1169 56949
1 178 79081
1188 24981
43.00
43. 3o
44 -CO
44 -30
45.00
0.68202 i33ii
G. 68837 84033
0.69468 30778
0.70093 48761
0.70713 33196
635 70722
63o 4Sj^b
626 17973
619 84445
614 46202
0.83280 69932
0.8^478 65'3o3
0. 85686 563 10
G. 86904 68986
o.88i33 3o\85
1 197 95371
1207 910C7
1218 12675
1298 61200
1239 37437
12
86
c = siu 89'
45^00'
45.30
4s. 00
46. 3o
47.00
_47. 3o_
48.00
48. 3o
49 . 00
49.30
5o.oo
5o.3o
5i .00
5i .3o
5a. 00
62. 3o
53.00
53. 3o
54.00
54.30
55. co
55. 3o
5S.CO
56. 3o
57.00
57.30
58. 00
58. 3o
59 . 00
59.30
60.00
60. 3o
61 .00
61 .3o
62.00
62.30
63. 00
63. 3o
64 • 00
64.30
65. 00
65. 3o
66. co
66. 3o
67.00
67.30
E.
0.70713 33196
0.71327 79398
0.71936 82682
0.72540 38417
0.731 38 4'^oi5
0.73730 88921
0.74317 74635
0.74898 94696
0.75474 4i684
0.76044 20222
0.76608 16978
0.77166 30667
0,77718 57042
0.78264 91910
0.78805 3rii6
0.79339 70559
0.79868 06160
0.80390 33925
0.80906 49878
0.81416 50098
0.81920 3o712
0.82417 87^^94
0.82909 17866
o. 83394 16896
0.83872 8i3o5
0.84345 07458
0.84810
0.85270
0.85723
0.861 69
o . 86609
9 1 772
30714
20790
58591
40706
0.87042
o . 87469
0.87889
0.88302
0.88709
638 12
24624
19913
46497
01200
0.89108
0.89501
0.898H8
0.90267
0.90639
81094
83oo8
04018
41210
91717
0.91005 52728
0.91364 21486
0.91715 95290
0.92060 71491
0.92398 4j4gj
614 46202
609 03284
6o'3 55735
598 03596
592 46908
586 85714
58 1 20061
575 49988
569 75538
553 96756
558 13689
552 26375
546 34868
540 39206
534 39436
528 356o8
522 27765
5i6 15953
5io 00220
5o3 80614
497 57182
491 29972
484 99o3o
478 64409
472 26153
465 84314
409 38g42
452 90085
44^ '5'jy()2
439 821 i5
433 23 106
426 60812
419 95289
4i3 26584
406 54753
399 79844
393 01914
386 21010
379 37192
372 5o5o7
365 61011
358 68758
35 1 73804
344 76201
337 76006
33o 73274
o.88i33 3oi85
0.89372 67623
0.90623 09914
0.91884 86623
o.93i58 28296
0.94443 665 10
0.95741
0.97051
0.98374
0.99711
1 .01061
33930
64351
92761
55399
89812
1 . 02426
1 .o38c5
i.o5i99
1 .06608
1 .o8o33
34932
Si 137
2o334
46006
53447
1 .09474 89556
1 . 10933 03229
1 . 12408 45317
1.13901 68767
1 . i54i3 28740
1 . 1 6943 82740
1 . 18493- 90752
1 .20064 15396
1 . 21 655 22079
I . 23267 79 1 ^4
i .24902 58i53
1.26550 33885
1.28241 84751
1 .29947 92926
1 .31679 44615
1 . 33437
1 .35222
1 . 37035
1.38878
1 .40751
1.42656
1 . 44594
1 .46066
1.48573
i.5oSi8
3o329
45193
89240
^7774
91741
78154
5o5?2
39408
82862
27122
1 . 52701
1.54824
1 .56989
1.59198
61453
27224
477^0
6353o
60729
37629
1239 37437
i25o 42292
1261 76709
1273 4^^7^
1285 38214
1297 67420
i3io 30421
i325 28410
i336 62638
i35o 544^^
i364 4^120
1^78 96205
3393 89197
1409 25702
1425 C741 1
1441 36109
1458 13673
1475 42088
1493 23450
i5ii 59973
i53o 54000
i55o 08012
1570 q4^^4
1591 o6683
j6iq 57085
1634 78989
1607 75732
1681 5o866
■1706 08175
1731 51689
1757 85714
1785 14864
i8i3 44°47
1842 78534
1873 23967
1904 86413
1937
1971
2007
2044
2o83
72378
88876
43454
44200
00102
2 1 23
21 65
2208
2254
2302
2o5o6
i58oo
971.99
76900
68190
87
c. = sin 8c
0
ç.
E.
^E.
F.
^F.
67° 3o'
0.92398 4j4ç)j
33o 7-0274
1 . 6 I 463 37629
23o2 68190
■ 68.00
0.99.79.9 20771
333 68061
1 .63766 06819
2352 85574
68. 3o
o.93c53 888.-52
3i6 60422
1 .66108 91393
24o5 44915
'69.00
0.93369 49'^^4
5o9 6041 5
1.68614 363o8
2460 636oi
69.30
0.93678 99669
3o2 38096
1-7^974 9.9.909
2618 60726
70.00
70.30
0.93981 37765
2q5 26623
1.73493 606,34
2679 67303
0.94276 61288
288 0^754
1.76073 17937
2543 76536
71 .00
0.94564 6804a
280 87H48
1 .78716 94463
271 1 440^8
71. 3o
0.94845 55890
273 ÇGSS4
1.81428 '386oi
2782 88278
72,00
0.961 19 22754
266 43860
1 . 842 1 1 26779
2868 40869
72.30
0.96385 66614
269 18899
1 .87069 67648
2938 37069
73.00
0.96644 865 1 3
261 99041
1 .90008 04717
3o23 i63i4
73.30
0,96896 77.554
244 6335o
i.93o3i 2io3i
3ii3 22868
74.00
0.96141 4°9°4
237 32888
1.96144 43889
3209 06616
74. 3o
0.96378 73792
23o 00718
1 . 99353 5o4o5
33 11 235/7
76.00
0.96608 74610
222 66908
2.02664 73982
3490 37886
75. 3o
0.99831 41418
2i5 3i525
2.06086 11867
3557 22160
76. co
0.97046 72943
207 94636
2.09622 34097
3662 69653
76.00
0.97264 67679
200 663i4
2.13284 q358o
3797 45621
77. co
0.97455 23893
193 i663i
2. 17082 39901
3942 90699
77.30
0.97648 40624
185 75666
2.21026 29900
4100 29866
78.00
0.97834 16189
178 33496
2.26196 69.766
4270 91660
78.30
0.98012 49684
170 90206
a. 29396 444'^^
4456 72749
7.9 • °^
0.98183 3q889
i63 46881
2.33853 17155
4559 7385o
79.30
0.98346 86770
166 C0693
2. 385 12 qicoo
4882 42409
80.00
0.98602 86393
148 54533
3.43395 33414
5i3o 68336
80. 3o
0.986&1 409^^6
i4i 07723
2.48626 01760
6396 39364
8i .00
0.9879a 48649
i33 6o32o
2.53922 4' 1 t4
6701 62840
81. 3b
0.98996 08969
126 12467
2.69623 93964
6039 7931 5
82 . 00
0.99063 21436
118 64327
2.65663 "73269
6420 89641
82.30
0.99170 86763
111 16093
2.79084 69810
6853 40807
83. 00
0.99982 01866
io3 67999
2.78938 o36i7
7348 32971
83. 3o
0-99386 69865
96 20334
2.86286 35888
7919 96360
84.00
0.99481 qoi89
88 73/69
2.94206 39 938
858? 32890
84.30
G. 99670 63648
81 27864
3.09793 66068
9376 1 1736
85.00
85. 3o
0.99661 9i5o2
73 84167
3, I2l6q 76783
io32i 80670
°-9.97'^'5 76669
66 43310
3.294qi 66453
1 1472 71966
86.00
o.997q2 i8q79
69 06623
3.33q64 384o8
12912 11482
86. 3o
0.99861 20602
5i 76169
3.46876 49890
14736 71962
87.00
0.99903 01771
44 55317
3.6i6i3 21842
17199 79993
•87.30
88. co
0.9Q947 67088
37 4Q945
3.78742 94765
2o366 68374
0.99986 07033
3o 71019
3.99109 63l3q
248q3 29037
88. 3o
1 .000 16 78059
24 41794
4.2/002 93176
3)343 99016
89.00
1.00040 19846
19 ri 665
4-55346 91 199
40090 07591
89.30
1 .C0069 3i6i9
16 84265
4.95366 q87l3
48133 99683
90.00
1.00G76 16777
5.43490 98296
58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
§ IV. Autre méthode pour construire les Tables des
fonctiojis F et E.
94. On peut construire ces Tables par une autre métliode qui
n'exige que des calculs trigonométriques très-simples : voici en quoi
consiste celle méthode.
Supposons qu'après avoir pris un module cà volonté, on veuille
trouver l'amplitude (p qui répond à une fonction F égale à -~ de
la fonction complète F' 5 cette amplitude se déterminera parla mé-
thode de l'art. 67 , première Partie^ si Ton a c'< f, ou si c* étant
>> I , n'est pas trop rapproché de l'unité ; et par la méthode de
l'art. 71 j si I — c' est très-petit.
Soit dans l'un et l'autre cas , a ou a, la valeur de l'amplitude qui
donne F (a) = ^F'^ nous appellerons successivement a», «3? «*4les
amplitudes qui donnent F(a,)= 2Fût, F(a3) = 5Fa, F(aJ = 4Fa, etc.
jusqu'à F (a^oc) = 200F (a) = F\
Cela posé, la Table que nous voulons construire contiendra, dans
la première colonne, les nombres i , 2, 5. . . .200 , qui représentent
les fonctions F croissant par intervalles égaux , depuis la fonction
F(a.) = ^oF' jusqu'à la fonction complète F'; dans la seconde
colonne seront les valeurs correspondantes de l'amplitude , savoir,
^i j «a) °^i jusqu'à «3,0 ou ~ TT. Cette Table sera en quelque sorte
l'inverse de celle que nous avons construite par la première mé-
thode , et dans laquelle les amplitudes croissent par intervalles
égaux; mais la théorie des fonctions F fournit des formules très-
élégantes pour construire la Table dans ce nouveau système.
95. Désignons par (p un terme quelconque a„ de la suite a, ,-
et^^ 0L3, etc., ensorte qu'on ait F(p =/zFa; nous ferons par analogie
F ((p') = (« -f- 1 ) Fa , F (p" = ( ra -f- 2 ) Fa , et dans le sens inverse ,
F(Ç)^)=(« — 1) Fa,F <p°°= (tz — 2) Fa, etc. Cela posé, soit
A (a) ou \/(i — c" sin' a')z=a, l'équation générale de l'art. 22 ^
première Partie , deviendra
tang ( i 9' -f ^ (p° ) = ^ tang (p.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 69
Mais on a (p' — 2(p -|- <p* = J''(p° ; celle équalion peut donc se mellre
sous la forme
lang((p + 7 J'T) = «tang(p,- x .^{f'-Uj)
on déduit de là , ^
tane - cT'fp" = ^^ ^-^.
Soit ^ = ^-—7 ou A = ^-—^ j celle e'qualion deviendra
, r- . A sin 2(3 j-y*
tanff 7 cT^cp' = r-7 — ^^— > :zr-7 ec>
O ^ ^ 1 4- « COS 2(p ' "-^
et on en déduit ultérieurement,
sin I cr"<?)° = — Â: sin (2(p -I- i cT^cp' ).
Celte équation fait voir que ^S''^^" est toujours négatif; faisant
donc y cT'cp" = — &) , on aura
sin ùù •=. k sin ( 2(p — o) ).
Or h est une quantité très-petite du second ordre par rapport à a,
puisqu'on a c sin et = — -^-7 , et qu'ainsi k se déduit de csina,
suivant la même loi que le module c° se déduit du module c. On
voit donc que o) restera toujours une quantité très-petite du second
ordre ; son maximum aura lieu à peu près lorsqu'on a (p = 45°, et
ce maximum sera à peu près = A: == ( ^ c sin a )" = -i- c^'cl sin et •
dansées points extrêmes , lorsque (p = oou<p = ^:T,la quantité co
sera nulle.
L'équation sm cd== k sin (2<p — co) est facile à résoudre dans les
différens cas, avec toute l'approximation nécessaire ; on peut d'aboi ^.
négliger eo dans le second membre^ ce qui donnera sin œ =Asin 2(p,
ou simplement ct) = ksin2p', ensuite pour avoir une plus grande
approximation , on substituera cette valeur dans le second membre. StL> - ^ Sffrù^^CC
Soit alors A sin (stp — ù)) = p, on aura sin eo =: p ; donc si on ^
appelle R" le nombre de secondes contenues dans le rayon , afin
que R"ûe> exprime le nombre de secondes de l'arc m, on aura
On déduit aussi immédiatement de la formule tang Çp^j.J'^cpoy
f)b EXERCICES DE CALCUL L\TÉGRAL.
= a tang (p , une autre valeur de ^ /"(p" ou « , savoir :
&) = — \ J"'(p° = A sin 2^ — ^ A» sin 4(p + j A^ sin 6^ — etc.
Mais celte expression est en géne'ral moins convergente que la
prëce'dente , et elle paraît moins facile à calculer , parce qu'elle
exige de plus qu'on cherche dans les Tables les logarithmes de
sin 4îP f sin 6<p , etc.
Les valeurs qu'on devra donner à <p seront successivement a, , a^,
«3, etc. On calculera les valeurs correspondantes de 2&), qui seront
en même temps celles des /"tp; et comme la première valeur de cTcp,
celle qui répond à cp = o, est égale à a, on pourra former en entier
la colonne des valeurs de (p.
96. Mais pour vérifier les calculs et empêcher les erreurs de s'accu-
muler, il sera bon d'avoir une formule qui fasse connaître directe-
ment une différence première quelconque «T^.
Or on a vu ( art. 18 , première Partie) que si l'on fait
tang -4^ = A ( a ) tang (p et tang /u = A ( (p ) tang a. , on aura
(f,' = ^}.4-^; mais d'un autre colé ,->]. = <p -\- i J ''(p" et <p' = (p -\- Sep ;
donc jtA.z=zz J^<p — i J*(p° = S<p -f- 00 • donc on a pour déterminer
dii'ectement J(p , l'équation
tang {J'^~{-^) = A ((p) tang et.
On voit en même temps , par cette équation , que comme co est
toujours posilif , et A((p) toujours moindre que l'unité , on aura par
ces deux raisons , J (p < a. Ainsi toutes les quantités qui entrent ,
tant dans la colonne des différences secondes J^^ , que dans celle
des dlfïérences premières S(p , seront plus petites que des limites
données , et ne peuvent par conséquent éprouver que de petites
anomalies.
On obtiendra enfin une vérification complète de tous les calculs ,
lorsque le dernier terme de la colonne des cp , savoir a^oo , se trou-
vera égal à 90°. On peut se procurer d'autres vérifications dans
cet intervalle , en calculant la valeur de (p qui donne F^ égale à la
moitié ou à une autre partie exprimée exactement en 200'^'"*=* de la
fonction complète F'.
97. Une fois qu'on a déterminé la constante et par les méthodes
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. gi
directes, on voit que la Table entière relative à la fonction F, peut
être calcule'e par une seule formule trigonomélrique simple et ri-
goureuse, savoir, sin cù ^=. k sin ( 2(p — &)). En effet cette formule
seule servira à former la colonne entière des différences secondes;
et comme on connaît d'avance le premier terme des différences
premières cAp , lequel est égal à a , on formera de suite la colonne
entière des différences premières ^<!^ , et de là celle des amplitudes (p ,
puisque le premier terme = o.
Le problème est donc résolu complètement par la seule équation
mentionnée ; mais pour se procurer de loin à loin des vérifications ^
on a une seconde formule trigonomélrique, savoir,
tang ( S(p -f- ^ ) = ^(^) tang a ,
laquelle servira à calculer directement la différence première ê(p.
Elle montre immédiatement qu'une valeur approchée de ^(p est
tTcp = aA {^) — Où.
II faut maintenant examiner , i°. comment on interpolera la Table
des fonctions F , calculée pour une valeur déterminée du module ;
2°. comment on interpolera le système des Tables particulières ,
calculées pour les difïérens angles du module , de demi-degré en
demi-degré.
9^. Dans le premier cas, si l'on cherche une valeur de (p qui
réponde à une valeur donnée de F, il faudra d'abord exprimer F
' en parties 200'^'"" de Fi. Soit donc F = ^- — - F', n étant un entier
et X une fraction.
Soit A la valeur de cp qui répond au nombre n de la première
colonne , et soient cTA, cT'A^ cT^A les différences successives placées
sur la même ligne que A ^ la valeur de l'amplitude (Ç sera , suivant
les formules ordinaires ,
(p = A + xcTA + •:^^i^-~^ cT^A + ^-^— ^^^— ^ ^3^ 4. etc..
' ' 2 ' 2.0 '
Si au contraire on demande la valeur de F qui répond à une valeur
donnée de (p, on verra d'abord au premier coup d'oeil quel est le
nombre de la Table qui doit être pris pour A; le nombre corres-
pondant n se trouvera dans la première colonne, vis à vis d^ A f
92 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ainsi pour avoir la valeur de F = ^^-^ F*, il ne s'agira que de
* Î200
déduire x de l'équation précédente où l'on connaît <p , A , cTA ,
cT^A , cT^A ; or celte résolution n'offre aucune difficulté; car on a
ç — A
œ
2 2.0
la première valeur approchée de x est donc . ; on s'en servira
pour substituer dans le dénominateur et obtenir une seconde valeur
plus approchée de x ; cette seconde en donnera semblablement une
troisième , et ainsi de suite.
99. Venons maintenant à la seconde question. Nous supposons
qu'il existe une suite de Tables construites pour tous les angles 9
du module, de demi-degré en demi-degré, dans chacune desquelles
on trouve l'angle <p qui répond à toute fonction F (9 , ^), exprimée
par — F' (9) , n étant un nombre entier.
Cela poséj soient donnés la fonction F et l'angle u du modulera
laquelle elle appartient ; il faudra préalablement, d'après cet angle,
calculer la fonction complète F' (a) ; alors connaissant F, on con-
naîtra le nombre n -{- x (composé de l'entier n et de la fraction x) ,
tel qu'on ait F = F>.
Soit maintenant fj, = C -{- j .\° ^ C étant un nombre entier de
demi-degrés , et^' étant «< i. Dans la Table où ô = ^, on prendra
par interpolation l'amplitude (p qui répond a. n-\- x; on prendra de
même , par interpolation, les amplitudes <p', (p", <p"',elc, qui répondent
à /z + o:, dans les Tables dont l'angle du module est é" + ^%
^ -f" i"? ^ ~\~ i°T) etc. j cela posé, l'amplitude qui répond à la
fonction donnée F dont Fangle du module est jn , sera exprimée
par la valeur
<p-\-y (?'-<?) +^^^ (<p"-2<p'+^) ^y-y-'-y-'' (^-_3<p"+3^'-^) + etc.
L'opération inverse se ferait d'une manière semblable , mais il est
«uperflu de s'en occuper ici.
100.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 95
100. II faut faire voir maintenant comment on pourra former une
Table analogue pour les fonctions E : cette Table est d'une exe'-
ôution beaucoup moins facile ; cependant il se présente encore ,
pour la construire , des formules assez élégantes et qui méritent
d'être remarquées.
Soient, comme ci-dessus, <p°, (p , <p' trois amplitudes successives
telles qu'on ait F ((p°) -f- F (a) ==:F ((?) , F ((?))+ F (a) =F((p') , ou
aura^ suivant l'art. 3i , première Partie , les deux équations
E (<p') 4- E (0:) — E((p) = c^sin a, sin(?'sin(p,
E ((p)-\-E(ct) — E((p') = c'sin et s'mcp sin <p';
d'où l'on tire
E ((?') — 2E (cp) -J- E ((p°) = — c* sin et sin (p (sin <?>' — sin p=) ,
ou, ce qui revient au même,
cT'E (?>') = — c' sin a sin cp (sin (p' — sin (p°).
Mais on a sin <p' — sin (p° = 2 sin '^ ~ '^ . qq^ t-JlJîl . d'ailleurs
?:-r ^ V±i. ^ ^^ _ , ^.^.^ el^^^^ + iJ-r; donc
«T'E ((p°) = — 2c* sin a cos (tp + ^ (^'(p" ) sin ( cT^ — i J^»(p° ) sin (p, '
ou en faisant comme ci-dessus ^ S''(p° = — ù) y
cT'E ((p°) = — 2c' sin a cos (<p — ry ) sin («T^p -j- 6j ) sin (p.
J'observe maintenant qu'on a 2 sin (p cos ((p — <») = sin (2<p — ^)-f-sin o);
mais sin Cù=ksin (ap — co) ; donc 2sin<p cos (p — û))=( i-|-A)sin(2(p — m) ;
donc
cr'E((p°) = — c*(i + ^)sin a sin(2<p — o)) sin (cTcp + ce)),
ou enfin
cT^E ((p°) = -— 2c v/Â:.sin (2(p — co) s'm (J'(p-{-a)).
Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simpli-
cité qui la rend très-propre au calcul logarithmique.
101. Ainsi en même temps qu'on calculera pour la Table des
fonctions F, la quantité o) qui donne S'<P% et ensuite (^(p^ par la
valeur J^p^^J'^p'-}- S"'(p''j on aura tous les élémens nécessaires pour
i3
94 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
calculer /'Ecp" : on formera donc par cette seule formule , la colonne'
entière des différences secondes de la fonction E.
On voit que la différence seconde cT^'Etp"' s'évanouit aux deux limites-
de la Table , lorsque (p = o , et lorsque (p = go" ; son maximum
répond à une amplitude toujours plus petite que 45°.
D'un autre côté , la fonction Ea est facile à déduire des mêmes
élémens qui servent à déterminer a de manière qu'on ait Fot = 7^F',
et cette fonction Ea est en même temps la valeur de cTEo , puisque
Eo = o, et qu'ainsi la différence Ea — Eo ou crE'^ = Ea. Puis donc
qu^on connaît le premier terme de la colonne des différences pre-
mières, et tous les termes de la colonne des différences secondes ,
on pourra immédiatement former la colonne entière des différences
premières , et ensuite celle des fonctions E(p, dont le dernier terme
devra être égal à la fonction complète E'.
102. La méthode que nous venons d'expliquer pour former la
Table des fonctions E est d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer.
Et quand on considère aussi combien est facile la construction de
la Table des fonctions F, puisqu'elle ne dépend que d'une seule
formule Irigonomélrique rigoureusement exacte , on serait tenté de
croire que celte manière de former des Tables des fonctions F et E ,
doit être adoptée de préférence à celle que nous avons exposée
dans les chapitres précédens. Peut-être que l'exécution dévoilerai!
encore de nouveaux motifs de préférence ; c'est ce que nous laissons
à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail
de la construction de ces Tables.
Nous devons encore observer qu'il sera facile de vérifier aussi
souvent qu'on voudra le calcul des fonctions E; car ayant E^ — E?>°
s:^ cTEf^", on tire des équations précédentes ,
erE<p° = Ea — c'^ sin a sin (p" sin 'P;
C'est l'expression d'un terme quelconque de la colonne des diffé-
rences premières ; et on voit que ces différences diminuent conti-
nuellement depuis la première égale à Ea^ jusqu'à la dernière qui
est à peu près Ea — c' sin a, ou b^a.
io3. Pour donner un exemple des Tables construites suivant la
méthode précédente, soit le module c = sin ^S". On trouvera. par
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. gS
les formules de l'art. 67 , première Partie , la valeur de a qui satis-
fait à l'ëquation F (a) = ^ Fi , et les quantités qui en dépendent,
comme il suit :
a. = 3i'52'' 138076
IsmcL = 7.96708 78960 70
Ik = 5.o3io9 5i356 g5
l(2c\/k) = 7.66606 25656 80
Ea = 0.00927 02406 00
D'après ces données , on a calculé le commencement de la Table
particulière pour le module sin 4^", comme on le voit ci-joint.
La première colonne intitulée n , représente une valeur donnée de
F = ^- — , et les colonnes suivantes donnent les valeurs correspon-
200
dantes de l'amplitude cp et de la fonction E. 11 est clair que pour
toute valeur de* F, comprise dans les limites de cette portion de
Table , c'est-à-dire moindre que 7^ F'^ on trouvera par interpolation
les valeurs correspondantes de <p et de E, et les résultats devront
s'accorder avec ceux que donne la Table II.
104. 11 est bon d'observer que par la dernière méthode que nous
venons d'exposer, on n'évite pas entièrement les difficultés que
présente l'interpolation dans certains cas où c est très-près de l'unité.
On divise seulement la Table en un certain nombre de parties iné-
gales, où l'interpolation peut se pratiquer avec à peu près le même
degré de justesse ; mais dans ce cas , les premières divisions com-
prennent un plus grand nombre de degrés de l'amplitude , ce qui
exige qu'on ait recours , pour l'interpolation, à un plus grand nombre
de diflérences; si on a, par exemple, le module c=. sin 89°, la valeur
de a qui donne Fa = ^ F' sera a= 1° 53' 24" 03669 3842,- cette
valeur serait encore plus grande pour le module c = sin 89° 7. Ainsi
l'interpolation présenterait encore plus de difficultés dès le commen-
cement de la Table; inconvénient auquel ne sont pas sujettes les
Tables construites d'après notre première méthode.
96
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
n.
<p.
ê-tp.
J^"(p.
J^>.
E.
«TE.
J^'^E.
^E.
J^^E
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
!0
1 J
12
i5
M
i5
o°oo' oo"oooooo
0.31.52. 138076
1. 3.44.193995
i.35.36.oy5658
2. 7.27.730925
2.39.19.047907
3i' 52" 138076
3i .02.055919
3 1 . 5 1 . 89 1 637
3i .5i .645293
3i .5i .316982
3i .50.906832
0" 082 157
0. 164282
0 . 246344
o.3283i 1
o.4ioi5o
0.491832
82125
82062
81967
81809
81682
81491
o.oocoo ooooo 0
0.0C927 02406 0
0.01853 96846 1
0.02780 75358 5
0.03707 29989 6
o.o4633 52798 0
927 02406 0
926 ^444^ 1
926 78512 4
926 5463 1 1
926 22808 4
925 83o6o 9
7965 9
15927 7
2388 i 3
31822 7
39747 5
47652 i
7961 8
7953 6
7941 4
7924 8
7904 6
7879 9
82
122
166
202
247
q85
3.11. 9.954739
3.43. 0.369739
4. i4-5o.2i i4i6
4.46.39.398499
5. 18.27.849970
3i .5o.4i5ooo
31.49.841677
31.49.187083
31.48.451471
3i .47-635i'34
0.573325
0.654394
o.7>556i2
0.816347
0.896768
81271
81018
80735
80421
80077
0.05559 35858 9
0.06484 71267 7
0.07409 5i 144 5
o.o8333 67637 9
0.09257 12928 8
925 35408 8
924 79876 8
924 16493 4
923 45290 9
992 663o6 1
55532 c
63383 4
71202 5
78984 8
86727 0
785 1 4
7819 1
7782 3
7742 2
7^97 9
7649 7
7598 G
7542 5
7482 8
7420 1
323
368i
401
443
482
517
555
097J
627
5.5c. 10.485094
6.23. 2.223450
6. 53. 47. 9849 Si
7.25.32.689925
7.57. 16.259044
3 1.46. 738, -56
3i .45.76151 1
3i .44.704964
3i 43.54V.19
3i .42.35441 '
0.9761 43
i .o5C547
i. 135843
1 .214708
1 .293108
79702
79298
7886.^
78400
77906
0.10179 792:^4 9
0. 11 101 58814 c
0. 12022 43968 2
0. 12942 27047 8
o.i386i 00454 8
921 79579 1
920 85i54 2
919 83079 6
918 73407 0
917 56191 9
94424 9
1 02074 6
1 09672 6
1 17215 1
1 24697 9
10
'7
i8
•9
20
8.28.58.615455
9. 0.59.674758
9.32. 19.365047
10. 3.57.60S936
10.35.34.323590
3i .41 .c6i3o3
3i .39.690289
31.38.241889
3i .36.716654
1 .371014
1 .448400
1 .525235
77386
76835
0.14778 5S646 7916 3i494 0
o.i56q4 88140 7914 99376 0
0.16609 87516 7913 59904 c
o.i75::i3 47420 7912 i3i48 3
0. 18435 60569 0
1 32 1 1 8 0
1 39472 0
1 46755 7
7354 0
7283 7
703
^ V. Forinules j)oiir trouver les valeurs très-approchées des
Fonctions Y<p ^ E(p^ lorsque l^ amplitude 0 ji excède pas
une certauie lindle.
io5. Lorsque l'angle ^ est peu conside'raLle , on a à très-peu
près , v^(i — c^'sin'' (p) = cos c^ ; faisant donc A=cosc^, on aura
_ ^7 1 . i -r.^ C ^^ 1 I 1 + sin r(Z)
E® = fd(b cos c® = - sin c® , et 1 (p = / = — lo^ :
^ J ^ ^ c ' J cos cÇ) Qc ° i — Sin c<p
= - log tang ( ^ TT + i c(p ). Ces valeurs sont exactes dans les cas
extrêmes, lorsque c = 0 et c= i ; elles seront d'autant plus ap-
prochées dans les autres cas, que l'angle (p sera plus petit.
Pour savoir quel est le degré d'approximation de ces valeurs , o»
développera en série la quantité A, ce qui donne
1.1.3
A = I c" sin* (p '-- c^s'in^ (5
2.4
2.4.6
c*sm^<p — etc..
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 97
et en y subslituanl la valeur
sin <p = (p-^ + rsVô "" 2.3./.5.6.7 + ^^^- '^cf\ (f"^ Jp- ^
on aura l'expression suivante, exacte aux quantités près de l'ordre c'tp'^,
de là re'sulte fùid'p , ou
Désignons cette valeur par E = - sin cip + Q , nous aurons par W
développement du premier terme,
E = Q + ^ - g^'?' + Tf„«V- 5^ cV,
et par conséquent ,
1^>
en a donc la valeur très-approchée,
{a) • E?=^sin.^+^r-^(p^(4-l,.«); -^ I^.'>^ -* " ^ ^' "^
on trouverait par un calcul semblable ,
{h) F(p = ilogtang(i:T+ic(p)-||(p^ + ||(p^(4-4ic'). -
Ajoutant ces deux formules, on en tire une troisième non moins
remarquable , savoir , V '
E|)-|-F(p=^ sin cep + Mog tang (1 tt 4-^ c(p) — -^ (p'.
106. La formule (a), réduite à son pi-emier terme - sin c(p, don-
nera sept décimales exactes si l'on a (p «< 6° ; elle en donnerait dix
ou plus si on avait ip << 1° ^.
En prenant les deux premiers termes, la formule E^ = -sin c(p
c
•4- -g— (p^ donnera sept décimales exactes, si on a !p <[ 16" 4, et
dix décimales ou plus^ si l'on a «p <<6° 12.
Vf
T j0
98 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
L'approximation s'obtiendra à peu près aux mêmes degre's sur la
valeur de F(p, selon qu'on la borne au premier ou aux deux premiers
termes.
Si on lient compte de tous les termes de la formule ( « ) , il
n'y aura de négligé dans la valeur de E(p , qu'une partie dont
le terme le plus grand est de l'ordre — — <?% et ne pourra jamais
excéder ^— — (p^. L'erreur due à ce terme ne sera pas d'une unité
décimale du dixième ordre, si on a (p << i5°, et elle ne sera pas
d'une unité décimale du septième ordre , si on a cp <I 32" 45. Le
même degré d'exactitude n'aura pas lieu dans la formule (b); et
pour avoir sept décimales exactes , il ne faudra guère passer la
limite <p = 20°.
107. Exemple I. Soit cz=. sin 45° et <p = 10°, la Table H donne
les valeurs suivantes :
E(p = 0.17409 i5655.
Ftp = 0.17497 63019 ,♦
il faut les comparer à celles que donnent nos formules ; et d'abord
pour avoir la valeur de E , on calculera les deux premiers termes
de la formule {a) comme il suit :
c:p = 7°4'i5" 84412 ^ = 7^ 9-24187 75 6
sînctp.... 9.09025 956x5 (p^ 6.20938 Ç)^
o.i5o5i 49978 ~^'" — 2.07918. 12
c ^^Ji 3q
-sincip. .. 9.24077 45593 (1) 4- 1^020 56
sm c<p = 0.17409 02140
(i) = 13496
E(p = 0.17409 i5636
On voit que les deux premiers termes donnent la valeur de E^
avec huit décimales exactes, Terreur n'étant que de dix-neuf unités
décimales du dixième ordre. 11 en sera de même pour la^aleur deF^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^9
dont voici le calcul :
45° + î c<p = 48° 32' 7" 92 206 ,
/tang(45°4-|r(p) = 0.05373 43422.
Ce log-tang. étant un logarithme vulgaire, il faudra le multiplier
par M pour le changer en logarithme hyperbolique , comme la
formule le suppose. Ainsi en appelant h le nombre précédent , on
aura les logarithmes suivans, pour déterminer, le premier terme B
de la formule {b) ,
/?.... 8.73025 19567
M... o. 56221 S6^Sj B = 0.17497 76676
o.i5o5i 49978 ^h''c^(p^... 13496
B.... 9.24298 2G232 F^ = 0.17497 63 180
On voit que les sept premières décimales de la valeur de F<p sont
exactes, et que l'erreur ne commence qu'à la huitième , oii elle n'est
pas de deux unités.
108. Pour obtenir une plus grande approximation, il faut tenir compte
du troisième terme contenant <p\ Or puisqu'on a c*:=.{ , la correction
qu'il faut appliquer à E<p , est égale à la correction précédente (i)
multipliée par -g , de sorte qu'en appelant (2) cette seconde correc-
tion qui est additive, on aura (2) = (i).-^; de même la seconde
correction de F(p sera — rO--— ^'
^ '^ 20
(1) 4. i3o20 56 0.1749763180
''"^ ,. 8.07798 94 (2)...— 161 5
28
(2).... 2.20819 5o F(p = 0.17497 63oi8 5
La correction (2) pour E(p^ sera onze fois moindre que celle de F(p •
elle est donc de quinze unités décimales du dixième ordre, ce qui
donne la valeur corrigée de Eip, comme il suit ;
0.17409 i5636
E^ = 0.17409 i565ï
loo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On voit par conséquent que la valeur de F(p s^•^cco^de exactement
avec celle de la Table II ^ et que la valeur de E(p ne diffère de celle
de la Table que de quatre unile's décimales du dixième ordre; mais
Tamplitude n'est que de io°.
109. Exemple II. Soit c= sin 45° et (p =: 20% on trouve dans la
Table II ,
E(p = 0.54557 5621 3,
F^ = 0.55261 98854;
il faut comparer ces valeurs à celles que donneront nos formules.
Eu voici le calcul :
6(p =: i4°8'3i"68824
sinc(p... 9.58797 55865 <p 9.54290 75655
I
o.i5o5i 4997^ Ç^ 7.71455 68i65
2, ,2
A... 9.55848 85845 -3^---— 2.07918 12460
A = 0.54555 224691 (i)... 5.65555 557
(i)... + 4 518725
E<p = 0.54557 545416
Ainsi l'erreur de la formule, en prenant les deux premiers termes
seulement , n'est que de deux miite's décimales du septième ordre.
Voyons à quoi elle se réduira en ajoutant le troisième terme , ou
la correction (2) = (i). -^.
(1).... 5.65555 557 0.34557 54541 6
|.... 7.65865 67 (2) = + 1879 4
(2).... 3.27401 2 Ecp = 0.54557 56221
On voit que la valeur de Eç> n'est en erreur que de huit unités
décimales du dixième ordre.
En calculant de même la valeur de F(p , on trouvera,
par les deux premiers termes.. . . F<p = 0.55262 20o54 ,
et par les trois termes Fcp = o.5526i 99581;
l'erreur du dernier résultat est de cinq unités décimales du huitième
ordre.
110.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. loi
1 10. Exemple III. Soit c = sin 45° et (p = 3o% on trouvera ,
parles deuxpremiers, _ ^_^ g^j _ ^ ^
termes de la rormulej ^ -r ^ 7 r x ^^
par la Table II. . . o.5i2o4 9^225,
Difïërence. . . — 31716,
0.55562 27328
+ 3 73924
'lll^oltl^^^lE^ = ^-^-^4 9^619, F^ = 0.5556. 48o53
par la Table II. . . o.5i2o4 93225, 0.53562 27528
Différence, . .
+ 394,
+ 20705
Par ce dernier résultat, on voit que l'erreur de la formule n'est que
de quatre unités décimales du huitième ordre sur E(p ; mais elle est
de deux miités du sixième surFcp.
Ainsi à mesure que <?> augmente , l'erreur croît dans une plus
grande proportion sur la fonction F que sur la fonction E ; on ne
peut guère aller que jusqu'à 20° pour obtenir F avec sept décimales
exactes, tandis qu'on peut aller jusqu^à 30" au moins, pour avoir E
avec un pareil degré d'exactitude.
Au reste le cas de c'' = ^, tenant presque le milieu entre les cas
extrêmes c = o, c= i , où les deux formules sont rigoureusement
exactes, il y a lieu de croire que les erreurs de ces formules sont
alors assez voisines de leur maximum , et que dans d'autres cas , les
erreurs pourront être moindres ; c^est ce que les exemples suivans
vont faire voir pour une valeur de c très-peu différente de l'unité.
III. Exemple IV. Soit c = sin 89° ; voici le résultat de nos for-
mules , comparé à ceux de la Table de l'art. 93 , dans les trois
hypothèses ^ = 10% <p = 20°, (p = 30".
(p = 10"
c(p = g» 59' 54" 5 1 7026
45" + i ^(p = 49" 59' 57" 2585 1 3
1" terme. . .
2""
0. 17564 84467 4
H- 16 4
0. 17542 55557 6
— 16 4
Par la Table.
E = 0.17364 84484
0.17364 84482
F=:0. 175^2 55541
0.17542 555/|0
Diff.
4- 2
4- I
i4
J02 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Dans ce premier cas, l'erreur n'est que de une ou de deux unile's sur
la dixième décimale , ce qui laisse incertain si l'erreur est du côté de
la formule ou du côlé de la Table. Il n'y a pas lieu, comme on voit ,
d'appliquer le troisième terme de la formule.
<P 20°
c!p= i9°59'49"o34o5
45
° +
ie(p = 54» 59'54"5 17025
i" terme. . .
a'"*
0.54202 22762
+ 526
0. 55657 62025
— 526
5""
0.54202 23288
+ 11
0. 35657 61497
— 56
Par la Table.
E= 0.34202 23299
0.54202 253oo
F =
:o. 35637 61441
0. 55657 61479
Diff.
— I
— 58
On voit que la différence est insensible sur E<p, et qu'elle est à peine
de quatre unités décimales du neuvième ordre sur F<p.
(P 5o°
c^ = 29°59'45"55io8
45-H-ic(p-59°59'5i"77554
1" terme. . .
2""'
o.5oooo 7089T 6
+ 3994 4
0.54929 77257 4
5994 4
S'^^
o.5oooo 74886
-1- 182
0.54929 75243
-964
Par la Table.
E = o.5oooo 75068
o.5oooo 75089
F = 0.54929 72279
0.54929 72081
Diff
— 21
+ 19S
On voit que dans ce troisième cas , l'erreur de la formule n'est que
de deux unités décimales du neuvième ordre sur E , et de deux du
huitième sur F, ce qui est une approximation très-satisfaisante.
112. Exemple V. Soit encore c= sin 60° et <p=3o% et supposons
qu'on demande la valeur approchée de F(p ; la formule est alors
F? = i nang (45« + i c? ) - ^ (r + ^7 ç-).
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. loT
En voici le calcul :
c(p = 25°58'5o"7436, 4^" -h i c(p z= 5^ 5g' 25" 5y 18 ,
/ tang ( 45° + ^ <?(p ) = o . 20404 85486.
Soit ce logarithme = â , le premier terme P de la formule
• Mh
sera
c
h g. 30973 55ioi
M 0.36221 56887
- 0.06246 93683
P 9.73441 86671
I" terme... 0.54252 55i55
• 11"" - ^4 59649
0.54227 75504
IIP' — 4 59482
Donc valeur app. E^ = 0.54223 46022
Valeur exacte. . . 0.54222 91 100
Erreur de la formule. . . -f- 549
On voit que dans ce cas , l'erreur est de cinq unite's décimales du
sixième ordre.
II 3. Il re'sulle de tous ces exemples que la formule (a) peut être
-^ employe'e avec sûreté pour donner la valeur de E(p, tant que <p
n'excédera pas 3o°; car à celle limite, elle donnera encore sept
décimales exactes. Il n'en est pas tout à fait de même de la for-
mule (b) f où il convient de ne pas prendre (p plus grand que 20%
si on veut avoir au moins sept décimales exactes dans la valeur
de F(p. La formule devient cependant plus exacte et permet de
porter (p jusqu'à 3o", lorsqu'on a c -<sin35"', ou c>- sin 70°.
Avec ces reslriclions , les formules Ça) et (b) sont d'un usage
extrêmement commode , et peuvent remplacer avec avanlage les
Tables elliptiques même les plus étendues , dans une partie consi-
dérable de ces Tables. En effet les calculs qu'exigent ces formules ,
seront toujours plus simples que les iuterpolalions d'une Table à
104 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
double entrée, telle que celle dont nous avons indiqué la cons-
truction.
On suppléerait donc entièrement à la Table dont il s'agit, si on
avait des moyens faciles de ramener tous les cas à ceux qui se
résolvent par les formules {a) et (^b). On trouvera dans le chapitre
suivant , quelques recherches sur cet objet.
114. Nous remarquerons que l'expression de F pourrait se dé-
duire de celle de E , au moyen de la formule F = E — ^ T" »
d'où l'on tire ,
■p 2sinc<p ^ ^ , c^(2c' — h'-") ./ , iic" — A „\ 11 /„ . ,
F = -^ - ? cos c? + -4^-J <p^ ( , + -^ ?• ) _ gj- i-c V.
Mais on voit que cette expression est plus composée que la for-
mule (Z») ; ce n'est que dans le cas particulier où l'on a Z»'' = 2c%
qu'elle se simplifie beaucoup , puisqu'elle donne
».
Cependant elle pourra être aussi employée dans d'autres cas, puis-
qu'en général elle est de la forme
F 2 sin cû ^ . 1 c TV
= ~ — (p cos c(p 4- A(p^ -f- B{p%
dans laquelle A et B sont deux coeffîciens donnés en fonction du
modulée. On éviterait, par celte formule , le calcul de log. (45°+îc(p)
qui devient quelquefois assez long. ■ 0
J VI. Méthodes diverses pour calculer les valeurs appro-
chées des fonctions Ep, Y<^ , lorsque V angle (p excède la
limite supposée da7is le § précédent.
11 5. Si la valeur donnée de l'angle (p est trop grande pour qu'on
puisse déterminer les fonctions E et F avec une exactitude suffi-
sante , par la méthode du § précédent , il faudra diminuer pro-
gressivement l'angle <p par la méthode de bissection donnée, art. 21,
première Partie.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i o5
I*our cet eflet, soient <p' , <p", <p"'y elc. les amplitudes qui re'sullerit
des bisseclions continuelles de la fonction F(p , ensorte qu'on ait
F<p' = ,iF(p, F^" = ^F(p', F^'^'=iF'A etc.,
on aura en même temps ,
2E<p' — Ecp = c'sin"(|)' sin^ ,
^E^" — E(p'= c'siay sinÇ>',
2E(p'''— E(p"= c'sin='(p'"sin(?>",
elc. ,
et l'amplitude (p' se déduira de (p par les formules
c sm <p = sin Ci) , sm (p = — =-^ ;
on déduira semblablement (p" de (p', (p'" de tp", etc.
En formant ainsi la suite décroissante (p', <p", (p'", etc., on par-
viendra bientôt à un terme (p" < i5°, et alors on déterminera aisé-
ment, par les formules du § précédent, les valeurs des fonctions
E(p% F(p", approchées jusqu'à huit décimales ou plus , desquelles on
déduira les valeurs de Eip et F(p , exprimées avec un degré peu
différent d'approximation. Ces calculs ont l'avantage de ne point
supposer connues les fonctions complètes ; ils peuvent même servir
à déterminer ces fonctions , puisque si on part de l'amplitude <p
donnée par Téquation tang cp = -J^ , on auraF(p = ^F', E!p=:iE*
+ -^(i — b)-, d'où il suit qu'ayant déterminé F(p et E^, on con-
naîtra les fonctions complètes F', E'.
ii6. Une seconde méthode qui pourra dans certains cas être
préférable à la méthode de bisseclion , consiste à calculer les am-
plitudes (p^, (Pg, (p^^ etc. qui répondent aux fonctions multiples
Ftp, = 2F(p, F(P3 = 5F(p, F(P4=4F<p, etc. On les détermine par
les formules
tang I (P, = A tang (p ,
tang (I^PaH-^ (?) = A tang (p, ,
etc. ,
dans lesquelles A est une quantité constante , telle qu'eu faisant
c sin (p = sin û!j , on a A == cos co.
io6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGPvAL.
Au moyen de ces formules , on prolongera la suite (p, ^a , ^3 , etc.
jusqu'à un terme (p„ = 2k. ^ TT'àz -^^^ , qui approche d'un multiple
pair de ^ ':t, de manière que la différence -^ , positive ou négative,
soit assez petite pour qu'on puisse calculer facilement ^ par les
formules du § précédent , les valeurs approchées des fonctions
E^J, , F^p. De là il faudra déduire les valeurs des fonctions propo-
sées E(p , F^p , au moyen des équations
F(p„ = 2kY' d= F4 , E?>„ = 2kE' ± E4. ,
F^a = ^F-p , 2E(p — E(Pa = c»sin'<psin(p^,
Fç>3 = SFip , *E(p +E^a — E<P3 = c^sin (p sin (p^sïn (p^,
F(P4 = 4F (p , E(p^ + E(p3 — E(p4 = c'sin (p^ sin (P3 sin (p^,
' etc. , etc.
117. Cette méthode^ ainsi que celle de Lissection , sont fondées
sur des formules trigonométriques très-simples ; cependant elles
peuvent devenir d'un usage difficile dans certains cas , surtout dans
ceux où c et sin (p sont à la fois peu différens de l'unité. En effet,
les opérations nécessaires pour changer l'angle proposé (p en un plus
petit, auquel la méthode du § précédent soit applicable, peuvent ^
dans les cas dont il s'agit, être plus longues que celles qui servent
à former la série des modules et celle des amplitudes, suivant la
méthode générale des approximations , et alors celle-ci deviendrait
préférable , tant par sa brièveté que par un degré d'exactitude
indéfini.
C'est dans les différens cas particuliers qu'on pourra se décider
sur le choix à faire entre ces méthodes^ suivant le degré d'approxi-
mation qu'on veut obtenir ; nous observerons seulement que l'on
peut toujours supposer l'angle proposé cp plus petit que l'angle qui
a pour tangente — r. Car soient (p et -nJ/ deux angles tels qu'on ait
tang <p tang >J/ = j , l'un de ces angles aura sa tangente «< \/\-
D'ailleurs comme on a
F(p -{- F4 r= F-,
E(p + E4 = E' 4- c* sin (p sin 4 ,
il est visible qu'au moyen des deux fonctions qui se rapportent au
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 107
plus petit des deux angles (p et ^ ? on déterminera sans difficulté
les fonctions qui se rapportent au plus grand.
118. Exemple I. Soit c = sin ^5% (p = 60% le calcul par la me'-
thode de bissection se fera comme il suit :
sin cù z=. c sin <p = ^/(o.SyS).
9.78701 56539 cû = 37°45'4o"478o7
9.97598 o583i T^ = 18.52.50.23903 5
9.69897 00043
sin co
COS 7Û)
sini(p
sin <p'
sin (p'
c
sin a>'
sin i <p'
COS ^ Ce)'
sin 9"
9.72298 94212
9.72298 94212
9.84948 50022
9.57247 44234
9.43900 8S575
9.99198 96871
9.44701 91704
(p' = 3i° 53' 58" 55322
i(p' = 15.56.59.27661
œ' = 21° 56' 29" 04240
jct)' ==■ 10.58.14.52120
<?>" = 16° i5' i7"5o46o
L'angle cp" étant suffisamment petit ^ il est inutile de pousser plus
loin les calculs de la bissection , et en appliquant à l'angle (p" la
méthode du § précédent , on trouvera les résultats suivans ;
cfz=: 1 1° 29' 38" 12432 , 45° + ^ c<p" = 5o° 44' 49" 06216.
A == 0.28180 18598
1) + I 55i52
2) + 440
B = 0.28562 30721
i) — I 53i52
2) — 4843
E<p" = 0.28181 72190
F<p" = o.2856o 72726
Par la valeur de F(p", on a immédiatement celle de F(p = 4F<p",
savoir^
F<p = 1.14242 90904
Suivant la Table. . . E(p = i . 14242 90578
Diff. . . ' + 326
Ainsi l'erreur est d'environ trois unités décimales du huitième ordre.
io8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Qnanl à la valeur de Etp, ou la calculera comme il suit par les
formules dun° ii5,
siny... 8.89405 83408 c»sin=(p'... 9.14494 88468
siû (p'. . . 9.72298 94212 sin(p... 9.95753 o63i7
c\.. 9-69897 00045 a... 9.08247 94785
et'.., 8.3i599 77663
et = O.12091 4S046
et' = 0.02070 15070 2E(p' = i.o8586 62620
2E^" = o. 56365 44^80 r^ ^ 0.96495 14574
Ecp' = 0.54293 5i5io Par la Tab., E<p = 0.96495 14560
Diff +~74
Ainsi l'erreur sur E^ n'est que de quatorze unite's décimales du
dixième ordre.
On aurait pu se borner à huit décimales dans tous ces calculs, et
les résultats n'en auraient pas été moins exacts.
119. Exemple II. Soit encore c"=: |-, et l'angle (p tel qu'on ait
tang <p ==. \/6; cet angle pourrait être remplacé par celui de 50°,
parce qu'on a Y'P + F (3o') = F' ; mais nous n'aurons point égard
à cette propriété des fonctions complémentaires , laquelle ne nous
servira que pour vérifier les .résultats , et nous appliquerons direc-
tement au cas proposé la méthode qui précède, par la multiplica-
tion des fonctions.
On aura d'abord A == ^/(i — c*sin*ip)= \/^, ce qui donnera
les résultats suivans :
A 9.87848 09756 57
tang(?> 0.58907 5625i 92 (p — 67» 47' 52" 44458
tang^cp, 0.267556600849 -|<Pa = 61.57.41.57628
<p^ = 125. 1 5.23. 1 5256
Déterminant ensuite (pa par l'équation tang (7(p3-f- j (p) = A lang(p, ,
on trouvera
(p3 r= 194» 5' 55" 85248.
Les calculs préliminaires se terminent ici à (p^, parce que <p3 excède
180° d'un angle plus petit que iS\ Soit cet angle =4^ on aura
^3 =
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 109
(Pi = 180° + 4 j et
4 = i4* 5' 33" 85248.
On calculera donc les fonctions E^f, , F^ , par la me'thode du § pre'-
cèdent , ce qui donnera
E4 == 0.24475 4^068, F4 = 0.24720 64817;
ensuite E^ et' Ftp se déduiront des équations
F?) = K2F' + F4),
E(p = i (2E' + E4 ) 4- î <^' sin (p sin (p^ (sin (p + sin (ps) ,
dans lesquelles on mettra les valeurs de F' et E' tirées de la Table I ;
on aura ainsi pour résultat ,
E?) = 1.07004 95812, F<p = 1.51845 19452.
Ces valeurs se vérifient au moyen des équations
F(p+ F(3o°) = F',
E(p -f- E (3o°) = E' -I- c^sin (p sin 3o^ = E' + f ^/f ,
dans lesquelles substituant les valeurs données par la Table j on
trouve
E(p = 1.07004 95798, F^ = 1.31845 19441.
Ainsi l'erreur des résultats préçédens n'est que de onze unités dé-
cimales du dixième ordre sur la fonction F, et de quatorze des mêmes
unités sur la fonction E.
On peut remarquer que la méthode par bisseclion doit donner
en général des résultais moins exacts que la méthode par multipli-
cation. La raison en est que les fonctions E(p , Fcp se déduisent des
fonctions auxiliaires par multiplication dans le premier cas , et par
division dans le second. Il semble d'ailleurs que les calculs sont
plus simples par la méthode de multiplication, parce que la quan-
tité A est constante dans toutes les formules qui servent à déter-
miner (Pa, (P3 , etc.
120. Exemple III. Soit c = sin 60° et tang (p = \,^2 ; cette valeur
de (p est telle qu'on a F(p = ^ F' : ainsi on pourra vérifier immé-
diatement par la Table I , les résultats suivans que donne la méthode
de bissection.
1 1 o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
siiKp... g.giujS 43705 (p = 54° 44' 8" 197 146
c... 9.95755 06317 i (p = 27.22.4.098573
siaa... 9.8494850022 « = 45°, sin^(p= \/(smi5°. v^3).
sin^(p... 9.66247 53oo5
cosj&)... 9.96561 55459
sincp'... 9.69685 99546 (p' == 29° 5o' 23^27549
c... 9.93755 o63i7 ^(p' = 14. 55. II. 65775
sino)'... 9.63439 o5863 cù' = 25'3i' 32"o7988
\ cù' ■=. 12.45.46.05994
sin|^'... 9.41072 59499
cos^^y'... 9.98915 5x266
sin(p"... 9.42158 88273 (p" == i5° 18' 25" i85i5
D'après cette valeur de (p", on calculera les /onctions E<p", F(p" par
la méthode du § précèdent, et on aura les résultats suivans.
c|>" = 1 5° 1 5' 22^49020, 45° H- ^c^" = 5i° 57' 41" 24510.
A = 0.26478 03649 6 B = 0.26957 55608 6
i) + ^^o^^ 3 1) — ^^o^^ 3
2) + 614 3 2) — 5866 6
E?>'' = 0.26478 89322 2 F(p" = 0.26956 44683 7"
Ftp = 4F(p" = 1.07825 78755
Par la Table.. . 1.0782578237
Diff. .. 4- 498
Calculant ensuite E:p comme dans l'art. 120, on trouvera
E(p = o. 85552 80106;
Ce résultat se vérifie par l'équation E^=:^E' + î (i — ^) = tE'+^;
et comme on a E' = i.2iio5 60275 6845, il en résulte
E(p = o. 85552 80137 ^4225;
d'où l'on voit que l'erreur sur F est de cinq unités décimales du
huitième ordre, mais que Terreur sur E n'est que de trois unités
décimales du neuvième ordre.
Ces erreurs paraissent plus grandes pour le module sin 60° que
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i t i
pour le module sin 45°; mais il y a à cet égard un maximum, passé
lequel les erreurs diminuent à mesure que le module augmente.
C'est ce qu'on verra par l'exemple suivant.
121. Exemple IV. Soit c = sin 89°, (p = 76' ; on trouve par
les méthodes directes,
E<p = 0.96608 74510 14,
F(p = 2,02664 7^981 80.
En appliquant au même cas la méthode de bissection , on aura les
résultats suivans:
sin (p'... 9.88488 58911 <p" = 27°5i' 45" 67900
sincp"... 9.66963 81849 ^'^'' = ^27. 51.28. 40226
E<p" = 0.46735 16166 5 F(p" = o.5o666 18602 5
E(p' = 0.76719 73904 3 F(p' = 1. 01 332 37205
E(p = 0.96608 7447S F(p := 2.02664 744 1<>
Val. exacte... 5io 3982
Erreur... — '32 -f- 4^8
L'erreur est donc de quatre unités décimales du huitième ordre sur F,
et de trois unités du neuvième ordre sur E.
122. Nous Joindrons ici le calcul du même exemple par les for-
mules générales données dans la première Partie, art. 76. Nous pren-
drons de là occasion de simplifier ces formules de manière à en
rendre l'usage beaucoup plus facile.
D'après le module donné c=sin 89% on formera d'abord l'échelle
des modules , et on en déduira la valeur de R, comme il suit :
c 9-99993 38498 0922 h..., 8.24185 53184 2289
^'•••- 9-99999 999^7 4o53 h'.... 5.88171 67931 8966
^ 0.00006 61489 3i3i V, .. 1. 16137 559G3 io83
K.... 0.00003 30744 6565
Il faudra ensuite calculer (p' par l'équation sin (2(p — (p') = c sin <p ,
ce qui donnera
(p' = 74° 59' 1" 44061 5.
112 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Enfin on calculera (p'' par l'ëquation sin ( 2(p' — (p" ) z=z c' s\\\ (p' , ou
plus simplement par l'équation tang ( (p' — (p") = V lang <p"^ qui se
réduit à (p' — • 9" = U' tang <p"; on en déduira
<p' — (p" = o" 001 II 49
(P" = 74^ 59' 1" 45950
Cela posé ^ la valeur de F(p se calculera par les formules
h = log lang (45° + 7 ^''), F = RM/i , et on trouvera par Ie&
TaLles à dix décimales seulement ,
F|) = 2.02264 75980.
123. Quant à la valeur de E(p, elle doit être déduite de la formule
générale de l'art. 76 ^ qu'on peut mettre sous celle forme:
E(p = c" sin (p + LT(p + 2c sin <p' fh' + 2 sin' ^m^^
+ 4^"^ sin (p'' ('^"+ 2 si n'' ^^^^)
+ ^f sin (P'" (Z»'" + 2 sin* ^'^)
+ etc.
Dans l'exemple dont il s'agit , on pourra faire L = ^ ^^ V^R ? ^^ ^^
trouvera les valeurs suivantes des cinq premiers termes auxquels
se réduit cette formule ,
i^ c=sin(p 0.96563 i6i83 3
2°. L'F?> o.ooo3o 86564 6
5*. 2cb' sin (p' i4 70927 8
4°. 4^ sin (p' sin" ^^^ 778 4
5°. 4c^//'sin(p" 56 o
Somme.... E|) = 0.96608 745io i
On voit que pour avoir la valeur de E(p exacte jusqu'à la dixième
décimale , il a fallu calculer cinq termes de la formule ; mais celte
formule peut être simplifiée , sans cesser de donner un pareil degré
d'exactitude, pourvu que le cube de b' tang 9' soit négligeable.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 1 5
et qu'ainsi on puisse prendre l'arc (p — (p' pour son sinus et pour sa
tangente.
1 24. Soit d'abord È(p = L'Ffp + ( i — i 3" ) sin (p -f- A , on pourra ,
dans la formule ge'ne'rale, rejeter les termes de l'ordre sin"
ou If'^y et faire en conse'quence c"=: i , K= \/~> ^^ qui donnera
A = — \¥ ûw (p -\- icb' î\w (p'4- 4csin(p' sin* ^^^ -j- 4^' V^ sin (p".
Puisqu'on a c'h = D.\/{h'c) ou 2cb' = i Z'''c'% la première partie de
celte valeur que j'appelle P', se réduit ainsi ,
P' = 2cb' sin (p' — ^ Â" sin (p = ^ b"" { c^ sin (p' — sin <p).
Soit (p = cp' 4" "^ > ou aura sin (p = (i — 7^*) sin cp' + o) cos cp',
ce qui donne
P' = — 7 ^"(ft) cos cp' — -^ &j"sin(p')j
Mais on a l'e'qualion tang cid= b' lang (p', qui , en vertu de notre
hypothèse, se réduit à 0)= Z>' lang (p' • donc
P'= — {^"(Z^'sincp'-^^Z^'^sin*?)' lang»(p').
Venons à l'autre partie P" de la valeur de A ; on pourra y substituer
~ co'' pour sin'' ^ ^y , et b" sin (p' pour b" sin (p", ce qui donnera
P" = coù'' sin cp' + 4^" |/c sin (p' :
Or 4^" \/c = 2^" -^ = i c'bb'^b'; donc
P' + P" = 1 ^^' sin (p' {c'y/V^b) + ^'^ tang' (p' s\xi<p' {c-\-\ b^).
Mais on a b — c' \/V ^{^^,~ c^\/b' z={y~\.c—c')s/V ^c^/b';
car la partie (i — c') \/b', multipliée par l bb\ est au-dessous de
l'ordre //^, et par conséquent négligeable; on pourra donc faire
\bb'sm^'{b-^c'\/b')z=z^cbb'\/b's\n<p\ou simplement ^^3' ^/^Z^'sin (p';
car la différence (i — c)bb'\/b' appartient encore à l'ordre è'%
et peut èlre négligée ; par la même raison , on pourra faire
b'^ (cr^ ^ b^)z=: è'» ; donc enfin on aura -l
A=~^^/iy/5/sinç'4-^'^tang^<p'sin<p', ; :tf.^-^(-^ « ''■ ^\J
1 14 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
cequi donnera E<p = ^ b^y/K.s'in (p + B , en faisant
B = ( I — ^b") siïKp — jbb'\/b' sin (p' + b'^ tang'(p'sm (p'.
Pour simplifier de nouveau cette expression^ j'observe qu'on a
b = ,, , ce qui donne
i + b'
. , 7 , \ • ^ sin ip , è ^ sin ^
Dans le second terme^ je substitue la valeur sin(p = (i+^')cosû)sin(p',
7 / 7 /
çt ]'ai — — ^,cosasin(p';mais cosa)=i — ^ &% et la partie jO)*^'» sin (p'
' 1 -\-o
est inférieure aux quantités négligeables; donc ce second terme se
réduit à ^'"f, ou \ bb' \/ b' sin ^' , de sorte qu'il est détruit par le
terme 1 bb' \/b' . sin <p' de la valeur de B ; d'un autre côté , le terme
■ m b^ ' c .
restant ■ ^'"T.>,. peut s'exprimer par -^ sin <p ou -^^ sin ^; donc enfin
sin (p
on aura
E(p = i b'\/K.Y<p + 4 sin (p 4- b'- tang='(p' sin (p' .
C'est le dernier degré de simplicité auquel on peut réduire la for-
mule générale dans la supposition que b'^ et {b' tang (p'y soient
négligeables. Cette nouvelle formule n'exige d'autres données im-
médiates que les modules b' et c', qu'il faut déduire des modules
primitifs ^ et <?, et Tamplilude (p' qu'il faut déduire de cp par l'équa-
tion sin (2?^' — (p') = c sin p.
125. Cette formule ne serait plus applicable si (p' était trop près
de 90° ; mais nous avons déjà fait voir qu'on peut toujours supposer
tang (P < i/tî ainsi on aura à plus forte raison tang (p' < t/^ ,
et ( è' tang(p')^ < \ b'^[/b. La même formule suppose qu'on néglige
les termes de l'ordre Z>'' ; ainsi dans le cas où on voudra l'appliquer
à des valeurs de (p plus petites que 4^°^ la formule sera exacte^
même jusqu'à l'ordre de décimales qui convient à b'^ ; mais si on
a (p > 45% le degré d'exactitude sera déterminé par l'ordre de dé-
cimales qui convient à {b' tangcp')^; c'est-à-dire que si le premier
chiffre significatif de la valeur de ( b' tang (p' y est placé au douzième
V CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 15
taog de décimales , on pourra compter sur à peu près onze de'cimales
exactes dans la valeur de E(p , pourvu que les termes qui composent
cette valeur soient calculés avec ce degré de précision.
126. Si on applique la formule qu'on vient de trouver à l'exemple
précédent , on trouvera les valeurs des différens termes comme
il suit :
1°. -r-,siu. (p 0.96577 87167 06
2\ iZ-V^-F^ 5o 86564 62
5°. 3'Mang*^'sin(p' 77849
Ecp = 0.96608 74510 17
Ainsi on a une valeur de Ecp qui s'accorde parfaitement avec la valeur
déterminée par les méthodes les plus exactes.
On remarquera que dans cet exemple , [b' lang <p'y est d'environ
deux unités décimales du onzième ordre, et cependant la valeur
de E(p n'est en erreur que dans le douzième ordre ^ ce qui fait
voir que les quantités négligées ont très - peu d'influence sur le
résultat.
127. Pour juger encore mieux du degré d'exactitude de notre for-
mule , nous l'appliquerons au cas le moins favorable , qui est celui où
l'on a tang <p = -^. Dans ce cas on aura sin ffl = -— — î = ^^^ ^
^ Vb ^ Vi^-^b) cos 44°^»
et il faudra calculer (p' par l'équation sin (2^' — <p) = c sïn (p;
mais comme le terme qui contient <p' dans la formule est très-petit,
il ne sera pas nécessaire de calculer (p' avec une grande précision.
Voici ce calcul :
cos 45' . .
cos 44°^..
. 9.84948 5oo
. . 5.85524 2o5
2(p'
—■(p ~ 82» 24' 3o"97
(p =z 82.28.27.74
sin (p , .
c. .
. . 9.99624 295
•• 9-9999^ 585
2(p' =z 164;. 52. 58. 71
<p' — 82.26.29.555
(2(P'— (P)..
• 9-99617 680
Connaissant ainsi tous les élémens de la formule , on calculera les
trois termes de E^ comme il suit :
ii6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
siiKp... 9.99624 29483 5i ^b^\/K.., 6.18269 71785
■^••- 9-99995 38523 28 F(?>... o.434i6 23476
^)''- 9-99617 68006 79 2)... 6.61685 96258
tang'{p'... 1.75451 55 1)... 0.99123 53933 i5
b'-.., i.763-i3 56 2) + 4i 38667 87 .
sin(p',.. 9.99620 99 3) + 3266 55
3)... 3.51396 68 'E(p = 0.99164 96806 67
Pour vérifier celte valeur de E(p j j'observe que dans le cas sup-
posé , on a Fcp = ^ F', E(p = ^ E' + j ( i — ^) j et en substituant
les valeurs connues ,
b = sin 1° = 0.01746 24o64 4
jÇi — b) = 0.49127 37967 8
iE' = 0.60057 67888 5
E(p = 0.99164 96866 3
Ainsi le résultat donné par la formule , même pour la plus grande
valeur de <p ^ est exact jusque dans la dixième décimale.
128. Il y a une autre manière de trouver les valeurs approchées
des fonctions E(p, F(p lorsque b est très-petit, ou seulement lorsque
l> tajig (p est plus petit que l'unité. Il faut alors mettre A sous la
forme ( cos' ^ -f- b^ sin^'cp)", et en développant cette expression,
on aura
fAd:p=fd(pcos(pfi +^^nang"(?)— ^^■ftang^(p-f-^^^^^tang"'| — etc.).
Soient P'^ P", P'", etc. les intégrales suivantes , prises à compter
de (p = o,
P'^/^(pcos(ptang*^, 'P"z=fd^cos<p[ang^(p, P'"=:/J(pcos(ptang^(?>, etc.,
et on aura
JL(p = sm(p-\-- b'^F' — -^ ^^P" -f- ^ ^^P'" — etc.
^ ^ ' 2 2.4 2.4.6
De même on aura F — E = f(^ — a) d(p := c'J^ -^-^^ , ou en
substituant
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 117
subsliluant la valeur développée de -, et intégrant,
F — E = c' fP' — - ^" P" + ^ ^*P"' — ^-A^ Z'SP- — etc.Y
\ '-^ 2-4 2.4.5 / ^ '
On peut mettre ces deux résultats sous la forme suivante :
F? = E? + C (P'_i i-F' + 1^5«P"'- i^A»p.'+ etc.) .
Ef=sin? + ii-(P'-^i-^ + i-^MÇ-i^*=îl' + e.c.);
et l'on remarquera que les deux séries comprises dans ces for-
mules , peuvent se former simultanément , puisque la seconde est
composée des termes de la première , divisés successivement par
I 2 5,4» etc. Tout se réduit donc à trouver les valeurs des
intégrales P', P", P'"^ etc. On a pour cet effet les formules suivantes :
<^ = rlog(|^:f|) = nang(45' + ^^),
P' = c5 — sin (P , /y * ^ ] ^ 7 ;i>
2P" = sin <p tang'(p — 3P', - -^(^ -^^.Z ^ ^ T
4P'" = sin <p tang^(p — 5P", - (■ ^ ^ f é^*'^ € ^A ^ ^ £ à)
6P- = sin (P tang«^ — 7P'", - ^^ ^ ^ ^ l_^^ ^
12g. L^emploi de ces formules serait assôz facile, si pour les Z^'^ ^
diverses valeurs de (p on connaissait les quantités P', P", V", etc. ,
ce qui pourrait se faire au moyen d'une Table dressée pour cet
objet. 11 sera toujours utile de calculer ces quantités pour quelques
valeurs déterminées de (p , afin de pouvoir , par leur moyen , con-
naître les valeurs correspondantes des fonctions Ecp, F^.
Soit par exemple , (p = 45% on trouvera les valeurs suivantes des
quanlilés P', P", P'", etc.
<&=/tang67°^ = 0.88137 35870 19
sin <p = sin 45" == 0.70710 67811 86
P' = 0.17426 68o58 33 P'^= o.o46oo 17089 i5
P" == 0.09215 5i8i6 43 P' = o.o3665 64t25i ig
P'"= o.o6i58 62182 42 P^' = o.o3o4i o6io4 88
i3o. Pour avoir en générall'expression de P", je fais tang(p = x,
16
Xi8 " EXERCICES DE CALCUL L\TÉGRAL.
j'ai P" =/r*"</x (i-}-.r')~*, et l'intégration par parties donne
pour résultat ,
Celte suite sera toujours convergente^ et d'autant plus, toutes choses
d'ailleurs égales, que n sera plus grand; il faut excepter seulement
le cas où X est infini.
Si l'on fait^ comme dans l'exemple précédent, jt = i , on aura
„ 2"^ p 3 1, 3.5 1, 3.5.7 1 . n
if := 1-4- . — I . — I i _ _1_ ptr
2rt-flL 27Z-f3 2 ' 2«4-3.2n-f5 4^2«+3.2/i4-5.2n-j-7"8^ J*
c'est l'expression générale des fonctions P" lorsque <p = 4^°? ^^^ ^'o^^
voit que lorsque .« sera très-grand , on aura à peu près P" = ^ ,
on plus exactement P" = -~-^ ( i + ~r] = / . Ainsi les valeurs
^ 27Î -f- 1 \ 4'^/ 4n — i
de P" finissent par décroître suivant une progression qui s'approche
de plus en plus de la progression harmonique indiquée par le dé-
nominateur 4^^ — !•
11 n'est pas étonnant au reste que la formule d'approximation ne
puisse pas s'appliquer lorsque (p est trop près de go° ; car cette
formule est fondée sur un développement qui suppose toujours
b tang^ < I ; ainsi dès qu'onatang (p> r, les formules qui expriment
les valeurs des fonctions E et F, cessent d'être exactes.
§ VII. Formules pour développer en sériesles fonctions E etF.
i3t. On a déjà vu dans la première Partie, art. 120 et suivans ,
que lorsque le module c n'est pas trop près de l'unité, on peut
développer la fonction F en une série de la forme
F = A{p — A' sin 2(p + A" sin /^<p — A!" gin Çxp -f- etc. ,
dans laquelle les coefficiens A, A', A", etc. sont des fonctions con-
nues de la quantité c.
Pour calculer ces coefficiens , nous nous servirons des formules
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 19
de l'art. i52 , cinquième Partie, en y faisant « = i. Soit doue
1—6 ^ , . . '->Va
a=i=i c°=. — r-T , et réciproquement c= — — — ,
A' = I — c*sin^(p :=
on aura
1 + a* + 2a cos zp
F — / -r- — V * ~7~ "■ ; f 1 »
'4~ 2a cos 2<p)*
donc si l'on fait , suivant l'art, cité ,
1
(l+a*4-2â!C0S2^)"» = P, 2PjCOS2!p+2P,COS4<P 2P3COs6(p-|-etC.^
on en déduira
F = ( 1 + «) ( Po— P, sin 2(p-}- ^P, sin 4(P — i P3 sin 6^ + etc. ) ;
c'est-à-dire que les coefficiens A se déduiront des coefficiens P ,
suivant celte loi très-simple ,
A = (i+^)P„,
A' = (i^-«)P.,
A"= (i-f-«)lP,,
A"'= (i + «)iP3,
etc.
i32. Connaissant les coefficiens qui servent au développement de
la fonction F, il sera facile d'avoir ceux qui donnent le développe-
ment de la fonction E. En effet soit
E = B^ 4- B' sin 2^ — B" sin 4":p -f- B'" sin Q(p — etc. ;
si on différentie chaque membre par rapport à «p, et qu'on divise
par ^^p , on aura
V/ ( I — c* sin* (p ) = B -f 2B' cos 2(?>— 4B" cos 4;^ H-6B'^' cos 6(p -- etc.;
différenliant de nouveau , il vient
v/(V^t^I^ = ^' ^' ^^^ ^^ - 4^ ^' ^"^ 4^ + ^" ^" «^" ^^ - ei^-
Le premier membre a aussi pour expression ,
^ c'sin 2(p (A — 2 A' cos 2<p -f- 4 A" cos /^^ — QK'" cos &<p -{- etc. ) ,
120 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ou en faisant le développement ,
A sin 2(p — A' sin 4^ + 2A"sin6(p — SA'" sin8(p-j-etc.Y
-2 A" +3A'" --4A- +5A' j
Donc en comparant ces deux expressions, on aura
B' =:^( A -2A") = 1^(P„-P,),
^''B" = ^ ( A' — 3A'") = £^ (P, — P3),
3^B'"=: I (2A"-4A-) =^ ^ (P» — P4).
4«B-= I (3A'"— 5A^) = i^ (P3 — P5),
etc.
A l'e'gard du premier terme B, il se de'duil imme'diatemenl de la
valeur connue deE', puisqu'on a E'^B.^^r. On peut aussi trouverB
par la formule B = A— (i — /^) (P^ + PO-
i33. Tout se re'duit, comme on voit, à déterminer les coefficicns
Po, Pi , Pa, etc.^ et nous avons donné pour cet objet toutes les for-
mules nécessaires dans le § XII de la cinquième Partie. Nous remar-
querons seulement que si on fait
^ i_
ensorte qu'on ait p^ = - , p^ = -^ , p^, = ' , c > etc., les coefficiens
Pi j P» j P3> ^tc. pourront s'exprimer de la manière suivante :
Pi = Px^ + p.p^a' + p^p^cc' + p^piO? + etc.,
P, = p^a" + p.p^a^ + p^p^a^ + p^p^a^ + etc.,
: P3 = p^a^ + p.p^à -f- p^pr.a' 4- p^p^a^ + etc.,
P^ = p^a'^ 4- p.p^a^ + p^p^a^ + /?3/?7«'°+ etc.,.
P5 = p^à H- p.p^a' + p^p.a? + pzp%a''-\- etc.,
etc.
De là résulte un mode de formation qui peut être commode dans
la pratique. Supposons
P. = (i) « + (2) d' + (3) é + (4) a^ + etc..
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 121
ou P, =/W «'"~S on ^iï'era de là P. = afin) «"-' ^i — ~^ , ou
P, = ( I ) ^» ( 1 — i ) -f- (2) ^U I — f ) + (3) ^' C I - i ) + elc. ;
ensorle que les difïerens ternies qui composent P^ se déduisent des
termes qui composent P, , en multipliant ceux-ci par a , puis dimi-
nuant le premier terme d'un quarts le second d'un sixième, le troi-
sième d'un huitième, elc.
Si on représente pareillement P» par fin) «»",le coefficient («) n'e'tant
plus le même que dans P^ , on en déduira P3 ^=fiji) a*"-^\ (1 — ~TrA)'
En général si on fait
P, = (1) «^ + (2) a^-+- + (3) a*+^ + etc. ,
on aura le coefficient suivant,
P.., = (0 a'- (■ _ j^)+ C=) a- (. - ^)+(3)a-(-^)+e.c. ;
cette propriété s'accorde avec l'équation (35), page 3oi , en y fai-
sant 7Î= |,
134. Soit, par exemple, « = sin3o° = 7, si l'on veut que tous
les coefficiens P soient exacts jusqu'à la septième décimale au
moins , il faudra admettre jusqu'au terme P^o ; car on trouve
Pjo == 0.00000 01409; dans le même cas on aurait A^*°^= ~ P^,
=:= o . 00000 00 1 06. Ainsi pour la formation des coefficiens A , il suffi-
rait de continuer la suite des coefficiens P jusqu'au terme P.^.
Nous avons donné ci-dessus, page 291 , les valeurs des coefficiens P
calculés jusqu'à treize décimales, pour le même cas de « zrr^ ; on en
pourra donc déduire les valeurs des coefficiens A pour le module
9I/2 .,
c = ~- , comme il suit :
A = 1.60977 30107 24i A^' = 0.00100 59011 174
A' = 0.41689 96484 45 1 A^" = o.ooo4o 08765 486
A" = 0.07912 08719 169 A'""= 0.00016 46010 6o3
A!" =. 0.02211 45662 001 A'" = 0.00006 91522 954
A'^= 0.00728 38128 5i3 A" = 0.00002 95838 778
A' = 0.00262 88697 3i2 A"' = 0.0000I 28457 o38
1 22 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On voit qu'il faudrait environ cinq termes de plus ^ pour que le
dernier coefficient A ne fut pas d'une unité décimale du septième
ordre.
On trouvera également par nos formules les valeurs suivantes
des coefficiens B.
B = 0.70902 96066 489 B'" = o,oooo3 19080 642
B' = 0.16128 i25i8 767 B'" = 0.00001 07001 774
B" = 0.00973 76662 735 B'""= 0.00000 37912 690
B'"= 0.00169 ^9^7^ 1^9 ^"' = 0.00000 i4oo5 071
B"= o.ooo56 94399 3o2 B'' = 0.00000 o534t5 421
B'' == 0.00010 26661 764
Le terme suivant B*' ne serait plus que de deux unités décimales du
septième ordre ; ainsi peu s'en faut qu'on n'ait atteint pour le déve-
loppement de la fonction E , la limite assignée.
i55. On voit qu'il ne convient guère de passer la limiter =7>
pour que le développement des fonctions E et F, dans la forme
supposée , donne des résultats exacts jusque dans la septième déci-
male , et qu'il ne contienne pas un trop grand nombre de termes ;
car puisqu'on aurait, dans ce cas, dix-sept termes dans la valeur
de F, et douze dans celle de E , on voit qu'il n'est guère possible
de passer un pareil nombre de termes, sans tomber dans des calculs
prolixes , et dont l'exactitude ne répondrait pas au travail qu'ils
exigent. La limite a=:^ répond au module c = — ^, c'est-à-dire
à peu près c=. sin 70* 3o'. Ainsi l'usage de la méthode précédente
doit être restreint aux cas où l'angle du module ne surpasse pas 70° 3o'.
i56. On pourra cependant reculer beaucoup cette limite de 70*30',
si on veut exprimer les fonctions E et F par la variable ;p°, comme
on a exprimé les quantités D^ etD" » dans les art. 176 et 176 de
la cinquième Partie.
Pour parvenir directement aux résultats qu'on doit obtenir dans
cette hypothèse , il faut, d'après les propriétés connues (art. 60 et 61,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
première Partie) , former les équations
12:
F =
F%
(i 4_ c*) E = E" + c° sia (p° — i ^"-F",
dans lesquelles F» et E° sont mis pour F (c% (p°) et E (c% (p°).
Or il suit de l'analyse précédente que si c°° est < ^ , on pourra
développer les fondions F°, E° en suites suffisamment convergentes,
l'une de la forme Aip" — A' sin 2(p'+A"sin4(p° — A'"sin6(p*-|-etc.,
l'autre de la forme B<?>° + B' sin 2(p°— B" sin4(p°+ B'"sin6(p"'-— etc.;
d'où il suit que les fondions E et F pourront être exprimées par des
suites semblables, auquel se joindra un nouveau terme a sin (p° dans
la valeur de E seulement.
La valeur c""' = ^ donne à peu près c'==sin70°3o' et c=sin88°2o'.
Ainsi le développement des fonctions E et F peut être fait en séries
convergentes et qui n'aient pas un trop grand nombre de termes ,
pourvu que l'angle du module ne soit pas plus grand que 88*20'. Mais
depuis 70° 3o' jusqu'à 88° 20', la variable <p devra être remplacée dans
le développement par la variable <p°, et on sait que la relation entre
ces deux variables est donnée par l'équation sin (^2(p — cp°) = c° sin (p%
ou par l'équation tang ( (p° — (p) =zb tang (p.
iSy. Pour donner un exemple des développemens qu'on peut
obtenir en substituant la variable (p°àla variable <p, nous supposerons
comme ci-dessuSj c =-^ ou c'' = ^ = sin 3o° ; il en résultera
c°° = tang* i5°; c'est la quantité qui doit être prise pour a dans le
calcul des coefficiensPo, P, , Pj, etc. ^ d'où l'on déduira les coefficiens
A et B, relatifs au même cas.
Or en poussant l'approximation jusqu'à dix décimales , on trou-
vera les résultats suivans :
Pg Z= 1.00129 3176a 3
P, r=: O.oSSqiS 94^45
Pa =. 0.00195 27551
P3 = 0.0001 I 591,68
P^ = o.oooco 72826
P5 z= 0.00000 04706
Pt; =z 0.00000 oo3io
Py = O.OOCOO 00021
Ps = 0.00000 0000 1
A = 1.07318 20071 5
A' = o.o3855 19021
A" = 0.00104 64783
A'" := Oi 00004 i4^5i
A'* = O.OOCOO 19614
A^ = 0.00000 01009
A^' = o.coooo ooo5'5
A*" = o.poooo oooo3
B = 0.93421 5l7o3 q
W^ = o. "03347 15574
B" = o.ooo3o 02161
B''' r= 0.00000 72401
B'* r= 0.00000 02417
B* = 0.00000 OOC97
B^' = 0.00000 00004
124 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. '
Au moyen de ces coefiiciens , on aura les valeurs suivantes de F° et E%
F° — A(p° — A'sin 2{p° + A"sin 4(p° — A'"sin 6(p° + etc. ,
E° = B?>° + B'sin 2^= — B"sin 4?)^ + B'"sin 6(p'' — etc. ;
et enfin celles des fonctions propose'es F et E , savoir,
F = |F% E = fE»-iF'H-isin,r,
lesquelles seront exactes jusqu'à la dixième décimale. Or on a vu
ci-dessus que l'expression des mêmes fonctions , par la variable <p ,
exigerait un beaucoup plus grand nombre de termes pour ne donner
que sept décimales exactes.
Ces dëveloppemens ont l'avantage de représenter les deux fonctions
dans toutes les combinaisons analytiques où elles peuvent entrer ;
d'ailleurs les premiers coelïiciens A, A', B , B' qu'il importe le plus
de connaître exactement, se trouveront toujours avec toute la pré-
cision qu'on peut désirer par le moyen de la Table des fonctions
complètes.
TABLE I ,
TABLE I,
CONTENANT
LES LOGARITHMES DES FONCTIONS COMPLÈTES F'c, E'c,
Calculés pour tous les angles du module de dixième en dixième de degré, depuis o*
jusqu'à 90°, avec i4 décimales pour les i5 premiers et les i5 derniers degrés du
quadrant, et 12 décimales pour tous les autres angles de i5 à 76 degrés.
On y a joint les différences premières , secondes , troisièmes et quatrièmes de ces
Logarithmes, terminés uniformément à 12 décimales.
L'angle du module qui sert d'argument est désigné par 5. C — Jv
o.o
Log. E'.
DifF. I.
II.
m.
Log. F'.
DifF. I.
II.
III.
0.196 119 877 o3o.i5i 33o 734
66i 468
0
0. 196 1 19 877 o3o. i5
33o y54
661 470
4
o. 1
0.196 119 546 296.02] 992 202
661 468
3
.<o.i96 120 207 764.42
992 204
66 1 4y4
6
0.2
0.196 118 554 093.84; 1 653 67c
66 1 465
0
0. 196 lâl iqq q68.48
1 653 678
661 480
8
O.'â
0.196 116 qoo 49,4.39 2 3i5 i35
661 465
3
0. 196 122 853 646. 11
2 3i5 i58
661 488
12
0.4
0.196 ii4 585 288.93
2 976 600
661 462
3
0. 196 125 168 8o3.6i
2 976 646
661 5co
14
16
0.5
0. 196 m 608 689. 19
3 638 062
661 459
3
0. 196 128 145 449'79
3 638 146
661 5 14
o.b
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661 456
4
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661 53o
20
0.7
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4
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661 55o
20
0.8
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5
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5 622 740
661 57c
24
0.9
1 .0
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661 443
5
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6 284 3io
661 594
38
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7
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6 94^ 9^4
661 622
27
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7 6c6 758
661 43i
4
0.1 q6 lôq 897 400 -35
7 607 526
661 649
33
1 .2
0.196 C73 25i 746.30
8 268 189
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8 269 275
66 1 682
33
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661 418
6
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66i 715
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661 412
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9
7
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661 752
40
40
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661 792
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661 832
44
1-7
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661 386
8
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12 236 63i
661 378
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53
54
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i3 563 72c
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2. )
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10
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bb
2.r
o.ig5 959 806 619.19
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i3
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i3
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i5
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2.7
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2.J^
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18
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3..Q
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661 191
i5
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83
3.3
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661 176
19
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3.4
3.5
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061 157
18
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663 016
87
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661 139
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19
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661 101
19
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ICO
3.9
4.0
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661 06c
19
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661 Oiq
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663 696
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660 997
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icq
4.3
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660 974
23
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663 914
ub
4.4
4.5
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660 95 I
23
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iiô
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24
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664 i4ci
4.6-
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3o 749 762
660 904
25
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4-7
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3i 464 S44
664 383
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^2 071 545
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S64 5o3
129
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^3 7,33 3qQ
d6o 828
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l32
e.
5°o
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5.3
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5.7
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5.9
6.0
6.1
6.2
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6.5
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6.9
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II.
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Diff. I.
II.
III.
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27
28
3o
27
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198
198
203
204
9.08
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660 63i
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33
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4i 981 396
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33
32
35
33
36
36
34
38
37
38
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51 223 778
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5o
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8.0
8.1
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8.6
^7
8.8
8.9
9.0
9-1
9.2
9-3
9-4
9-6
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9-9
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/
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0. 188 288 742 721
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0.204 ^27 365 570
104 477 376
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0.188 084 373 731
io3 166 029
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0.204 23i 842 952
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433
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0, 187 981 207 702
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16.3
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1 10 o37 226
696 983
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0. 187 240 733 /if^'j
108 096 713
653 334
116
o.2o5 092 662 836
1 10 734 209
697 438
459
16.5
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109 o5o 047
653 218
116
o.2o5 2o3 397 045
111 43i 647
697 897
463
16.6
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109 703 265
653 102
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o.2o5 3i4 828 692
112 129 544
698 36o
4H
16.7
0.186 913 583 462
110 356 367
652 983
ii6
o.2o5 /l^i'^ 958 236
112 827 904
698 824
4ji
16.8
0. 186 8o3 227 095
1 1 1 009 35o
652 867
122
o.2o5 539 786 i4o
ii3 526 728
699 295
47^
l6\,q
0. 186 692 217 745
111 662 217
652 745
1^9
o.2o5 653 3i2 868
I i4 226 023
699 766
477
17.0
0.186 58o 555 528
1 12 3i4 962
652 626
123
o.2o5 'j^'] 538 8qi
ii4 925 789
700 243
478
17.1
0.186 468 240 566
112 967 588
652 5o3
122
o.2o5 882 /^<^/^ 680
1 15 626 o32
700 721
483
17.2
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1 i3 620 091
652 38 1
126
o.2o5 998 090 712
1 16 326 753
701 204
485
17.3
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ii4 272 4/2
652 255
124
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117 027 957
701 689
49^
17.4
17.5
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114 924 727
652 i3i
128
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702 180
491
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u5 576 858
652 oo3
127
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1x8 43i 826
702 671
437
17.6
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65 1 876
128
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7o3 168
499
17.7
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65 i 748
l32
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119 837 665
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5o3
17.8
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117 532 485
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120 541 332
704 170
507
17.9] 0.1 85 546 236 'j^'j
118 184 101
65 1 487
i34
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121 245 50Q
704 677
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18.0
0.1 85 428 o52 646
118 835 588
65 1 353
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121 960 179
705 i88
5l2
18.1
0. i85 3o9 217 o58
119 486 941
65 1 216
i34
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122 655 367
705 70c
5i7
18.2
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rao i38 157
65 1 082
i33
0.207 ^92 97 ï 436
123 36 1 067
706 217
522
18.3
0. i85 069 591 960
120 789 239
65o 949
139
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706 73q
523
18.4
18.5
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65o 810
140
109
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707 262
5.7
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65o 670
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125 481 280
707 789
533
18.6
0.184 705 271 535
122 74i 668
65o 53i
143
0.207 690 655 oq5
126 189 074
708 322
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0.184 582 529 867
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65o 388
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0.207 816 S44 169
126 897 396
708 855
539
18.8
0.184 459 137 668
124 042 587
65o 247
145
0.207 943 741 565
127 606 25 1
709 394
542
18. q
0.184 335 095 081
124 6q2 834
65o 102
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0.208 071 547 816
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709 936
546
19.0
0. 184 210 402 247
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0.208 iqq 663 461
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712 700
564
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128 591 238
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i54
0.208 85 1 901 690
i32 583 5i6
71 3 264
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572
19-7
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129 889 5o4
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574
19.8
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583
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585
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716 724
590
20.a
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i33 i32 435
648 106
164
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137 588 410
717 3i4
595
20.3
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i65
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i38 3o5 724
7^7 Î)^B
596
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170
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20.7
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172
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20.9
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626
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21.4
21,5
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184
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644
21 .6
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142 190 502
645 681
184
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(47 686 243
725 979
648
21.7
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142 836 i83
645 497
186
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726 627
652
21.8
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0.212 082 816 616
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22.4
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147 35o 689
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1,97
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i53 5i2 455
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0.179 289 713 934
148 638 8g6
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o.2i3 29S 328 284
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o.2i3 45 1 3o3 981
i55 708 343
733 335
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32.5
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44^
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23o 768 359
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I2l5
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6i3 023
45i
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82q 728
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83o 980
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33.2
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477
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237 391 43o
833 5o)
1272
33.3
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609 3l2
479
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1994
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i3oi
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49^'
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i3o8
33.8
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Qo^ P73
4q8
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5o5
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842 55q
i324
54. c
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6o5 870
5o5
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i332
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5l2
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i337
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5i4
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H7 9°o
i354
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522
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84q 9,54
i363
34,5
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6o3 297
598
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85o 617
i368
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53o
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^5i q85
i38o
34.7
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535
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i384
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53q
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1395
34.9
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545
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1401
35.0
o.i56 c3i 253 676226 248 094600 620
546
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857 545
i4to
9.
35° o
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11.
III.
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II.
III.
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226 248 394
600 620
546
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262 595 127
857 545
i4ic
35. ]
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552
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1427
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1434
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35.5
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56q
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^63 23:
i44
145c
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256 897 o3i
864 67^
35.6'
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146c
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147b-
35.9
36. c
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586
591
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^.70 529
i486
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i5oi
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l5l2
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i5i9
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ib47
■ày.y
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i554
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i583
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iÇo3
37.3
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i638
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i65o
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^^7-9
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683
687
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l66q
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1677
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58i 552
692
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9o5 267
1686
38 . u
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245 174 727
58o 86c
699
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•%9
38.3
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702
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1707
38.4
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1717
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7'9
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38.7
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'747
38.8
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576 599,
729
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'7^9
38 . q
39. c
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^736
740
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918 c48
1771
1778
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748
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178q
3q.9
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39.3
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25 I 524 919
572 889
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o.25o 012 981 377
290 849 522
926 187
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1912
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II.
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III.
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IV.
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II.
III.
IV.
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74-1 .
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81, î
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23l
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84.8
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II.
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IV.
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80. 1
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80.3
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41 996
43 901
44 482
45 846
4^ 302
1 2o5
1 281
1 364
1 4^^
1 558
87.0
87.1
87.2
87.3
87.4
0.002 277 791' 65q.68
0.002 147 592 985.62
0.002 020 477 696.43
o.ooi 896 494 652. 10
0.001 775 6q4 383.73
i3o 198 674
127 ii5 289
123 983 044
120 800 268
1 17 565 164
3 o83 385
3 i32 245
3 182 776
3 -235 1 04
3 589 370
48 860
5o 53 1
52 328
54 266
56 363
I 671
1 797
1 938
2 097
2 275
87.5
87.6
87.7
87.8
^7-9
0.001 658 129 219.50
0.001 543 853 425.72
0.001 43?. 923 364.99
o.ooi 325 3q7 674.99
O.OOl 221 337 4?^ '22
114 275 794
1 1 0 930 06 i
107 525 690
104 060 204
100 53o 893
3 345 733
3 4'^4 ^71
3 465 486
3 599 3ii
3 596 I 10
58 638
61 1 15
63 825
66 799
70 078
2 477
2 710
2 974
3 279
3 641
88.0
88.1
88.9
88.3
88.4
0.001 120 806 578.23
0.001 023 871 '/q4-77
o.coo 93o 6o3 200. 3o
0 . 000 84 1 074 5 11 . 80
0.000 755 363 500.95
96 934 783
93 q68 5q5
89 528 688
85 71 1 011
81 81 i 011
3 eee iSS
3 7^9 9^7
3 817 677
3 900 000
3 sSj 461
73 719
77 770
82 323
87 461
93 3i9
4 o5i
4 553
5 i38
5 858
6 727
88.5
88.6
88.7
88.8
88.9
0.000 673 553 4^9-53
0.000 595 79.8 940.02
0.000 521 986 169.93
0.000 452 4'^.4 225.98
0.000 387 i5o 969.90
77 823 55o
73 742 770
69 56 1 q44
65 273 256
60 867 520
4 c8o 780
4 180 826
4 288 688
4 4c5 736
4 533 740
100 046
107 862
1 ly 048
128 004
141 289
7 816
9 1^6
10 956
i3 285
16 454
89.0
89.1
89. Q
89.3
89.4
o.oco 326
0.000 269
o.oco 218
0.000 171
0.000 129
283 45o.3o
949 669 . q3
290 918.50
4^4 Q39.28
65o 384.72
56 3-^3 780
5i 658 75i
46 825 q79
41 814 554
36 597 014
4 675 029
4 839 772
5 on 425
5 217 540
5 461 357
157 743
178 653
206 ii5
243 817
298 867
20 910
27 462
37 702
55 040
88 25o
8q.5
89.6
89-7
89.8
B9-9
90.0
0.000 093
0.000 061
0.000 o36
o.oco 017
o.coo 004
o.coo 000
o53 371 .21
917 714.05
542 270.57
3i4 148.93
787 090.76
oco 000. co
3i i35 657
25 375 443
19 228 12a
12 527 o58
4 7^7 09 ï
5 760 214
6 147 321
6 701 064
7 7^9 9^7
387 107
553 743
1 o38 goS j
[
166 636
485 i6o
e.
85°o
85.1
85.9
85.3
85.4
Log. F'. .
Diff. I.
II.
III.
IV.
0.583 396 aSg 3i8.23
0.585 ^^^ A^o 081.87
0.587 948 014 094.62
0.590 278 321 9':^o.83
0.592 Ç>A^ 785 è3o.4i
a 258 180 764
c C93 574 oi3
2 33o 307 836
2 368 463 899
2 408 i3o 770
35 393 949
36 733 823
38 166 o63
39 666 871
41 273 mo
1 340 674
1 422 240
1 5io 808.
1 607 009
1 711 710
81 666 :
88 568
9^6 201
104 701
ii4 169
85.5
85.6
85.7
85.8
85.9
0.595 o54 916 599.81
0.597 ^°4 ^21 249.91
0 . 599 ^96 7 1 1 /i^^^ . 80
0.609 533 9i3 189.34
o.6o5 117 876 944-55
2 449 404 65o
2 492 390 240
2 537 201 699
2 583 963 766
2 632 812 964
42 Q 85 690
44'èii 4^3
46 762 067
48 849 208
5l 086 2Q2
1 825 869
1 960 698
2 087 ibi
2 236 994
2 4° i 786
124 799
i36 553
H9 843
164 791
i8i 677
86.0
86.1
86.2
86.3
86.4
0.607 7^° ^^9 9°9-°7
0.610 4M ^% 075.26
o.6i3 171 976 227.83
o.6i5 965 434 829.71
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2 683 899 166
2 737 387 i53
2 793 468 602
2 852 3 14 3ao
2 914 176 863
53 487 987
^56 071 449
5« 855 71 "8
61 862 633
65 ij6 686
2 583 462
2 784 269
3 006 8i5
3 254 i53
3 529 876
2CO 807
222 546
247 338 ^
275 723
3o8 365
86.5
86.6
86.7
86.8
86.9
0.621 731 926 002.75
0.624 7' ^ 2ig 542.37
0.627 769 169 643.37
o.63o 879 584 546.69
0.634 076 678 340.46
2 979 293 539
3 047 94o 101
3 120 424 904
3 197 093 793
3 278 336 649
m 646 562
72 4^4 8q3
76 6GS 889
81 242 766
86 956 864
3 838 241
4 1,84 086
4 573 867
5 014 108
5 6i3 948
345 845
389 781
44<^ 241
499 840
669 71 1
87.0
87.1
87.9
87.3
0.637 ^55 014 889.22
0.640 719 608 3oi .93
0.644 ^7^ 972 627.06
0.647 7^^ 191 223. 1 1
o.65i 389 000 4^4-^1
3 364 693 4 i3
3 466 364 295
3 654 218 696
3 658 809 241
3 770 886 71 1
91 770 812
97 854 471
104 590 546
1 12 077 47°
120 433 169
6 o83 669
€ j56 074
7 486 996
8 356 '6c)9
9 ^^^ 747
652 416
760 85 1 ;
868 yj4
1 on 048
1 i83 991
87.5
87.6
87.7
87.8
87.9
0.665 169 887 174.84
0.669 061 207 066.09
0.663 072 326 850.67
0.667 233 797 301.26
0.671 647 665 193.66
3 891 319 880
4 021 1 19 796
4 161 470 460
4 3i3 767 823
4 479 670 o5i
129 799 9»'6
140 35o 654
162 297 373
166 902 228
181 4l2 642
10 55o 738
1 1 946 719
i3 604 855
i5 690 4^4
17 989 293
1 396 981
1 658 i36
1 985 559
2 398 879
2 926 862
88.0
88.1
88.9
88.3
88.4
88.5
88.6
88.7
88.8
88.9
0.676 027 235 174-93
0.680 688 397 8S8.16
0.685 649 042 496.79
0.690 63o o85 213.94
0.696 966 062 395.61
4 661 162 693
4 860 644 628
5 081 042 718
5 026 967 182
6 699 926 686
^99 481 9^5
220 398 090
244 924 4^4
273 968 5o4
3o8 698 288
20 916 i65
24 626 374
29 o34 040
34 739 784
42 074 739
3 610 219 .
4 607 666
5 70 5 y 44
7 334 955
9 ^97 '554
0.701 555 978 081 .90
0.707 454 602 o56.oo
0.713 793 999 066.99
0.720 386 841 378.02
0.727 614 617 762.00
5 908 623 974
6 269 397 001
6 661 842 321
7 128 776 384
7 677 725 357
35o 773 027
409 445 320
466 934 o63
548 i^48 973
655 bi 1 6i4
61 679 293
64 488 743
89 014 910
106 662 641
142 5io 764
12 816 4S0
17 626 167
24 647 73 '
35 848 193
54 325 2P7
89.0
89.1
89.9
89.3
89.4
89.5
89.6
89.7
89-8
89.9
90.0
0.735 199 343 119.4')
0.743 625 680 090.29,
0.762 667 139 439.03
0.762 783 667 217.10
0.774 188 442 696.41
8 333 336 971
9 i3i 469 349
10 126 4' 7 77^
1 1 404 886 409
i3 114 638 897
798 199 378
994 9^8 499
1 278 467 63 1
1 709 753 488
9 416 554 994
196 836 o5i
283 609 209
499 985 867
706 800 806
1 990 38o 55o
86 673 i5i
145 776 655
277 5i4 c)4c)
583 679 75'>
1 610 248 983
5 706 908 060
0.787 3o3 081 5^3. 90
0.802 8.34 974 714.4'^
0 8r!a 079 4o9 767.80
0.847 818 094 4^7.91
0.888 678 8'86 838.43
Infini.
16 53 1 193 191
19 238 128 044
25 745 691 739
40 760 732 341
3 70S 934 853
6 607 563 696
16 oi5 100 602
2 800 698 842
8 607 536 907
C:=^ ^'
^ ^.r
TABLE
Valeurs des Fonctions E, calculées à douze dé
de demi-degré en demi-degré , depuis o°
de 45".
IL
cimales^ pour
jusqu'à 90%.]
' toutes les .
'angle du
amplitudes <p ,
module étant
<P
E
DifF. I.
II.
III.
IV.
V.
o^o
0.5
1 .0
1.5
2.0
2.5
0.00000 ooooo 00
0.00872 65908 79
0.01745 28494 88
0.02617 84436 20
0.03490 3o4ii 94
0.04362 63io3 20
872 65908 79
872 62586 09
872 55941 32
872 45975 j4
872 32691 26
872 16090 4o
3322 70
6644 77
9965 58
13284 48
16600 86
19914 07
3322 07
3320 81
33i8 90
33 16 '38
33i3 21
3309 42
126
191
252
3i7
379
44^
65
61
65
62
66
59
3.0
3.5
4.0
4-5
5.0
o.o5234 79193 60
0.06106 75369 93
0.06978 48322 jy
0.07849 94747 i5
0.08721 11343 i4
871 96176 33
871 72952 84
871 4S424 38
871 16595 99
870 83473 41
23223 49
26528 46
29828 39
33 122 58
36410 48
33o4 97
3299 93
3294 ig
3287 90
3280 92
5o4
574
629
698
764
70
55
^9
66
56
5.5
6.0
6,5
7.5
0.09591 94816 55
0. 10462 41879 48
0. ii332 49^51 01
0.12202 i3657 86
o.i3o7i 3i834 95
870 47062 93
870 07371 53
869 64406 85
869 18177 °9
86"8 68691 17
39691 40
42964 68
46229 76
49485 92
52732 59
3273 28
3265 08
3256 16
3246 67
3236 5o
820
892 .
949
1017
1081
72
57
68
64
61
8.0
8.5
9.5
10.0
0. 13940 00526 12
0.14808 16484 70
0. 15675 76474 19
0. i654'^ 77268 90
0. 17409 i5654 56
868 15958 58
867 59989 49
867 00794 71
866 38385 66
865 72774 4^
55969 09
59*194 7"8
69409 o5
656i i 25
68800 70
3225 6q
3214 27
3202 20
3189 45
3176 09
1 142
1207
1275
1344
1401
65
68
'^
63
10.5
1 1 .0
11.5
12,0
12.5
0.18274 88428 97
0. 19139 92402 68
0.20004 24399 60
0.20867 81257 65
0.21730 59829 39
865 03973 71
854 31996 99
863 56^58 o5
862 78571 ^4
861 97153 33
71976 79
701 38 87
78286 3i
81418 41
84534 60
3162 08
3.47 44
3i32 10
3ii6 19
3o99 54
1464
1534
1591
i665
1720
h
74
55
75
i3.o
i3.5
i4-o
14.5
i5.o
0.22392 56982 72
0.23453 69601 45
0.2431 3 94586 o4
0.25173 28854 i5
0.2603 1 69341 39
861 12618 73
860 24984 59
859 34968 11
858 40487 24
857 43660 52
87634 14
90716 48
93780 87
96826 72
9q853 34
3082 34
3o64 59
3o45 85
3026 62
3oo6 78
1795
1854
1923
1984
2o55
6^
i5.5
i6.o
i6.5
17.0
17.5
0.26889 i3ooi gi
0.27745 56809 0.9
0.28600 97756 i5
0.29455 32856 86
o.3o3o8 59146 18
856 43807 18
855 40947 06
854 35 100 71
853 26289 32
852 14534 76
1 02860 12
1 o5846 35
1 08811 39
1 11754 56
1 14675 25
2986 23
2965 04
2943 17
2990 6q
2897 47
2119
2187
2248
2322
238o
68
61
74
58
75
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
20.5
21 .0
o.3ii6o 73680 94
O.3201 1 73540 45
0.32861 55827 24
0.33710 \j66'/ 64
0.34557 56212 53
o.354o3 68637 95
0.36248 52145 82
85o 99859 5i
849 82286 79
848 61840 40
847 38544 89
846 12425 42
844 835o7 87
843 5i8i8 77
1 17072 72
1 20446 39
1 20295 5i
1 26119 47
1 28917 55
1 31689 10
1 34453 44
2873 6j
2849 12
2823 ()6
2798 c8
2771 55
2744 34
2716 48
2455
25 16
2588
2653
2721
2786
2858
61
72
65
68
65
72
68
TABLE II.
Valeurs des Fonctions F, calcule'es à douze de'cimales^ pour toutes les amplitudes <p ,
de demi-degré en demi-degré , depuis o" jusqu'à 90% Tangle du module étant
de 45°.
^
F
DifF. I.
II.
III.
IV.
Y.
o°o
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.00000 00000 00
0.00879 67016 41
0.01745 37355 71
0.02618 14340 92
0.03491 01295 3i
0.04354 01542 53
872 67016 41
872 70339 3o
872 76980 21
872 86954 39
873 000,47 22
873 16864 21
3322 89
6645 91
99S9 IS
13292 83
16616 Q^
19941 j6
3323 02
3323 27
3323 65
3324 16
3324 77
3325 5i
25
38
5i
6i
74
9'^
3.0
3.5
4-0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.5
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0.06110 55212 71
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23a67 27
2B593 68
29921 04
33249 5i
36579 '7
3326 41
3327 36
3328 4j
3329 6G
333i 01
95
1 11
119
i35
139
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876 66007 94
39910 18
43242 58
4%7G 5o
49912 04
53949 28
3332 40
3333 92
3335 '54
3337 24
3339 o3
l52
162
170
i85
8.0
8.5
9.5
10.0
0. 13985 32895 00
0. 14862 52202 22
°- ^^740 2809775
0. ifabi8 63922 4?
0 • 1 7497 63o 1 9 20
877 19307 22
877 75895 53
878 35824 72
878 qqo96 73
879 657\3 58
56588 3i
599^9 19
63272 01
6Q6ie 85
69963 72
3340 88
3342 82
3344 84
3346 87
3349 02
^94
202
2o3
2l5
212
10.5
11 .0
11.5
12.0
12.5
0. 18^77 28732 78
0. 19257 64410 08
o.2oi38 73400 12
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73312 j4
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80017 22
83372 77
86730 58
335i i4
3353 34
3355 55
3357 81
336o 02
220
221
226
221
224
i3.o
i3.5
i4-o
14.5
i5.o
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888 i63i9 3i
90090 60
93452 86
96817 33
1 00184 o3
1 o3552 85
3362 26
3364 47
3366 70
3368 82
3370 95
221
223
212
2l3
2o5
i5.5
16.0
16.5
17.0
17.5
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889 19872 16
890 26795 96
891 37092 76
899 50764 5i
893 67813 08
1 06923 80
1 10296 80
1 13671 75
1 17048 57
1 20427' 01
3373 00
3374 95
3376 82
3378 e4
338o 22
195
r87
182
i58
i57
18.0
18.5
19.0
19. 5
20.0
20.5
21 .0
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0.33465 89807 69
0. 34363 29044 63
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0.36162 02619 87
0.37063 43727 82
894 88240 29
896 12047 72
897 39236 g4
898 69809 28
900 03765 2^
901 4i '07 95
902 81 836 07
1 23807 43
1 27189 22
1 3o572 34
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1 37341 99
1 4^728 12
1 44114 77
338 1 79
3383 12
3384 34
3385 3i
3386 i3
3386 65
3387 00
i33
122
82
52
35
5
S
<?•
E.
DifF. I.
II.
III.
IV.
V.
21°0
21 .5
22. O
22.5
23. O
0.36248 52145 82
0,37092 03964 59
0.37934 21 349 90
0.38775 01 585 29
0.39614 4^9^^ 8^
843 5i8i8 77
842 17085 3i
840 80235 39
839 4°^97 ^
837 9790 I 1 1
1 34433 44
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1 39837 82
1 42496 4£
1 45125 18
2716 48
2687 90
2658 64
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2598 1 1
a858
2926
2992
3o6i
3i33
68
66
69
72
65
23.5
24-0
i 24.5
! 25. 0
25.5
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0.42123 97712 '54
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835 o5o52 64
853 54762 57
832 01937 70
83o 46S10 71
ï 47723 29
1 50290 07 '
1 52824 87
1 55326 99
1 57795 70
2566 78
2534 80
25C2 12
2468 71
3434 66
3198
3262
3341
34o5
5479
64
79
64
74
69
26.0
26.5
27.0
27.5
28.0
O.44S2O 0I023 52
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2364 39
2328 22
2291 32
2253 75
3548
3617
3690
3757
3832
^9
73
67
75
68
28.5
29.0
29.5
3o.o
3o.5
0.48748 18974 36
o.4,f)568 82997 ^^
o.5o387 75i52 o5
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820 64022 80
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817 "18071 55
8i5 41811 78
8i3 634i5 3o
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1 74o83 34
1 76259 yj
1 7839'é 48
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2176 43
2i36 71
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3900
3972
4044
4ii5
4187
72
72
71
72
72
3i .0
3i.5
32.0
32.5
33.0
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1 8653i 78
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1 90342 45
20l3 25
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i883 3x
i838 56
4330
44o5
4475
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75
70
74
69
33.5
34.0
34.5
35.0
35.5
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cSyS-jy 18146 c8
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798 64325 10
jq6 68604 i3
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i 93974 08
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1793 07
1746 89
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i6o3 88
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4696
47'63
4842
4912
67
79
70
70
36. 0
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37.0
37.5
38. 0
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2 03736 78
2 o5 1 9 I II
2 o65q4 14
i554 y6
i5o4 94
14^4 33
i4o3 o3
i35i 00
4982
5o6i
5i3o
52o3
5279
^9
70
38.5
39.0
39.5
40.0
40.5
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1244 72
1190 49
n55 56
1079 85
5349
5423
5493
5571
5637
74
78
66
79
4» .0
41.5
42.0
42.5
43.0
0.68702 95269 45
o.Sq474 .96779 29
0.70244 84395 16
0.71012 57093 58
0.71778 13908 23
772 oi5o9 84
y 6s 87615 87
767 72698 42
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763 40022 37
2 13893 97
2 149*17 45
2 i5883 77
2 16793 28
2 17642 20
1023 48
966 32
908 5i
849 92
790 68
5716
5781
5859
5934
^999
65
II
75
70
43.5 '
44.0
44.5
45.0
i
0.72541 53930 60
0.73302 76310 77
0.74061 8o258 06
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761 2238o IJ
759 c3947 29
756 '84783 72
754 '64950 i5
2 18432 88
a 19163 57
2 19833 57
2 20442 19
730 69
670 00
608 69
546 53
6069
61 38
6209
6275
69
71
66
73
<p.
F.
Diff. I.
II.
ijr.
IV.
V.
S1°0
0.370G3 43727 82
902 8i836 07
1 44114 Tj
3387 00
+ 5
3i
21 .5
0.37966 25563 89
904 26960 84
\ 47601 77
3387 o5
—26
2')
22. O
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146 76
i4o 61
134 o5
660
586
6i5
664
673
81.5
82.0
82.5
83. 0
83.5
1 . 645o3 06238 48
1.65724 68o52 38
1 • ^^947 7407^ 47
1.68172 15968 73
1 -69397 86277 82
1221 6i8i3 go
1223 06021 09
1224 41896 26
1226 69309 09
1226 88142 41
1 44^07 19
1 36874 17
1 27413 83
1 18833 32
1 10139 97
8333 02
8460 34
858o 5i
8693 35
8798 62
127 32
120 17
112 84
io5 27
97 34
716
733
767
793
807
84.0
84.5
85. 0
85.5
86.0
1 .70624 73420 23
1.71852 71702 61
1.73081 71326 34
i.743n 63395 4G
1 .75542 38924' 74
1227 98282 38
1228 99623 73
1229 99069 12
i23o 76629 28
i23i 49923 24
i 01341 35
92445 39
83460 16
74393 ç^G
66255 24
8896 96
8986 23
9066 20
9108 72
9202 5o
89 27
80 37
7a. 52
63 78
54 S7
83o
845
874
88i
892
86.5
87.0
87.5
88.0
88.5
1.76773 88847 98
1.78006 04026 4G
1.79238 76267 68
1 .80471 93284 17
1.81705 48802 4i
J232 16178 48
1232 71231 22
1233 18026 4q
1233 556 18 24
1233 85669 49
66062 74
46795 27
07491 75
28161 26
18782 99
9267 47
9003 62
9340 60
9368 -26
9386 84
46 06
36 98
27 76
18 58
9*^7
922
918
89.0
89.5
go.o
1 .82939 32471 90
1.84173 34924 38
1 .85407 46773 01
1234 02462 48
i234 11843 63
9396 15
TABLE III,
Contenant les Sinus naturels à quinze de'cimales , et leurs Logarithmes à quatorze
décimales, pour tous les arcs de quinze en quinze minutes , depuis o" jusqu'à 90".
Arc.
o^oo'
o. i5
o.3o
0.45
1 .00
i.i5
1 .3o
1.45
f2.00
2. l5
2.3o
2.45
3.00
3.i5
3.3o
3.45
4.00
4.15
4.3o
4.45
5.00
5.i5
5.3o
5.45
6.00
6. i5
6.3o
6.45
7.00
7. i5
7.30
7.45
8.00
8.i5
8.3o
8.45
9.00
Sinus.
o.oocoo 00000
0.00436 33092
0.00872 65354
o.oi3o8 95955
0.01745 2/^cS4
00000
84747
98374
71345
37284
0.02181 4885o
0.02617 69483
o.o3o53 85i32
0.03489 94,967
34561
07873
09823
025oi
0.03925 98157
0.04361 93873
o . 04797 8 1 285
o. 00233 59569
59069
65336
21344
42944
0.05669 27875
0.06104 85395
0.06540 31292
0.06975 ^47^7
63378
34857
30143
0.07410 84901
0.07845 90957
0.08280 82075
0.08715 57427
95399
27845
12204
47658
0.09150 1618.6
0.09584 57025
. 1 00 1 8 806 1 6
o. 10452 84632
63402
20224
12076
67654
0.10886 68748
o. 1 i39o 32167
o . 1 I 753 73974
o. 12186 93434
51965
67907
57838
o5!48
o. 12619 89691
o.i3o52 61922
o. i3485 09302
o. 13917 3iooq
9. i5
9.30
9-45
35&3o
20o52
73723
6oo65
o. 14349 26219 91179
0.14780 941 11
o. 1 52,1 1^3386 1
o . 1 5643* 4465o
o. 16074 25656
o. i65o4 76058
o. 16934 95o38
o. 17364 81776
2961
4o93i
60678
49025
66930
(}^r, Log-Sinus.
Infini-négatif.
63981 59982 o3o4
94084 18596 7687
11699 62283 8061
241 85 53 184 2289
33875
41791
4HH
54281
29285 7723
90153 8883
78892 8599
91 638 9609
59394
60967
68"io4
71880
82571 8436
95616 1593
33o34 7541
01 636 7602
75352
78567
81559
84358
78116 1488
52787 7168
85277 5659
45i84 8i65
86986
%<^4^4
9 1 807
94039
79655 2043
32984 0645
33838 9369
60083 3oi8
96142
98167
00081
01923
87768 0277
28715 3969
59741 7702
45655 3272
03689
o538"5
07017
08689
57661 7987
87663 7394
60702 2886
44712 9169
ioio5
1 1669
1 2985
14355
58073 6095
76687 261 1
39467 9460
53o39 9954
16682
16970
18219
19433
96713 7739
20867 7564
69840 2341
2441 3 6701
2o6i3
21760
22878
23967
08967 9906
92289 4481
39286 1014
02600 1167
Afc.
90° 00
89.45
89.30
89.15
89.00
88.45
88. 3o
88. i5
88.00
87.45.
87.30
87.16.
87.00
86.45
86. 3o
86. i5
86.00
86.45
85. 3o
85.15
85. co
84.45
84.30
84. i5
84.00
83.45
83. 3o
83. 16
83. 00
82.46
82.30
82.16
82. co
81.45
81. 3o
8i.i5
81 .00
80.46
80. 3o
80.16
80.00
Sinua.
1 . 00000
°- 99999
0-9999^
0-9,9991
0.99984
00000 00000
04807 20734
19230 64171
43276 74007
76961 66391
o -.99976
0.99965
0.99963
0.999^9
20270
73249
36908
08270
7.9909
76667
36713
19096
0.99922
0-99.904
0.99884
0.99862
90662
82216
83864
95347
40723
81 858
84961
54674
0.99839
0.99813
0.99785
0.99766
16706
47984
89262
40602
67349
21867
386c4
69824
0.99726
0.99691
0.99666
0.99619
01860
73337
66024
46980
99486
33128
97761
91740
0.99680
0.99669
0.99462
49276
61986
86182
18953
74662
67179
60912
68273
o . 99406
o . 99667
0.99606
0.99254
63382
18556
84569
6i5i"6
22620
76688
54926
41 322
0.99200
o-'99i 44
0.99086
0.99026
40496
4861 3
68973
80687
79716
73810
86882
41670
0.98965
0.98901
0.98866
0.90768
i3868
58633
i5io4
834o5
19670
61917
67761
961 38
Log-Sinus.
98699
98628
0.98555
0.98480
63665
66016
60690
77530
60232
37231
68078
12208
ocooo
99999
9.9998
9999^
9999^
99989
99985
99979
99973
00000
58658
34660
27913
38498
cooc
0986
8204
44'^^
0922
66373
1 1626
73938
53589
7472
2321
2171
2i58
99966
9.9908
99949
99940
60455
64610
95724
44062
99930
.99918
99906
99894,
998""8o
99866
99860
99834
09490
91968
9 1 453
07898
6811
6027
OC2C
9372
56o3
o554
6691
41255
9 1 472
68493
42260
99817
99799
99780
99761
42709
59777
93394
43489
9123
8658
8714
1760
7863
4684
7015
8180
.99741
^^7J^^
99697
99676
09987
92810
91876
07098
6925
o333
2i58
3o9.7
99661
99626
99601
99676
38.691
8566 1
48816
27754
0298
7928
6322
2188
99548
99620
99461
99431
99400
99668
99335
22376
32676
68244
_9927o_
55538
26960
l3322
14589
8389
378'!
3c42
65o8
9988
45 q 7
6553
Arc.
o°oo
o.i5
o.5o
0.45
1 .co
i.i5
1 .3o
1.45
2.00
2. i5
2.3o
3.45
3.C0
3.i5
3 3o
3.45
4.00
4.i5
4.3o
4.45
5.00
5.i5
5.3o
5.45
6.C0
6. 10
6.3o
6.45
7.C0
7. i5
7.3o
7.45
8.C0
8.i5
f.5o
8.45
9.C0
9.15
9.3o
,q .45
Sinus.
o . 1 7364
0.17794
o. 18223
o. 18662
81776
35454
55254
4o36o
66930
73842
.92147
08734
o. 19080
0 . 1 9609
0.19936
o. Q0064
89953
o3220
1751 1
76545
16128
i7'97
40178
o . 2079 i
0.21217
, 2 1 643
22069
16908
76721
96)^39
74350
1775,9
56446
38io3
2l5oi
0.22493
0.22920
o . 23344
o . 23768
10543
03909
53638
58923
43865
22414
55906
26173
24192
24616
o.25o38
25460
18955
32930
00040
1 9482
99668
28993
54442
05528
0.26881
o.263o3
0.26723
27144
90461
^9l44
83760
04498
02621
67976
78267
66074
27663
0.27982
28401
0.28819
73658
.qoi4o
53447
62681
1^9.99
30992
03923
34089
, 29237
,29654
,50070
,3o486
17047
15749
67995
42990
22737
76671
04273
28011
3090 1
o.3i"3i6
o . 3 1 730
o . 32 I 43
69943
38064
46564
94663
74947
83760
06092
o3i62
0.32556
0.32969
o.33'38o
o . 3379 1
81544
06462
68692
67180
67167
62787
33771
03327
0.34202
p , 346 1 1
35o20
0.35429
01433
70670
73812
10379
0.36836
o . 3624^
0.3663©'
o . 37055
T.9495
8o382
12267
74375
26669
77^9^
69468
977 '6
463oo
33702
24297
09836
0.37460
0.37864
0.38268
66934
86173
34323
16912
62433
66090
Los-Sinus.
23967
26028
26063
27073
28069
29023
29965
3o886
O330O
22396
30434
48041
1 167
io85
4638
6206
88449
57266
53093
68229
6041
7476
i4i5
3232
31787
32669
335 '53
34379
89 1 02
96803
67606
72867
7855
6916
i3io
5582
35208
36o2i
368 18
37600
8o33o
53540
62634
v34o52
4126
2532
1441
6927
38367
39120
39869
4"o586
61767
665oi
96421
17226
8694
2196
2791
3708
41299
42000
42689
43367
623o5
72901
88240
45664
6934
7208
2170
0481
44o33
44689
45534
45968
80760
27422
18046
83528
854û
61 19
2626
1667
46693
47208
47814
48410
63399
56898
18041
66696
7743
3093
1781
48998
49577
60147
60709
23640
i5632
64453
919%
8607
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6292
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,96419
,96606
,95192
06886
86896
55961
15474
3 109
6336
7961
1458
12886
64396
45494
47760
,85388
86146
82903
o . 82668
jo. 89412
0.82164
0.81915
68220
96123
76726
^749±^
61886
69379
67168
02545
66042
27 ' 8.')
22016
42164
88999 9
,96076
,92969
,92849
,99726
67866
88624
04866
06177
1 106
0464
1024
0700
92602
92481
92669
99266
9i9'8
61417
14029
49075
2538
9900
8694
9960
,921 10
'9^9H
9 1 857
.91739
66899
66816
49135
00161
1719
9685
2197
1806
9 '599
,91468
, q 1 566
67 1 5 1
62410
46194
2709
8945
2486
¥
Arc.
35° oo'
35. i5
35. 3o
35.45
36. 00
36TT5"
36. 3o
36.45
37.00
37.30
37.45
38. 00
38. i5
38. 3o
08.45
jg.oo
3g . 1 5
3g . 3o
39.45
40.00
40.15
40. 5o
40.45
41 .00
Sinus.
,57357
,57714
, 58070
58424
58778
64363
5igoo
29557
5)6656
'52529
5 1046
37234
1 0940
92473
Los-Sinus.
69130
59482
59832
60181
96483
27867
4600 5
5o23i
63582
5i34i
70659
52048
60529
60876
61221
61 566
39880
14290
72800
14753
42894
0872
25658
61909
62251
62592
6^932
39493
46366
34721
03910
09834
37620
84059
49837
639,70
63607
63943
64278
53285
82202
900 1 9
76096
62516
77764
8o585
86559
64612
65275
656o5
3979S
8o483
97594
90289
42964
3o"i84
62723
9o5o7
41. i5
41 .3o
41.45
42.00
42. 1 5
42. 3o
43 . 00
65934
66262
66588
66913
58. 5i
00482
16660
o6o63
00069
i5738
oc834
58858
,67236
67559
,67880
,68199
68074
02076
07455
836oo
34668
i566o
02942
6249g
43.15
43.30
43.45
44-00
44^75"
44 -30
44 45
45.00
685i8
68835
69151
,69465
29903
45756
3o557
83704
69779
70090
, 7040 1
70710
26359
93754
82269
58997
04598
92642
47244
67811
41680
85 1
969
86548
t
,75859
,76128
76395
, 76659
7699/1
i3oi3 5406
5o8o5 7353
4o365 4769
84725 2028
86852 9506
77181
77438
49654 i364
75973 2607
68595 5686
30248 6401
78196
78690
78934
636o3 9399
'jiQ'jS 3o59
55835 3919
19787 0607
79175
79^^ 4
79652
79887
65594 7385
95670 7095
12379 3908
i8o38 5449
80120
8o35i
80579
80806
14920 4^56
o5253 1226
91221 2705
74967 5243
8io3i
81254
81475
81694
58593 3976
44160 3i 18
33690 5738
29168 3225
81911
82126
82339
8255'i
02540 447^
45717 477q
70574 45o6
08951 7436
82760
82968
83'i 74
83378
63655 8868
33460 36 18
23 106 3545
333o3 5o54
83580
83781
83980
84177
84372
84566
84758
,84948
65730 63o2
22o36 4207
o384o 1245
12732 2059
50274 9899
i8oo3 2841
17424 9879
5oo2i 6801
Arc.
55° 00'
54.45
54.30
54.15
54.00
Sinus.
53.45
53. 3o
53. i5
53.00
52.45
52. 3o
52. i5
52.00
51.45
5i .3o
5i.i5
5 1.00
50.45
5o.3o
5o. i5
5o.oo
49-45
49 .30
49.15
49.00
48.45
48. 3o
48. i5
48. co
47.45
47.30
47-15
47.00
46-45
46. 3o
46. i5
46.00
45.45
45. 3o
45.15
45.00
o.SigiS
0.81664
0.8141 1
0.81157
0.80901
0.80644
o.8o385
0.80125
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20442
i555i
55i83
39819
69943
46042
68606
38126
55 100
88992
6 1 ^79
563 19
65oi
74947
0.79600
0.79335
o . 79068
0.78801
20025
33402
95737
07536
67483
17217
9106
iZ.293
34622
91235
43843
06722
0.78531
0.78260
0.77988
0-77714
69308
8i568
4483o
596 1 4
80745
52414
92882
5697
0.77439
0.77162
0.76884
o . yS6c4
26440
45833
18320
44431
82186
87720
73460
18978
0.76323
0.76040
75756
0.75470
24697
59656
49843
95802
82529
coo3i
84o5o
22772
0.75183
74895
0.74605
0.74314
98074
57207
73760
48254
78977
89002
617C0
77^94
o . 7402 1
0.73727
73432
0.73135
81274
73368
25094
37016
86832
10124
35686
19171
0.72837
72537
0.72236
0.71 933
09698
43710
39620
98003
82400
12288
59756
3865 1
, 7 1 63o
,71325
,71018
0.70710
19434
04491
53756
67811
24654
54182
23285
86548
Log-Sinus.
,91336
,91203
,91068
,90932
.90795
,90667
,90617
,90377
,90234
,90091
■ 89946
,89800
,89653
, 89604
,89354
,89203
,89060
46194 2486
14754 i335
6o33i 7566
81166 6286
76445 8697
45404 9466
87226 558 1
01090 8127
86164 9534
4i6o3 1134
ee546 0810
60121 0648
21441 3954
4c)QoS 3677
43700 8847
02796 23oi
25944 7926
88896
88740
88583
88426
12189 7791
6o5:?4 9276
70049 21 i8
39665 535 1
88265
88104
87941
87777
6838o 4223
56i53 6992
98928 164:'
98629 2666
87612
87445
87277
87107
53 164 7069
61424 i85û
22278 9429
34681 4351
,86935
,86763
,86688
,86412
97164 9418
08843 1734
68409 8716
74538 3939
,86235
,86006
86876
,86693
,855c9
,85324
,85i37
,84948
26281 2903
22069 8667
60713 7384
40900 3701
6iii94 6024
2c538 i683
17249 1927
5oc2i 6801
t TABLE IV.
Valeurs de<ïog-tang (45° H- 7 ^ ) pour tous les angles (p de 3o en 3o minules , depuis 0'
jusqu'à 90°, calculées à douze décimales, avec leurs différences premières, secondes,
troisièmes , quatrièmes et cinquièmes.
<P
,/tang(45°+i^).
DifF. I.
II.
m.
IV.
Y.
o°co'
o.3o
1 .00
1 .3o
9.00
2.3o
0.00000 00000 00
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0.04364 7083 1 4o
872 67670 24
87a 74216 60
872 87611 83
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873 34071 jj
873 67354 21
13296 23
19949 19
26610 76
3328a 44
39966 86
^'o 6648*87
6653 96
6661 '66
6671 6g
6684 41
66gg Qj
%
5 09
7 60
10 i3
12 72
i5 26
17 87
261
253
269
264
261
256
3.00
3.3o
4.00
4.30
5.00
0.05238 38i85 Sj
0.06112 45506 73
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876 67493 Qj
876 34376 74
4<5SQS 62
53384 oS
60122 o3
66883 07
73669 81
Qjij 54
6737 g7
6761 04
6786 74
6816 i3
20 43
23 07
26 70
28 39
3i o3
264
963
969
964
976
5.3o
6.00
6.3o
7.C0
7.3o
0.09614 08706 36
0.10491 16782 91
0. 11069 ^53i4 4°
0. 12247 81176 99
0. i3i27 5i25o 63
^jj 08046 55
877 8853 1 49
878 76862 69
879 70073 ^4
880 71201 i5
80484 S4
87331 10
^94211 o5
1 01127 5i
1 o8o83 3o
6846 16
6879 95
6916 4^
6966 79
6997 93
33 79
36 61
39 33
42 i4
4498
972
282
281
984
8.00
8.3o
9.00
g.3o
10. co
0.14008 22451 78
0. 14890 01736 23
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885 45704 7q
886 82061 4'5
1 16081 23
1 22124 14
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1 3"6366 66
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7042 91
7090 83
7141 69
7195 54
7262 60
À7 92
5o 86
53 86
56 ^^
60 00
63 20
66 47
09 72
73 i3
76 53
294
299
3n
3o4
320
10. 3o
11 .00
11 .3o
12.C0
12. 3o
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0.20207 42389 ^j
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89*1 34535 55
893 00028 45
894 72963 62
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1 58i 17 20
1 66492 90
i 72935 07
1 80446 96
7312 5o
7376 70
7442 17
76 1 1 8g
7686 03
327
395
341
340
369
i3.co
i3.3o
i4-oo
14.30
i5.co
0.22886 49917 49
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0.24681 44770 43
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896 53410 48
898 41442 4^
900 37135 99
902 40671 19
904 6i83i 73
1 88o3i 98
1 96693 '63
2 03435 20
2 11260 64
2 19173 27
7661 56
7741 67
7826 34
7912 73
8oo3 90
80 12
83 Bj
8739
96 o5
355
372
?73
388
399
i5.3o
18.00
16. 3o
17.00
17.30
0.27388 74309 34
0.28296 45314 34
0.29204 43496 5i
o.3oii6 76964 80
0.31029 53887 20
906 71006 00
908 98182 17
9 i 1 33468 2g
913 76932 40
916 28707 61
2 27177 17
2 36276 12
2 43474 11
9 61776 21
2 6ûi83 ^5
8098 96
8197 99
83oi 10
8408 42
8590 cg
99 04
io3 1 1
107 32
1 1 1 67
1 16 o3
4c7
4.1
435
436
465
18. co
18. 3o
19.00
19.00
20. co
o.3iq45 82694 81
0.32864 71486 o5
0.33786 29081 01
0.34710 64016 81
0. 35637 86047 25
918 88891 24
qai 67694 q6
924 34934 80
927 2io3i 44
93o 16010 20
2 68703 72
2 77339 84
2 86096 ^4
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45 92724 39
48 06626 26
5o 32976 23
1 87081 79
1 99388 27
2 12801 ^j
2 27449 97
2 43477 85
i23c6 48
i34i3 60
14648 10
16027 88
17673 88
11 07 12
1234 ôo
1379 78
1^46 00
17^6 91
68.00
68. 3o
69 00
69.30
70.00
1.63793 86826 3o
1 .66148 97466 10
1.68656 84558 98
1 .71020 09168 67
1.73541 61626 69
2366 To63q 80
2407 87093 88
2463 24699 69
2621 42468 02
2682 61966 58
62 76454 08
55 37506 81
58 17868 33
61 19498 66
6 4 44607 62
2 6io5i 73
2 8o362 52
3 oi63o 23
3 26108 96
3 61093 71
19310 79
21267 71
23478 73
26984 76
28834 04
1966 92
2311 02
2606 02
2849 29
3260 93
70° oo
70. 3o
71 .00
71 .3o
72.00
79.30
73.00
73.30
74.00
74.30
75.00
75.30
76. co
76.30
77.00
y'j.'So
78.00
78.30
7,9 • 00
7.9 • 5^1
80.00
80. 3o
81 .00
81. 3o
82. co
-.3o
83. 00
83. 3o
84.00
84.30
85. 00
85. 3o
86. co
86. 3o
87.00
87.00
88.00
88. 3o
8q . 00
89.30
90.00
logtang(45°+ïf)
.73541 51626 69
.76124 13593 27
.78771 20167 37
.81486 22442 70
.84273 00347 01
.87135 65893 02
.90078 66900 4^
.93106 ^i^j4 °7
.96226 71939 84
.c^c^44o 92666 32
2.02768 94218 00
2.06186 83 162 91
9.09732 39967 20
9. 13404 30420 19
2. 17212 18296 29
2 . 2 1 1 66 8079 1 80
2.26280 9.J044 26
2.29666 20607 45
2.34040 06926 28
2.38719 47201 18
9.43624 60637 16
2.48778 76890 32
2.54209 04360 61
2.69947 16731 21
2 . 66'o3o 6 1 276 69
2.72604 18019 66
2.79491 90679 2V.
2. 86849 86656 14
9.94870 02390 j4
3.o3585 77606 91
3 . 1 3 1 3o 1 33 1 5 '61
3.20678 26218 81
35467 36124 07
^.4883o 01457 85
3.64253 33673 24
3.8'i492 474 n 98
4.04812 54186 83
4.33585 19194 43
4.74134 87603 65
5.43461 4^799 36
Inf. logarithmique.
DifF. I.
2682
2647
2715
2786
2862
2943
61966
06674
02276
77904
65546
01007
3028
3ii8
32i5
33i8
3427
24373
80666
20626
o 1 662
88934
3545
3671
3807
3964
41 13
66814
90462
87876
62496
46262
4.^86
4473
4679
4906
5i54
93663
863 17
40276
i3336
i6353
5430
6738
6o83
6473
6917
27470
1 1370
45544
66744
72669
7427
8020
8716
9544
10648
95976
16834
761 15
36809
1 1 903
1 1789
i3362
16423
1 8239
22320
09906
66333
321 15
i3838
06774
28772
4û54q
69316
66007
68409
62 1 96
II.
67
75
80
86
44607
96701
75628
87641
36461
23366
96
102
109
117
126
i36
146
i58
172
66292
39959
8x027
87282
_67879_
33638
97423
74619
83766
473 10
187
205
226
249
276
92754
53968
73060
o3oi7
11117
3o7
346
390
5io
692
695
828
ioo3
1240
83900
34.73
i58i5
23417
T9857
69280
^oQç)4
76093
98002
3i
78
68
5i
36
68
57
5.3
5o
06
1673
2060
2816
4080
6452
66428
66781
81723
92936
58239
11777
28766
o34oi
93786
III.
61093
12012
47819
87904
32926
83667
41067
06266
80697
667^9
9
10
12
i3
i5
63784
77196
09 1 37
6'3563
45443
20
23
27
3i
6i2o3
19102
29967
08099
72783
37
u
54
60273
77026
04616
07601
96440
io3
i33
175
237
333
39422
01413
16398
21908
68426
487
766
1266
2371
5324
09353
16941
11212
66296
45i'68
16989 90384
IV.
28834 c4
39.084 97
35807 01
40086 01
46021 26
60741 56
57399 S^
66187 54
74349 1 2
86162 17
98026 09
13411 89
31941 24
54416 24
81830 i3
15769 62
67898 68
io855 09
78142 85
Q4Q^5 23
77490 2.9
7
9
12
i5
21
26762 4
27689 93
02986 01
88838 4q
42983 56
29
42
62
95
i54
61991 07
13985 01
06609 69
35517 88
60926 71
268
509
1 106
9969
11666
o6588 53
96971 10
54083 86
79872 23
46216 00
3260 93
3722 04
4278 co
4936 24
6720 3i
6668 38
7787 60
9154 58
10820 o5
1286a 92
16386 80
18629 35
22476 00
27473 89
33869 39
42139 06
52966 5i
67287 76
86640 38
12807 06
49262 14
C0837 60
75396 08
85852 48
54144 07
19C08 5i
ERRATA de la Table de Gardiner, édition d'Avignon.
Nombres.
826
1071
Corrections du lo£
7" chiffre o
^"ets" 48
^' 7
Nombres.
io83
io85
1 io5
Corrections du log.
10* chiffre 6
i9«et i3« 46
i3« 1
Nombres,
1 1 15
1126
ii35
Corrections du log.
1 3* chiffre 1
i3* 3
13*' 1
TABLE V.
Logarithmes à 19 décimales pour tous les nombres impairs de ii63 à i5oi , et pour
tous les nombres premiers de i5oi à loooo.
Nota. Cette Table fait suite aux logarithmes à 120 décimales des Tables de Gardiner , édit. d'Avignon.
Elle est extraite des grandes Tables du Cadastre, déposées au Bureau des Longitudes , et dont la notice
se trouve dans le tome V des Mémoires de l'Institut.
Nomb.
a^rùf^ Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
ii63
ii65
1 167
1 169
1171
06557 ^7^47 28448 4ii4
06632 69253 62037 7769
06707 o856o 45370 1735
06781 45111 61840 1107
o6855 68950 72363 1299
1243
1246
1247
1249
1261
09447 11286 4i£4A 7635
09616 93514 31766 1469
09686 64534 78642 6137
09666 24383 741 36 5 120
09726 73096 93419 9661
i323
1326
i327
1629
1331
i2i55 98441 87600 9733
12221 68782 72826 "6662
12287 09228 64436 6119
12362 49809 42731 9976
12417 80654 J^^jS 1223
U73
1175
1177
1181
06929 80121 16529 2447
07003 j^QSQ 07755 0740
07077 64628 43434 6816
07161 38o5o 96089 i354
07224 98976 i35i4 7991
1263
1265
1267
1269
i2bi
09796" 10709 94149 9998
09864 37268 17066 944i
09933 62776 86967 7472
10002 67301 07862 6975
10071 60866 73081 6210
i333
i335
1337
1339
i34i
12483 01494 13869 206 1
12648 12667 00694 0268
12613 14072 61984 3683
12678 06770 12008 ^j^/^
12742 87778 61698 9129
u83
ii85
,,87
1189
1191
07298 4744^ 27930 3691
07371 835o3 46122 6701
07445 07189 64691 2204
07618 18546 18691 58i8
07691 17614 82777 5o32
1263
1265
1267
1269
1271
10140 336o5 5533o ^4^7
10209 06255 ii836 7244
10277 66148 83441 3410
10346 16220 94704 7763
10414 556o5 54008 1742
1343
1346
1347
1349
i36i
12807 60126 68716 3665
12872 22843 38426 7849
12936 76967 22985 6122
i3ooi 19496 71904 2476
i3o65 53490 22o3o 6913
1 iq3
n95
11.99
12C1
oj^£^ 04436 70341 8728
07736 79062 841 56 4898
07809 4i5o4 06410 6668
07881 9i83o 98848 6760
07964 30074 02906 0489
1273
1276
1277
1279
1281
10482 84o36 53665 3967
10661 01847 69973 9764
10619 08972 6341 5 2866
10687 06444 78653 9226
10764 91297 ^/^Ç)%S 3019
i353
i35&
1367
1359
i36i
i3i29 yj^SS 97622 9726
i3i9'3 92962 10424 5343
13267 ^8'4'76 ^97'57 0691
i332i 94567 32494 3ii4
i3385 81262 03334 6909
1203
12C5
1207
1209
121 1
08026 66273 39844 7438
08098 70469 10887 1889
08170 72700 97349 2146
08242 63oo8 '60771 8862
o83i4 4'^4'^i 43062 2453
1283
1286
1287
1289
1291
10822 66663 74998 6o36
10890 31276 67^13 3420
10967 86469 o4386 6846
11026 29170 634o3 0241
11092 62422 66420 3o88
i363
i365
i367
1369
1371
13449 58658 34673 6617
i35i3 26613 yèjj/^ 8420
13576 86145 67822 27q0
i364o 34481 33989 9936
i37o3 74547 89612 6697
12l3
12l5
1217
1219
12P.1
o8386 08008 66672 9742
08467 62779 34330 991 3
08629 06782 3oo64 9888
08S00 37066 i838i 9245
08671 56639 44882 4749
1293
1296
1297
1299
i3oi
11169 86248 80394 o38i
11226 97684 17270 6323
11293 99760 84080 0814
11 360 91610 73097 8800
11427 72966 61686 2544
1373
1376
1377
1379
i38i
13767 06372 36755 1114
i383o 26981 66281 455o
13893 39402 66923 6777
13966 42661 76849 7681
14019 36786 78631 2844
1223
1225
1227
1229
123l
08743 64670 36286 4633
0881 3 60887 oo55i 2710
08884 4^'oQ.'j 27004 2409
08966 18828 86454 o856
09026 80629 3i3i6 3078
i3o3
i3o6
i3c7
.309-
i3i 1
11494 44157 12684 6916
11661 o5ii6 7/^99 7667
11627 55875 80644 2978
11693 96466 60765 8000
11760 26916 90084 2777
i383
•i386
1387
1389
1391
14082 21801 09310 6824
14144 97734 00467 3586
14207 64610 73984 8627
14270 22467 37616 6730
14332 71299 92046 4100
1233
1235
1237
1239
1241
09096 30765 96731 6432
09166 69676 96684 6355
09236 96996 29120 6636
09307 i3o63 76063 4583
09377 17814 98729 8296
i3i3
.i3i5
i3i7
i3i9
l321
11826 47260 89479 3435
11892 67528 26776 6738
11968 67749 61783 8079
12024 47955 4^-^65 2966
12090 28176 14527 2041
1393
1396
'%
1^99
1401
14396 11164 23q63 4808
14457 42076 09616 3591
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i458"i 7j\44 91827 6288
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,
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Nomb.
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Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
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Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes
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~4683
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^•^^^
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4733
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4999
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m 54
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o5i5o
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i363
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^1367
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io3i6
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"HS^o'g"
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6421
6427
6449
645 1
6469
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6883
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6911
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7333
7349
7351
7369
7393
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86634 64227 49601 7583
86740 85565 22791 2613
86882 07061 97617 3791
;»
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
Nomb.
Logarithmes.
7411
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7829
89370 62c,3o 64713 481 3
?^9l
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lA^l
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784.
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8293
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7433
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7853
89603 55974 52322 646s
8297
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745.
87221 45633 97585 538 i
7867
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83ii
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7457
7459
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7873
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83i7
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7877
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8353
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788S
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79 '9
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8587
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7607
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79^7
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83^9
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7t)i7
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844'i
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i 75.91
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858i
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«599
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8253
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8693
H^'î 9^796 26177 43b6
7767
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7769
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gi6c8 62998 4370a 7266
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7789
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8713
c)4oi6 77^4^ ^4'^74 9292
779^
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57'9
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8737
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Nonib.
Logarithmes.
Noiub.
Logarithmea.
Nomb.
Logarithmes.
874.
8747
8753
8761
8779
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9277
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■9283
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97400 47968 97414 6429
9740g 70037 941 3i i3oi ,
99135 90026 37960 2638
99171 32767 13089 4582
99197 87909 94583 6262
99260 93350 67776 4994
99268 60391 62127 9123
901 1
■9013
9029
9o4'i
9043
96477 29896 89717 1012
96486 93710 66478 2455
95563 96530 23261 9434
96621 64692 43390 o833
96631 253o8 41194 53o7
9431
9433
9437
9439
9461
97455 77448 53679 9» 80
974^4 98344 387*2. 0960
97483 39550 48640 0624
97492 69860 89762 4482
97693 70424 83iio 6222
9839
9861
9867
9859
9871
9883
"9887
99'^^
9907
9923
99296 09606 J0446 4446
99348 03.90 69996 6076
99374 47566 54462 3267
9*9383 28666 13986 i43i
99436 11619 08001 0209
9049
9039
9067
939 '
9io3
96660 06882 13176 6632
96708 02696 578q9 8612
95746 36167 29931 2890
96861 16677 64879 4120
96918 45427 31191 4869
9463
9467
9473
9479
9491
9497
9611
9621
9533
9539
97602 88400 91126 8842
97621 23771 17377 1089
97648 75373 06189 9361
97676 20232 67460 6333
97731 19733 96925 9941
99488 87953 64910 6336
99606 45341 56*1 41 5338
99667 90606 n6u2 181 5
99694 21629 92650 6282
99664 29913 55472 4740
9109
9127
9.33
9 •■''7
9i5i
96947 07020 76107 1028
96032 8o5o5 30143 1414
96061 34576 47908 8154
96080 36249 11769 745o
96146 8656^ 60786 3424
97768 64380 o386i 1387
97822 61816 74626 9001
97868 26661 56944 5443
97922 96930 221 56 3557
97960 28487 87401 2681
9929
99^'
9941
9949
9967
99690 66106 96666 l520
99699 29818 90706 7068
99743 00707 97471 2019
99777 943c8 666o3 9662
99866 44582 60941 &468
9157
9161
96176 32141 86782 6731
96194 2883i 41387 2584
9^47
9601
97986 69226 64902 8239
98004 88460 64966 7533
9973
10007
99882 68190 40286 0476
ooo3o 38997 84812 4918
FIN DES TABLES.
EXERCICES
DE CALCUL INTÉGRAL.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
SUITE DU TOME III.
J-JA détermination des fondions E et F, selon les diverses valeurs
de l'amplilude et du module, est encore Tobjet principal que nous
nous sommes proposé dans la continuation de ces recherches. On
peut y parvenir, soit par le moyen d'une table particulière dressée
pour chaque valeur donnée de l'angle du module, soit par le moyen
d'un système de tables, qui seraient construites en faisant varier par
des intervalles égaux et suffisamment petits, l'amplitude et l'angle
du module. Le dernier moyen est celui qu'on jugera le plus com-
mode dans la pratique, quoiqu'il exige dans chaque cas une double
interpolation ; mais le travail qu'il suppose est une entreprise longue
et difficile, dont l'exécution ne peut être que fort éloignée. Nous
avons tâché au moins d'en applanir les difficultés par un travail
préparatoire dont les Tables VIII et IX contiennent les résultats,
et que nous expliquerons avec tous les détails nécessaires. Ces Tables
elles-mêmes peuvent déjà suppléer en partie aux Tables plus éten-
dues qui nous restent à désirer; mais, comme elles ne procèdent
que de degré en degré, tant pour l'amplilude que pour l'angle du
module, leur interpolation sera nécessairement plus difficile ou moins
exacte que si ces intervalles étaient plus petits.
Si l'on veut éviter les doubles interpolations, il faudra revenir au
premier moyen, c'est-à-dire construire pour chaque module donné,
une Table particulière qui étant calculée pour un certain nombre
n
174 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
de valeurs de l'amplitude, puisse faire connaître, avec le moins de
travail possible, les fonctions qui re'pondent à toute autre valeur
donnée de l'amplitude. Nous avons déjà indiqué, dans les recherches
précédentes, plusieurs méthodes qui remplissent cet objet, et nous
avons fait l'application d'une de ces méthodes a la Table particu-
lière pour le module sin 45% laquelle a été calculée jusqu'à douze
décimales , afin de pouvoir être sur de l'exactitude de la onzième
ou au moins de la dixième. Mais on a pu remarquer que le calcul
d'une pareille Table, quand il ne serait fait que de degré en degré,
est très-Jongj ce n'est donc que dans le cas où l'on aurait un grand
ïiombre de fonctions à calculer sur le même module, qu'on peut
se livrer à un travail préliminaire aussi considérable. En réfléchis-
sant de nouveau sur celle matière , il nous a paru qu'on pouvait
plus facilement atteindre le même but par la méthode du § IV,
modifiée convenablement. On verra en effet qu'un tableau formé
de quelques lignes seulement , d'après un module donné , peut
servir à calculer jusqu'à dix décimales ou plus, les fonctions E et F
correspondantes à une valeur quelconque de l'amplitude <p, et qu'il
suffit pour cela d'ajouter au calcul ordinaire de l'interpolation , celui
de quelques formules trigonométriques très-simples. La formation
de la Table auxiliaire et le calcul qu'exige son application, sont
déjà peu compliqués, lorsqu'on ne veut obtenir que dix décimales;
ils se simplifieraient encore bien davantage, si l'on se bornait à
sept. Au resle, pour faciliter l'usage de cette méthode, nous avons
construit la Table VII, qui fournira immédiatement, pour chaque
angle du module moindre que ^5°, l'élément principal sur lequel
le calcul de la Table auxiliaire doit être fondé.
Persuadé, comme nous le sommes, que celle méthode est la
plus facile à employer dans la pratique , tant qu'on n'aura pas à sa
disposition un système suffisamment étendu de Tables elliptiques ,
nous l'avons exposée avec détail, et nous l'avons appliquée à divers
exemples, en développant quelquefois fort au long les calculs qu'elle
exige. Le dernier exemple relatif au module sin 8i°, a été calculé
surtout avec tous les soins nécessaires pour que l'exactitude des ré-
sultats puisse être garantie jusqu'à la quatorzième décimale. II est
à croire qu'on n'aura jamais besoin d'une si grande précision ; mais
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. lyS
nous avons donné cet exemple comme la limite du degré d'exac-
Mlude auquel on peut parvenir, par les Tables connues, dans ua
des cas les plus difficiles de la théorie des fonctions elliptiques.
Avant d'exposer ces diverses méthodes d'approximation, nous
avons traité de quelques autres objets que nous allons indiquer
sommairement.
Le § VIII donne les valeurs des fonctions E et F, telles qu'elles
résultent immédiatement de l'intégration par séries. On y trouvera
deux Tables qui donnent pour chaque degré du quadrant, la valeur
de l'intégraleyT/cpsin* (p, avec dix décimales, et celle des deux in-
tégrales fd<p s\n^ (p , fd(p sin^ 0 , avec neuf décimales.
Dans le § IX nous avons donné l'intégrale complète des équations
différentielles du second ordre auxquelles satisfont les fonctions F
et E, considérées dans toute leur généralité.
Dans le § X nous faisons voir que toute fonction rationnelle de
sin ùû et cos &>, dont le dénominateur est incomplexe, étant déve-
loppée en série, suivant les puissances de «, on peut assigner ua
terme quelconque du développement, par le moyen des coeffîciens
H„ , K„. Nous donnons en même tems l'expression générale de
chacun de ces coeffîciens , sous deux formes différentes.
Le § XI a pour objet de réduire à la forme la plus simple, la
formule générale qui sert à déterminer la fonction E^, suivant la
méthode des modules croissans.
Toutes ces recherches sont terminées par quelques considérations
générales sur les moyens qu'il faudrait employer si, dans la déter-
mination des fonctions elliptiques, on voulait obtenir plus de i4
décimales exactes; Tusage de la Table des logarithmes des sinus
cesse d'avoir lieu à ce degré ; celui de la Table des logarithmes des
nombres peut, moyennant quelques artifices de calcul, être pro-
longé jusqu'à 20 ou 22 décimales, ainsi que nous le faisons voir
dans le calcul des fonctions complètes F'<?, E'<?, pour le module
cz=z sm/^S". Mais au-delà de ce nombre de décimales, il faut revenir
aux calculs arithmétiques ordinaires , par lesquels seuls on peut .
obtenir un degré d'exactitude indéfini.
Paris, le i" Juin 1818.
Ï76 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
§ VIII. Formules pour exprimer les fonctions E et Y en
séries développées suivant les puissances de c\
1 38. Si l'on développe , suivant les puissances de c*, les valeurs
de d'E et de û?F , savoir: ^{p(i — c'sin'cp)» et d(p{i — c'sin^fp)"*, on
aura immédiatement par l'intégration ,
E=(p — -c*/^cpsin*<p — ^-^c^fd(psm^(p — ^ ' ' ' c^^^p sin^ <p — etc.,
F=9+- c'/?/(psin'(p-|-^ cyj(psin^(p+ ^ ' ' .c^y^(psin^(p-{- etc.;
a.4 -^^^ r 1 2^_g
donc si l'on fait pour abri
S
donc si l'on fait pour abréger .
'^Sû - fd(f>sm'^ = Z', fd((ism^(p=Z", /^(psin«(p = Z'', etc., — ^f
ces intégrales étant prises à compter de <p=o, on aura
£{^'.iç|f^ . .. E = ?-ic-Z'-^c4Z"_l^c'Z"'-etc.,
' ■ ^2 Q.4 2,4.6 '
F = (p + - c^Z' 4- —, c^Z" + ^4 c'Z'" + etc. ;
et comme les quantités Z', Z", Z'", etc. , forment une suite dé-
croissante, non-seulement pour toutes les valeurs de (p moindres
que j-Tt y mais encore pour la limite (p = j7r, où elles deviennent
- . -, — ^ . -, ' ,\ . -, etc. , il s'ensuit que les valeurs des fonc-
2 2' 2.4 2' 2.4.0 2' ' ^
lions E et F seront d'autant plus faciles à calculer, avec un certain ^
degré d'approximation, par les séries précédentes, que le module i
^y c sera plus petit.
iSg. Pour l'usage de ces formules, il est nécessaire d'avoir une
Table des fonctions Z', Z", Z'", etc. , calculée au moins de degré
en degré. La Table des fonctions Z' ou Z'((p) se déduit aisément , >
des Tables connues, au moyen de la formule Z'p = \{<p — ~sia2<p); ^ <-^ "^
cette Table se borne naturellement h la valeur (p=:^7r; pour la con-
tinuer indéfiniment, on a les formules
Z'(7r — (?>) = i';r — ZW,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i^;'
Quant aux fonctions TJ'^p et Z'"(p, elles se de'duisent de la fonction
Z' au moyen des formules
mais on trouvera peut-être plus simple de mettre la valeur de Z'" sous
cette forme
Z> = i [5Z"((p) — cos (p sin^ (p] ;
c'est ainsi que nous avons calcule' les deux Tables ci-jointes; l'une
donne la fonction Z' exprimée avec dix décimales et trois ordres
de différences; l'autre contient les fonctions Z" et Z"', exprimées
avec neuf décimales seulement et leurs premières différences.
On voit que les différences de la fonction Z' devraient être pro-
longées Jusqu'au cinquième ordre, pour que l'interpolation de la
Table donnât dix décimales exactes; mais alors cette opération serait
pénible , et il est plus simple de calculer directement la fonction
7J par la formule Z'((p) = ^(2(p — sin 2(p). Pareil inconvénient se
fait remarquer, à un plus haut degré encore, dans les deux autres
fonctions; et quoique dans les applications, les valeurs rapidement
décroissantes de <?*, c*, c®, permettent de réduire progressivement
le nombre des décimales dans les fonctions Z', Z", Z'", etc., ce-
pendant nous pensons qu'excepté les cas où la valeur de <p se trouve
immédiatement dans la Table, on devra préférer les formules du
§ précédent, qui sont beaucoup plus commodes et presqu'aussi
convergentes.
jjS
EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL
^
Z'= l) ^
DifF. I.
II.
III.
^
Z'
Diff. I.
IL
III.
o°
1
a
3
4
5
0.00000 ooooo
0.00000 17721
0.00001 4^74^
0.C0004 78230
0.00011 33098
0.00022 11869
17721
1 04^9.0
3 36489
6 54868
10 78771
16 07680
i 06299
2 12469
3 18379
4 2390*3
5 28909
6 33270
1 06170
1 05910
1 o5524
1 o5oo6
1 04361
1 03592
45°
46
47
48
49
5o
0.14269 90817
0. i5i57 80212
0. 16076 i36i7
0. 17024 85466
0. i8oo3 86496
0. 19013 o'5j47
887 89396
918 33406
948 71849
979 oio3o
1009 17261
1069 16S44
3o 44'^'^'^
3o 38444
3o 29181
3o 16221
29 99593
29 79306
5566
9263
12960
16628
20288
269 1 6
6
7
8
9
lO
11
12
i3
i4
i5
o.ooo38 19549
0.00060 60499
0.00090 383 1 I
0. 00 128 55677
0.00176 14268
22 40950
29 77812
38 17366
47 58591
58 00337
7 36862
8 39554
9 41220
10 4^746
Il 4^000.
1 02692
i 01671
1 oo52i
99256
97862
5i
52
53
54
55
56
57
58
lî
61
62
63
64
65
o.2oo52 20591
0.21121 1 6740
0.22219 68278
0.23347 4769°
0.94504 23891
1068 96149
1098 5i538
1 127 794i2
1166 76201
Il 85 38378
29 55389
29 27874
28 96789
28 62177
28 24077
27616
3ic85
34612
38ico
4154.
0.00234 14S05
o.oo3o3 55944
o,oo385 06147
0.00480 5 1569
0.00589 9^9^9
69 4 1339
81 802 o3
95 15422
109 ^bi'jo
124 683o2
12 38864
i3 35219
14 29948
i5 22932
16 i4o63
96355
94729
92984
9 1 1 3 1
89162
0.25689 62269
0.26903 24724
0.28144 6971 5
0.29413 523 11
0.30709 24247
i2i3 69455
124» 4499'
1268 82696
1296 71966
l322 09731
27 82536
27 37606
26 89340
26 37796
26 83o4i
44931
48265
61645
54754
67905
i6
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
lî
3i
32
33
34
33
0.00714 6524i
0.00855 4760S
o.oioi3 3319S
0 . 0 1 1 89 09 1 0 1
o.oi383 60228
140 82365
157 85590
170 75905
194 51127
214 08971
17 o3225
17 9o3i5
18 75229
19 57844
20 08081
87090
84907
82622
80237
77755
o.32o3i 33978
0.33379 26760
0.34752 44658
o.36i5o 26722
0.37672 08961
1347 92772
1373 17908
i397 89064
1421 82239
1445 i55o7
96 261 36
24 64166
24 00176
23 33268
22 635 18
60980
66981
66907
69760
72606
0.01597 69199
0.01832 16251
0.02087 791^9
0.0 2365 33o39
0.02665 50457
234 4'7o59
255 62888
277 53900
3oo 174 18
323 50687
91 i583G
21 91012
92 635 18
23 33269
24 00173
75176
79506
6975 1
66904
63984
66
6j
68
69
70
0.39017 24468
0.40485 03493
0,41974 73531
0.43485 59403
0.45016 83358
1467 79025
1489 7oo38
i5io 86872
i53i 23966
i56o 81798
21 91013
21 i5834
20 38o83
19 57843
18 76222
75179
77761
80240
82621
84907
0.02989 Cl 144
o.o3336 59004
0.03708 67021
0.04106 07175
0.04529 3o369
347 5o86o
372 i5oi7
397 40154
423 23194
44^ 60989
24 64157
95 25 137
25 83o4o
26 37795
26 8934c
60980
57903
54755
5 1545
48266
71
72
73
75
76
77
78
79
80
0.46667 65i56
0.48137 22176
0.49724 69611
0.5 1329 20072
3.62949 84696
1669 67020
1687 47336
1604 5o56i
1620 64623
i636 87666
17 9o3i5
17 03226
16 14062
16 22933
14 29946
87089
89164
91129
92987
94726
0.04978 91 358
0.05455 41687
0.05959 29622
0.06491 00092
0.07050 94539
476 5o329
5o3 87935
53 i 70470
55q 94547
588 56724
27 37606
27 82535
28 24077
98 69177
98 96789
44929
4î542
38 100
34619
3io85
0.54585 72261
0.56235 89753
0.67899 42476
0.69675 34062
0.61262 66660
î66o 17602
i663 62722
1676 91687
1687 32588
1697 74335
i3 35220
12 38865
] 1 41C01
10 41747
9 41224
96355
97864
99264
1 00623
1 01670
36
37
38
39
40
0.07639 5i363
0.08957 04876
0.08903 86263
0.09580 23o4o
0. 10286 39121
617 535i3
546 81387
076 36777
706 16081
736 15674
99 27874
29 553go
99 79304
29 99593
30 16222
27516
23914
20289
16629
1 2957
81
82
83
84
85
0.62960 AoqSb
0.64667 56544
0. 66383 11667
0.68106 o363i
0.69835 28877
1707 15569
1716 661 i3
1722 91974
1729 26946
1734 54154
8 39664
7 3686i
6 33272
5 28908
4 23903
1 09693
1 o558q
1 04364
1 o5oo5
1 06624
4'
43
44
45
0.V1022 54795
0.11788 86691
0. 12585 477^6
0. 13412 47287
0. 14269 90817
768 31896
796 61075
826 99521
857 4353o
887 89395
3o 29179
5o 3'844S
3o 44'^'^')
3o 45865
3o 44'^^^
9267
5563
i856
— i855
5566
86
87
88
89
90
0.71669 83o3i
0.73308 61088
0.76060 67624
0.76794 6543c
0.78639 81634
1738 78067
1741 g64^6
1744 08906
1745 16204
1745 16204
3 18079
2 1247c
1 06298
c
— 1 0629 P
i 06909
i 06172
i 06998
1 06298
j
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
179
o°
Z",
DifF. I.
Z"
DifF. I.
'P
Z"
DifF. I.
Z"
DifF. I.
0.00000
0000
0
o.oooco 0000
0
45-
0.04452 43 11
45 1 7388
0.01627 0269
229 8662
1 ^
1
0.00000
0000
10
0.00000 0000
0
46
o.o4^c4 1699
483 2410
0.01856 8821
254 3119
2
0.00000
0010
0.00000 0000
0
47
0.06087 4' 09
5i5 7442
0.021 n 1940
280 3937
^
0.00000
0079
o33i
0.00000 0000
1
48
0.06903 i55i
549 2016
0.02391 5877
3o8 ii55
4
5
0.00000
678
0.00000 0001
5
49
0.06462 3566
58'3 56oi
0.02699 7012
337 4721
0.00000
1009
^497
o.coooo 0006
14
bo
0.07005 9167
6i8 7632
6.o3o37 1733
368 4623
S
0.00000
2606
2899
5i 1 1
0.00000 0020
37
5i
0.07654 6799
654 7487
o.o34o5 6356
401 o653
l
0.00000
54n5
0.00000 oo57
89
b2
0.08309 4286
691 4602
o.o38o6 7009
435 2628
0.00001
o5i6
8387
0.00000 0146
i85
bo
0.09000 8788
728 7967
0.04241 9637
470 9861
9
lO
1 1
O.OOOOl
8903
1 302I
0.00000 o33i
357
04
0.09729 6755
766 7135
0.04712 9388
5o8 2116
o.ooooS
1924
1 9333
0.00000 0688
64{i
bb
0.10496 389c
806 121 5
0.06231 1604
546 8708
0 . oooo5
1257
2 7674
0.00000 1334
1106
56
o.ii3oi 5io5
843 9382
0.06768 0212
586 8894
J2
0.00007
8931
3 8419
o.oocoo 244c
i8o8
^7
0. 12145 4487
883 0778
0.06354 9 'Ob'
628 i836
1,^
O.OOOII
7050
5 1969
o.coooo 4^48
2844
b8
0, i3o28 5965
922 45 ic
0.06983 0942
670 658o
'4
0.00016
q3iq
6 8"745
0.00000 7092
4324
^9
0.13960 9776
961 9662
0.07663 7622
714 2068
10
0.00023 8064
89189
0.00001 1416
6388
bo
0.14912 9437
1001 6291
0.08367 9^9^
768 7i36
i6
o.ooo32
7253
1 1 3766
0.00001 7804
9200
61
0.16914 4728
1041 0435
0.09126 6726
804 0619
17
0 . 00044
1009
14 2919
0.00002 7004
1
2953
b2
0. 16965 5i63
1080 4108
0.09930 7245
85o 0866
18
o.ooo58
3928
17 7154
0.00000 9957
1
7872
bô
0. i8o35 9271
1119 6320
0. 1C780 8101
896 65gg
19
0 . 0007b"
1082
21 6952
o.oooo5 7829
2
4218
b4
0 . 1 9 1 65 459 1
11 58 3o6i
0 . 1 I 677 470c
943 66c8
20
21
0 . 00097
8034
26 2802
0.00008 2047
3
2283
6b
o.2o3i3 7652
1196 6322
0.12621 i3o8
990 8686
0.00124
o83b
3i 5198
0.00011 4330
4
2400
66
o.2i5io 3974
1234 4^87
0. i36i I 9994
io38 1662
22
0.001 55
6034
37 4627
0.0001 5 6730
5
4934
6j
0.22744 806 1
1271 5342
0.14660 i'546
ic85 3373
23
0.00193
0661
44 1575
0.00021 1664
7
0294
68
0.24016 34o3
i3o7 908c
0. 16735 49 '.9
1 1 32 237 1
24
0 . 00237
2236
5i 65i3
0.00028 1958
8
8920
^9
0.25324 2483
1343 43oi
0. 16867 7290
1 178 6726
25
0.00288
874.9
59 9906
0.00037 0878
11
1290
70
0.26667 6784
1378 0019
0. 18046 4016
1224 4392
26
0 . 00348
8655
% 2199
0.00048 2173
i3
7935
71
0.28045 68o3
1411 6266
0. 19270 8608
1269 41 12
27
0 . oo4 1 8
o854
79 3820
0.00062 0108
16
0090
72
0.29457 2069
1440 9092
0. 20640 2720
i3i3 3417
.8
0.00497 4^74
go 5172
0.00078 9498
20
6245
73
0.30901 1161
1475 0676
o,2i853 6137
i356 o652
2.9
0.00687 984b
10 266380.00099 5743
24
911]
74
0.32376 1737
i5c4 8821
0.23209 6789
1397 3980
3o
01
0.00690
6484
11 58567
G. 001 24 4854
29
863o
7^
0. 33881 o558
i533 2964
0.24607 0769
1437 1693
0.00806
5o5i
i3o 1284
0.00154 3484
35
5464
76
0.35414 3522
i56o 2177
0.26044 2362
1475 1729
32
0.00936
6335
145 5071
0. COI 89 8948
42
0291
77
0.36974 5699
i585 5671
0.27619 4^9^
i5ii 2681
33
0.01082
i4g6
162 0184
o.oo23i 9239
49 3809
78
o.3856o 1370
1609 2699
0.29030 6772
1645 2807
34
0.01 244
1590
179 6832
0.C0281 3o4'8
57 6717
73
0.40169 4069
i63i 2558
0.30676 9679
1677 c545
00
0,01423
8422
188 5187
o.oo338 9765
66
9720
80
0.41800 6627
i65i 4^9^
0. 321 53 0124
1606 4421
3G
0.01622
3609
218 5378
0.00405 9485
77
5521
81
0.43452 1223
1669 8206
0.33769 4545
i633 3o59
37
0 . 0 I 840
8987
239 7486
0.00483 3oo6
88
8807
82
0.46121 9429
1686 2840
0.35392 7604
1667 6191
38
0.02080
6470
262 i55o
0.00672 i8i3
loi
6266
83
0.46808 2269
1700 8oo3
0 37060 2796
1678 9670
59
0.02343
8023
285 7556
0.00673 8069
ii5
65i4
84
0.48609 0272
1713 3253
0.58729 2466
1697 5466
40
4'
0.02628
5579
3io 5444
0.00789 4583
i3i
o»99
8b
0.50222 3526
1723 8216
0.40426 793c
1713 1690
0.02939
1023
336 5io)
0.00920 4782
147 7893
S6
0.61946 1741
1702 2671
0.42139 9620
1725 7588
4"^
0.03275
6124
363 6365
0.01068 2675
166
0127
87
0.53678 43l2
1738 6o63
0.43860 7208
1735 2660
43
0 .o363q
2489
391 9021
0.01234 2802
i85
7382
88
0.55417 0375
1742 8499
0.46600 9768
1741 6117
44
o.c4o3i
i5io
421 2801
0.01420 0184
207
0075
89
0.57169 8874
'744 9749
0.47342 6876
^744 7977
40
0.04452
4311
45 1 7388
0.01627 0269
229
8562
90
0.58904 8623
0.49087 3802
.\,
a8o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
§ IX. Intégrale complète des équations différentielles du
second ojxlre y auxquelles satisfont les fonctions Y et^ ,
( art. 45^ i . p. ) i ^ ^ -
i4o. Il s'agit d'intégrer complètement les deux e'quations diffé-
s^ rentielles du second ordre
*" XJ^V^^'^^X. (l-0^ + -— .^-Z+— ^ = 0 (2),
dans lesquelles A = \/{\ — c* sin* (p) ; cp étant constant, et c étant la
variable par laquelle il faut exprimer les fonctions y et z.
Puisque nous savons d'avance qu'on satisfait à ces équations, en.
faisant j' = E(c, (p) , 2 = F(c,(p), ou simplement j^ = E, z = F,
nous pourrons faire disparaître le dernier terme de chaque équation,
en faisant j- = E + Y, z = F-f-Z,et nous aurons, pour déterminer
Y et Z, les deux équations
(— )7^ + ^-'-J-^-^Y = '' (^).
(— ■)f- + i^^^.f-z = o....(4),
équations entièrement semblables à celles qui déterminent les fonc-
tions complètes E'c, F'c. \
i \^ c- f , , du g* du ddu c" ddu i du
-<; o V.V Comme on a en cjeneral y = — 1 . -^, -j- =— . -^, — . -j-,
^•i t ^ de 1} db * de"- 6'" db^ b^ d^,
f ces équations dififérenlielles, rapportées immédiatement à la variable
b, prendront la forme suivante.
Les fonctions EV, F'c, ne sont que des valeurs particulières de Y
et Z ; mais nous allons faire voir qu'au moyen de ces valeurs par-
ticulières, on peut trouver les intégrales complètes des équations
(3) et (4} , contenant chacune deux constantes arbitraires.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. iSi
i4i. Puisque réquallon (6) est absolument de même forme que
re'qualion (4), il s'ensuit que si la fonction -^(c) est une valeur par-
ticulière de Z dans l'équation (4) , la fonction -^(ù) sera pareillement
une valeur particulière de Z, dans 1 équation (b); et comme ces deux ( ^ - -
e'quations se réduisent à une seule, il s'ensuit que de la valeur par- "r V
ticulière Z = -sj/W ? ^^ déduira l'intégrale complète de l'équation (4),
savoir: 1 C 5 «^ ^^ i> ip ^ " <r -^ J
^=''4W+'^4W (7), \ .,, ^> ,/ „ <v^. --'-'
»2 et « étant les deux constantes arbitraires. \ ' -* ^ '"^-4*7^'
La valeur Z = 4 W ^^V''^ s^'''^^^"'® ^ ^'^^"^^^^" l "* j '^ "^^^^ ¥ '^\^ '^ 3j Tf^"»^ .
dans laquelle on suppose 4'= x"> "^'^^T' soit donc
4 = A + A'c» + AV + A'"6-« + etc. ,
et en faisant la substitution, on trouvera
A' = (i)»A, A" = (J)"A', A^ = (f)'A", etc.,
par conséquent
4(.) = A (i + - c« 4- ,-77^. ^* + -ly^rê". ^' 4- etc.).
Celte valeur, en faisant A={'^, est en effet celle de la fonclion
complète F'cj ainsi de cette fonction complète supposée connue,
on déduit très simplement l'intégrale complète de l'équation (4) ou ^
celle de l'équation (6) qui lui est équivalente. :'^f •?■::: ^f^ V-^ /S '^ ^ \ ^-^ "^ ^
142. Il ne parait pas aussi facile de trouver l'intégrale complète
de l'équation (5) qui n'est pas semblable à sa transformée (5) j ce-
pendant on y parvient par les considérations suivantes.
Puisque dans le cas particulier où l'on a à la fois Y:=:E'6', Z=F'<?,
ces deux quantités sont liées entr'clles par l'équation /' ^w £ ;: t>^^ f^^ ' ^ ^) ^^ cis: ^
il est évident d'abord que 4(<^) étant la même fonction qui a été dé-
veloppée dans l'article précédent, la supposition de Z = 4W^ ^^
o
i82 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
ou simplement Z =4 j donnera exactement
valeur qui devra satisfaire à l'équation (3).
Essayons maintenant si en faisant Z = 4(^)> la valeur qui en ré-
sulte pour Y, savoir:
satisfera également à l'équation (5). Si cela est , nous connaîtrons
deux valeurs particulières de Y, et de là l'intégrale complète de
l'équation différentielle (3).
Or en regardant 4 comme fonction de Z>, et faisant à l'ordinaire
# = 4^ ^^ = 4", la valeur Y = ^"4 — ^c''4', donnera d'abord
mais si l'on change c en Z» dans l'équation (8) , on aura
.■4"= -(1^)4' + 4;
^ = i-4' + H;
différenciant de nouveau , on a
^X = è»4"+3Z.4' + 4;
et substituant ces valeurs dans l'équation (5) , on trouve
c«Z;'4" + Â( I — 3^*04' — ^'4 = o »
équation qui s'accorde avec les précédentes. Donc en effet l'équa-
tion (5) est satisfaite par la valeur Y = ^*4 — ^<?*4''
145. Connaissant ainsi deux valeurs particulières qui satisfont à
l'équation (3) et à l'équation (5) qui lui est équivalente, on aura
l'intégrale complète de l'une et l'autre équation, savoir;
Y = »,'[HW+*v.!^^] + «'[*-4W-ic-.^i^] (9),
w' et n' étant deux constantes arbitraires.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i85
Si l'on substitue à 4W> ^^ fonction F'c qui lui est proportion-
nelle , l'intégrale (7) pourra s'exprimer ainsi
de même l'intégrale (9) deviendra
mais on a ^^ = i; (E^c - b'V'o) , ^-^'^ = ^, (E'è - c'F'i) ; doue
l'intégrale complète de l'équation (5) sera
Y = m'E'c 4- nXF'b — E'b) - ^ L -, û^X -^ f ^
de là on déduit les intégrales complètes des équations proposées
(r) et (2), savoir: ^ f ^ \
jr = E(^, (p) + m'E'c + ;2'(F'^ — E'Z»), . r. G^ | -^Vcr;:-
- ^c - Ct
i
j X. Développement des quantités ^„-^> ^S*^-» ^^^^^^^^ ^^^
puissances de Varc œ , les nombres m et n étant entiers.
144. Dans l'article 160 de la quatrième partie, nous avons donné
quatre formules très -remarquables pour développer, suivant les
puissances de l'arc «, les quantités tang«, cot<3e>, ^7^, log sin ce.
Ces séries sont formées suivant une loi très-simple , au moyen des
coefliciens H,, H,, H3, etc., qui remplacent avec avantage les
nombres Bernoulliens, et qui se calculent aisément, soit par la loi
des suites récurrentes, soit par l'équation S»„=H„7r*".
On a vu ensuite dans l'article 162, que le développement de —^
dépend d'une autre suite de coefficiens K,, R», K3, etc., qui se
forment par la loi des suites récurrentes. ■
Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'avec ces deux
suites de coefficiens, on peut dévelop^r très-simplement toutes les
quantités comprises dans l'une des formes—-, ^— , m et /z étant
i84 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
des nombres entiers positifs. La quantité -^-^ ^^— se de'compose
toujours en plusieurs termes de cette forme, par l'application réité-
rée de la formule t— -— = -7-^ ! — : elle est donc suscep-
sin ^y cos » sin^o» cos"» '■
tible d'un semblable développement. A l'égard du simple produit
sin"* &) cos" û) , il peut se transformer en un nombre fini de termes
de la forme AsinAo) ou AcosAi», dont le développement est
connu et ne dépend point des coefficiens H et K.
145. On connaît les premières valeurs H,, H^, H^, etc., par la
formule H„ = Sa, f-J , et par la Table de l'art. 75, IV. P.; lorsque
n surpassera i5, on pourra négliger les termes de l'ordre 5^ , et on
aura plus simplement H„= —^ fi +— \etlogH„= — 2n\og7r-\-^,
m étant le nombre 0,4542944^ , etc.
A l'égard des coefficiens K„, leurs premières valeurs sont
TT l TT- 5 ^ _6j_ y. 277_ ^ 5o52r
^»— 2' ^•—24' ^2~~72o' ■^'^""8064' ^^"^3628800*
K ___54£553^ g.^
gbooooao '
On peut continuer de former ces coefficiens par la loi des suites
récurrentes, jusqu'à Kg inclusivement j les suivans, jusqu'à K.^, se
formeront plus aisément par la formule
AY"-^'k _, i-4--^ ?--4-etc
dont quatre termes, ensuite trois, et deux seulement, donneront
log K, exact , jusqu'à la quatorzième décimale. Passé K,^, il suffira
de faire K„=2f-j . C est amsi que nous avons construit la
Table suivante pour trouver, aussi loin qu'on voudra et avec Pexac-
litude de 14 décimales au moins, les logarithmes des coefficiens K„;
nous y joignons en même lejns ceux des coefficiens H., calculé»
avec i5 décimales.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i85
n
log H„.
log K„.
1
9,22184 87496 i6556
9,69897 00043 56o2
2
8,04575 74905 60675
9,31875 87626 2441
3
7,02456 81914 90757
8,92799 75^85 7950
4
6,02456 81914 90737
8,53592 92499 63oo
5
5,02893 :?9968 93187
8,14370 89054 0759
6
4,o343o 83885 54592
7,75i47 i3222 2278
7
3,03992 83811 9465o
7,35923 18099 5914
8
2,04560 86738 44077
6,96699 20827 8903
9
i,o5i3o 39493 31827
6,57475 233 17 1744
10
0,05700 29604 17575
6,i825i 25779 8926
1 1
9,06270 29042 86780
5,79027 28239 2453
12
8,06840 3o8i2 28294
5,39803 30698 635 I
i3
7,07410 53164 24183
5,00579 33i58 o3i5
i4
6,07980 3566i 82144
4,61 355 55617 4284
i5
5,o855o 38195 80455
4,22l3l 58076 8254
•
72
Tn 1
— — 2/ll0g7r
l0g2— (2/Z+l)l0g^
V\ ' i ^ tj
•i't^î -T^
146. La quatrième des e'quations {d) (n° 160, quatrième Partie),
donne le développement de Iogsin<w, comme il suit
log sin ût) = log ^y — H.o)* — \ H^ce)* — f HgO)^ — etc. ;
pour avoir un développement semblable de logcos^, je fais
Zcosw = — N,&)» — N.fri'^ — Nao;^ — eic.j
j'en lire par la différenciation
tang ca = 2N,û) + 4N.«3 _|_ gNaO)^ + etc.
Mais par la seconde des équations (J), on a
itanga=(2*— i)H.û;-f-(2^— i)H,a>3+(2«-^i)H3a>5+ etc.;
i86 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
donc la série des coefficlens N, , N», N3, etc., se déduit de la série
connue Hi , Hj, H3, etc., suivant cette loi
N' = (2"-i)H., N, = (2^-i)îi% N3=(2^-0^% etc.,
de sorte qu'on a
logcosa)=:— (2^— i)H./y*— (2^— i)?-^^^— (2« — i)ïï^a;^— etc.;
c'est une cinquième formule à ajouter aux formules (d) ; elle se
déduirait également de Téquation sin 2cù ■==. 2s\n. cû coscù.
147. Réciproquement si Icosa est donné par la formule
l cos û) = — N,&)* — L^^ee^ — NsO)^ — etc. ,
on en déduira immédiatement
/sia« = log«-|«--^'«t-|a.«-||«'-ele.,
l'expression générale des diviseurs 5, i5, 65, 255, etc., étant 2"" — i.
Ces formules sont utiles pour calculer avec un degré d'approxi-
mation déterminé, les logarithmes des sinus et cosinus d'un petit
arc û). Ainsi en supposant que l'arc co ne surpasse pas 5°, et qu'on
n'ait pas besoin de plus de 14 décimales, on aura en logarithmes
vulgaires
log N, = 9,35675 43i56 37
log N, = 8,5586o 3o653
log N3 = 7.98457 180
log N^ = 7,46683 3,
et par ces coefTiciens, on connaîtra à la fois Is'inco et l coscù, d'où
l'on déduira logtangcij. On a aussi directement
H TT
Ztangû)=log^+(2* — 2)H,a*+(2^ — 2) — &)^-|-(2* — 2)~û)^-\~e{c.
148. La première des équations (d) donnera par des différencia-
tions successives
s in
J^ = ^ — 2H, — 6H/^»-- loHsO)^— 14HX— etc.,
T^ = ^ + 2.3 H.« + 4.5H3^^ + 6.7 H,a,^+ etc..
sin"*
cos
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 187
-A.:==^4-f. + i.2.5H. + 5.4.5H3a)» + 5.6.7H4«'^+ elc.
4H, — i2H.a)" — 20 Hs»^-— elc;
conlinuant ainsi, on aura en géne'ral le développement des quan-
lilés de la forme ;^k-y£^Ê^> ^^ manière qu'on pourra assigner
un terme quelconque du développement en fonction des coefficiens
H„. C'est ainsi que dans le développement de -:-7-, un terme quel-
conque Pdt)''", aura pour coefficient
De même par les différences successives de la seconde des équa-
tions (d)j on aura le développement des quantités — ^^, — jki^'.
Et par les différences successives de la troisième des équations (<:/),
on aura le développement des quantités . .... , -^-7,— .
rr T sin ^ ta sin a
Tous ces développemens se font par les seuls coefficiens Hj, H^,
H3, etc., et un terme quelconque de la série peut s'exprimer géné-
ralement par un nombre déterminé de coefficiens H,.
149. Si à ces diverses formules on joint celles qui résultent des
différences successives de la formule
= I + R,^'' + K.o)^ 4- Kg»' + etc. ,
COS 4)
et qui en général feront connaître le développement des quantités
; tous les cas que peuvent présenter les quatre fonc-
1
COS "^ « C03
1 I COS a sin • /. . 1, »• 1
lions T-— y , -. — , , n étant un nombre entier quelconque,
sin" « COS" « sin" « cos" « * ^7
seront compris dans ces formules ; et comme îés deux fonctions
, sin'"» ces"* 4> 11 l♦•Jli••^
proposées — ,^-. -^^r—» auxquelles on peut joindre ia troisième
— ^^^p- j peuvent toujours se décomposer en un certain nombre
sin"' a ces" a
de termes compris dans les quatre fonctions précédentes, il s'en-
suit que le développement de ces quantités sera toujours tel , qu'on
i88 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
peut assigner un terme quelconque de ce développement par les
coefficiens H„ et R„.
i5o. Soit par exemple la quantité proposée -r-^ j-j il faut lui
donner d'abord la forme — -, — 1- -:— , ensuite — j
cos" a sin a cos a ' cos' * cos a
-f- . — - , et on appliquera les formules
——= I +K,a»" + K^a.'^ + R3û)^+elc.,
cos «
= (2K. H-5.4K,a» + 5.6K3«^ + 7.8KX+etc.,
(+14- K,to'-f- R.^'f-I- Ra'^^+elc,
cos '• ' -^"^ — '"^ ^"^
-. = ;--(^-OH,-(°-^)3H.«--(i^)5H3«<- etc.,
d'où il suit qu'en représentant par P„fi!J°", le terme général du déve-
loppement de -:-t T-, on aura
' *• sin u COS'' a '
Lorsque wsera devenu assez grand pour qu'on puisse négliger -^, re-
lalivement à l'unité, on aura simplement H„ = -— , K„= -VaT: } ^^
qui donne
/o\2n-l-i , ^ , ^ /o\2n-H3 .2
formule qui pourra même se réduire aux deux premiers termes.
i5i. Connaissant ainsi le terme général du développement d'un
grand nonbre de fonctions, lequel, dans son expression, ne con-
tiendra jamais qu'un certain nombre de termes affectes des coeffi-
ciens K„, H„, il ne sera pas inutile, pour compléter ce point
d'analyse , de donner ici l'expression générale de ces deux coefficiens.
Pour avoir d'abord l'expression générale du coefficient R„, soit
r=i— cosû) = -a)' ~.cà^-{ j-^-y-r^ùù^ — etc.; on aura
2 2.3.4 a. 0.4-0.0
-^ = — ^ zz:: I -f-r + /» + r -{-etc.
cos u 1 — r •
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 189
Or, 1°. dans le développement de r, le coefficient de &»*" est
(— 0"^' _ (-0
ou
1.2.3. ..2n' "''* r(2«+j)'
2°. Puisqu'on a r*=j(3 — 4^080) +cos2û)), le coefficient de <»"
dans r* est
2r(2/i + i) ^"^ ^>''
3°. Puisqu'on a/-^=:5:(io — i5cosct)-i~6cos2co — cos3û>), le coef-
ficient de û)*" dans r' est
conlinuant ainsi et rassemblant tous les résultats dont la loi est
manifeste, on aura le terme général cherché, savoir ;
i52. Pour avoir semblablement l'expression générale de H„, nous
la déduirons du développement de — — , dont un terme quelconque,
suivant la seconde des équations (d), est (2" — i) 2H„«y*"~"'.
Et puisqu'on a = i +r+/'+elc. , le développement de ^^^
sera donné par celui des différens termes de la série
sin û) + /■ sin « + r* sin co -{- r' sin co + etc.
Or 1°. dans le développement de sina>, le coefficient de &>•""*
r(2n)
2°. Puisqu'on a rsina) = ^(2sinûi) — sin 20)), le coefficient de &)""'
dans rsin&), sera
2r(2n) K^ ^ J>
3*. Puisquoaa/-*sinû> = ^r^siaû) — 4sin2a>-J-(sin3(i) — sino))"],
P
^
190 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
le coefficient de ^'"'~' dans r'sino), sera
4*.Deceque/-^sin&)=^|-^-^sinû) ^sin2û)+6(sia5«— sin^y)!
[ — (sm/^ct) — sin2û)))
il s'ensuit que le coefficient de a*""*' dans cette quantité sera
8r(2«) L 2.3 2 ' ^ ^ \-^ ^J
La loi de toutes ces quantités est facile à saisir, elle dépend de Tex-
pression générale de T'usina), ou (i — cos &))* sin « , en sinus des
multiples de l'arc &>; et la somme de tous les coefficiens étant éga-
lée à (2"" — i)2H., on en tire
4.1(3— -1-4.2*"-'+^)
- i[4»n-.-2"-'-6(5 — -0+^^2— -5^-^]
+ -L^ r5=>n-._5«-._8(4'"— -2»"— )+^ (3»"—- 1 )
a. 3 -^ ^ 2.3.4 J — «^<^-/-
Dans les applications, on devra calculer autant de lignes horizon-
tales de la formule, qu'il y a d'unités dans «3 toutes les autres seront
nulles.
i53. D'autres manières de développer les mêmes fonctions pro-
duiraient des résultats d'une autre forme pour l'expression générale
des coefficiens K„, H„. Nous avons trouvé, par exemple,
Zcosû)=— (2»— i)H,a)*— (24--i)îiî,û)4— (2«— i)2^û)«— etc.;
d'un autre côlé,
/cosû) = ^/(i — sin*û»)= — isîn*a) — ■Jsin'*<&; — |sin^û> — etc.,
l'expression générale du coefficient H„, se trouvera donc par celle
du coefficient de w^"" dans la suite Ysin*a)4-:^sin^a+^sin^a>-l- etc.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 191
Or, 1°. puisque
isin»« = ^(i — cos2a)) = i(i. 2*0)»-- ^-^2*^^-1- etc.),
le coefficient de o)*" dans le développement de ^sin^o», sera
1 (-iK-^^^an.
2'. Puisque ^sm^cû-= — -^ (3 — 4^08 2a> + cos /^a>), le coefficient
de û)'"' dans le développement de cette quantité, sera
S+.2 * r(_27i+0^ ^^
5". Puisque ^sin^&)=;5^ — g(io — i5cos 2&)4-6cos4û!) — cos6ù>), le
coefficient de &>"" dans le développement de cette quantité, sera
26.3- r(2/i+iA ^.4 -i- ^ .2 ^.
Ces expressions suivent une loi très-simple, et il en résulte immé-
diatement la valeur du coefficient H„, savoir ;
■"« — (2— -i).4rCa/i4-oL ^*2^^^ ^'^ >
-i.l(8--8.6^-+^^.4-+^#..--)
+etc.^,
et parce que X{7.n-\-\)-=.:inY{^n) y cette formule peut être réduite
comme il suit ;
-i.I(4"- 8.3-4- ?^..--^')
nouvelle forme à-peu-près aussi simple que celle du coefficient K,
192 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
154. Considérons encore la formule
dont le second membre peut être aussi représenté par sina+^^sin'a
+^sin^a)+etc.; pour avoir le terme général de son développement
■1/ „
— ; — a'""*"*, tout se réduit à chercher le coefficient de a*""^' dans
271+1 '
chaque terme de la suite sin&)4-îsin^<îe5 + |sin^&)+€lc.
Or. 1°. danssmojjCe coefficient est -7 — r-x\
' ' r(97i -f- 2) '
2°. Puisque |sin^û) = g-— (Ssina — sin5û)),le coefficient de a>*"**"*
dans le développement de cette quantité, est
__>__- J fZin-hl KN .
3.2^^(27l + 2) ^^ >*'
Z". Puisque |sin^a)= p-—(iosinû) — 5sin5a)+sin5û)), le coef- '
fîcient de ûj'""^' dans ce terme développé, sera
( A"
La loi de ces expressions étant manifeste, on en déduit celte nou-
velle valeur du coefficient K„,
+ etc.]|,
laquelle comparée à celle de l'art. i5i, fournit des identités assez
remarquables.
i55. La conclusion générale que nous tirerons des formules dé-
montrées dans ce chapitre , est que lente quanllté de ia forme
P
~, dans laquelle P est une fonction rationnelle et entière
6in « cos «
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. iqS
de s'inca et cos», étant développée suivant les puissances de a> ,
on peut toujours assigner un terme quelconque du développement
par le moyen des coefficiens K„, H., dont la loi est connue. La
sin'"a,co6^ > prise
depuis û) = o, laquelle comprend une infinité de transcendantes;
on suppose les nombres //^ et n entiers et i positif.
Parmi les plus simples des transcendantes comprises dans cette
intégrale générale, se trouvent /sino», Icosa, /tangco, /(i-f-cos&^)
c=2/cos7û), /(i — cosû))=2/sin-iâ!) , /(i-|-sin&))=Zcosaj-|-/r-^— .— j,
l(i — s\nct>)=lcosa> — 4 l(- — ^— j , etc.
^ '' \i — sin a/ '
On pourrait , par de semblables procédés , trouver la loi générale
du développement des quantités de la forme — -■ , — ; , ce
qui conduirait à des résultats plus généraux sur le développement
d'une fonction rationnelle quelconque de sinco et cosco; mais les
coefficiens par lesquels on pourrait représenter les termes généraux
de ces développemens, n'auraient plus rien de commun avec H» et
K„, si ce n'est la forme de leur expression générale.
§ XI. Réduction de la formule qui exprime la fonction Yjp ,
dans la méthode des modules croissans.
i56. La formule dont il s'agit est celle de l'art. i25 ci-dessus;
nous l'avons déjà simplifiée fart. 124), dans la supposition que b'^
et è'^tang^tp' soient négligeables; mais quand on la laisse dans son
état de généralité, pour obtenir tel degré d'exactitude qu'on vou-
dra, le calcul en est long et difficile. Nous avons donc recherché
les moyens d'amener celte formule au dernier degré de réduction
dont elle est susceptible, et nous y sommes parvenus de la manière
suivante.
Après avoir formé la série des modules croissans ^, <?', c", et
celle de leurs complémens A, b' , V\ il faut calculer la suite des
amplitudes décroissantes (p, 9', <p", jusqu'à une limite qui est dé-
Ï94 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
terminée, ainsi que celle des modules, par le degré d'exactitude
qu'on peut obtenir. Ces amplitudes se calculent directement par les
, ç^ équations sin(2(p'' — (p) = cs\n^ , sia(2(p" — (p')=c' sm(p', etc.; mais,
^1 - 1*^ quand on est parvenu à celle de ces équations où le c correspon-
dant est trop peu différent de l'unité, il convient de la remplacer
par l'équation correspondante de la suite tang((p — <^') = ^' tang. (p',
tang((p' — (p") = b"tang<p", etc., d'où Ton peut tirer facilement plus
d'exactitude.
Connaissant ainsi la limite O de la suite (p , (p\ (p", que nous sup-
poserons, par exemple, se confondre sensiblement avec le qua-
trième terme <p"\ on aura la valeur de Y(p par l'équation
F(p = Rlog tang (45°-f-^0) , dans laquelle le logarithme est hyper-
bolique ; prenant donc dans les Tables le logarithme vulgaire
/lang(45°+:iO)=H, on aura F(p = K.MH; quant à la valeur de
K, elle est, comme on sait, K= \/\^c d'c'^\
iSj. Venant ensuite au calcul de E(p, la formule générale de
l'art. 123 pourra être représentée ainsi
E'p=zVF(p-\-'Pcsm<p,
et il s'agit de calculer les deux termes dont elle est composée.
Le premier se trouve facilement par la valeur déjà connue de
F(p et par le coefficient L' que nous avons déjà réduit à la forme la
plus simple dans le calcul des fonctions complètes (art. ig). Tout
se réduit donc à chercher la valeur de P.
Or, en faisante? — <p' = ^/, (?' — $"=«", ®"— (p'"=û>% etc., on
am'a les équations tangû)'=Z''lang(p', tangce)"=Z'''tangp", etc.; lapre-
mière donne sin(p=:sin(^'-|-ie)')=(i+Z'')sin(p'cosûe)'= -^-sin^p'cos»',
yc
et on en déduit successivement
• ^r l/c sinffl . ., t/c sin q> l/c \/c sin (p
C COS a ^ C cos u c c COS m COS a
■ sin r= ^'r . ^i . ^- . — ^^ T., elc. ;
C ce COS 0) COS » COS « ' '
substituant ces valeurs dans la formule de l'art. laS, on aura d'abord
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ig5
_ , ay/c 6' -f 1 — C03 '■>'
3 Q\/c 6" 4- 1 — C"3 u"
"• c' ' c" ' COs a' cos ai"
9 £ 2|/£; ^"^ + 1 — COS a;"'
"• c^ * c" * c'" ' cos »' cos «" cos «'*
+ etc.
Mais la quantité ^~ (â' + i — cosû)') = 2 — (i + c) cos &>', et les
autres quantités analogues se transforment de la même manière, de
sorte qu^on aura
Q (l 4- c) cos 4»'
C +
cos «
, 2 2 (l -^ c) cos •>"
' I ~7 • / Ti
C ces « cos ca
9 9 2 — (l + c") cos *>'*
^^ c' * c" ' C06 «' COb «" cos <u'*
H- etc. ;
, j . . , 2 (l+c)C0S«' ,, . ^,2 C0S«'
les deux premiers termes en ^ ,- se réduisent a -— ;
^ ' cos « cos «
xi. • ^3 2 (l -f-c') COS «" I
en y loignant le terme suivant -7 . > — -, — „ , la somme est
J ' O c cos U cos M '
, 2 2 — co«<v" . 1 /„ . 4 2 — (i+c")cos«'*
— 14--7-. ; ;?; aioutant encore le 4^ terme -tt; •
co.-ai cos« ' ce cos» COS» cos»
1 .. 2,4 2 — COS »" ^ j
la somme est ^ — i -, , -f- -rs • -, » s ; un terme de
c COS » ce cos » COS » COï »
plus donnerait semblablement la somme
8(9— COS»")
~ "r" '„",
e cos » ce cos » cos » c c c cos » cos » cos »
et ainsi de suite.
i58. Supposons maintenant qu^à cause de la diminution très^-
rapide des angles &)', dw", «'", etc., la différence i — coso)'" soit
négligeable, on aura en même temps avec une exactitude suffisante
c"' = i, cosa'"=i, ce qui donnera
P = J- — i.— ,
r r r ' ■
en faisant pour abréger /•' = c'cos^', r"=c" cos co".
Dans la même hypothèse, on doit regarder comme négligeable la
196 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
quantité (i — /")% de sorte qu'on pourra faire i — 2/'"-f-r"*=:o,
ou -ff — I = -^ j ce qui réduit la valeur de P à deux termes seu-
lement, savoir ;
p = -2 T .
r r
Supposons log;V= — t, t sera presque toujours une quantité fort
petite; cette quantité étant donnée, on en tirera /•'/•"'= ej
P=2e^'— i = e^^ï^[i — (i— e-^ï^)T; donc
logP=2i— m(i— e-^^')^--|/7i(i— e-^^')^— jw(i — e-^')s-.etc.;
et en développant jusqu'aux t^ seulement ,
log P = 2« — Me 4- M.H\
Cette formule sera très-commode pour calculer le second terme
Pcsincp de la valeur de F(p, si toutefois les quantités de l'ordre t\
peuvent être négligées.
iSg. Si l'on veut pousser l'approximation plus loin, et qu'on re-
garde seulement comme négligeable la quantité i — cos &)*', ainsi
que I — c'", la valeur de P deviendra
* '^ — r'r'r' r r" / '
et parce que dans le même cas on peut regarder comme nulle la
quantité (i— «/'")% ce qui donne -r„ — 1 = -^,9 on aura plus sim-
plement
P = -A ^_ I
■•- ■ t II Wq. J * •
jr j- j- 2. j.
Pour faciliter le calcul de cette formule , on pourra profiter de
la réduction indiquée dans l'article précédent, en l'appliquant à la
quantité P'= -77^ — i ; on aura ainsi
P=--i;
qP c sin (D •
alors le terme Pcsincp se réduit à ; csinp; et parce que
/• =^'cosû)'=^'-5^, on aura simplementPcsin9=P'.2 v/csia<p'-csin(p,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 197
ce qui dispensera de calculer cosse)'. De plus, comme csin^=sin6sin^
z={cos(Q — <p) — ^cos(ô + ^), on voit que dans beaucoup de cas,
cette quantité pourra se trouver immédiatement par la Table des
sinus naturels.
Au reste il est très-remarquable que la valeur de E(p, ainsi re'duite
par plusieurs transformations successives, se déduirait immédiate-
ment de l'expression de G, tom. I, pag. io5, en faisant .B= — c%
elsubstituant les valeurs sin<p'= 14^ . iïfi^ cin(p"== ^^ . ^ ^' etc.
c cos» c cos« '
Nous observerons enfin que la valeur de P peut aussi s'exprimer
par cette série convergente :
'^ i^ / i^ /j." n r'r"r" "^ <="'•>
au moyen de laquelle l'approximation peut être poussée aussi loin
qu'on voudra. Les deux premiers termes se réduisent à 4 — i ;
quant aux suivans, qui décroissent rapidement, ils sont faciles à cal-
culer par les formules logr= — t, log(i — r)=:log(M^) — jZ+-î^Mi*.
160. Exemple I. Supposons qu^on veuille calculer, avec toute
l'exactitude que comportent des Tables à 14 décimales, les fonctions
F(? et E(p, pour le module <?=sin8i° et l'amplitude (^=^5",
Il faut d'abord tirer de la Table VI (*) l'échelle des modules et le
logarithme de R , comme il suit ;
c 9,994^1 99270 65o8 b 9,19433 24415 5701
^''" 9>99999 16689 %5S ^' 7>79ï96 S3o22 3974
^"••- 9.99999 99999 ^002 b".... 4,98188 49441 5219
K... 0,00268 58709 3716 b'" ... 9,56170 98969 9640
(*) La Table VI contient l'échelle des modules et le logarithme de K , pour tous
les angles du module qui ont servi à construire la Table des fonctions complètes ,
c'est-à-dire , de dixième en dixième de degré, depuis o° jusqu'à i5°, et de demi-
degré en demi-degré, depuis iB" jusqu'à 45°. Cette même Table donne les modules
croissans c, c, c", etc., et leurs complémens 6, b' , b", etc., de 45° à 30°; il
eufilt pour cela de prendre, au lieu de l'angle du module, son complément à go",
et d'échanger entr'elles les lettres c et b, en substituant les signes ' aux signes %
comme on l'a fait dans cet exemple.
9
igS EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On procédera ensuite au calcul de(p'parre'qualionsin(2(p' — <p)=:cs'm<Pj
et par les formules ordinaires pour l'usage des Tables.
c 9,99461 99270 65o8 angle cherch. 2(p' — <p = A,
sin (p 9,98494 37781 0267 angle approc. a = 72° 56 ,"
sin(2<p'— (p) 9,97956 37o5i 6775 2^=145.12,
sin a 9,97956 26352 3206
;• = 10699 3569
/sin A= /sin o + r,
I rns* n
cos" a
A I • / I , . 4 — 2 cos 3a\ ,
A=â!-f-/7Sm2â f I •■\-p +/?' . -^ g K
r 4,02955 76746 a +(1) == 72°,56o44 93265 4442
iM 0,06118 56950 4 (2) 61 6186
sec* « 1,04660 65o3o 5 (5).... 16
•p 5,15714 98706 7 3(p' — (p = 72,56044 95525 0644
sin 2« 9,75728 95795 8 (p= j5
R° 1,75812 26524 I <p'= 75,78022 46662 5322
(i) 6,65256 i8824~6
P • • • 5,15714 987
(2) 1,78971 175
P 5,13714 987
J — Jcos2a 0,27421 200
(5) 7,20107 56.
La valeur de (p' réduite pour les Tables a dix de'cimales, savoir;
<p' = 73''46'48"58o88, servira à calculer par l'ëquation sin(2<p" — ip')
= c'sin(p', une première valeur approchée de <p"; cette valeur
(p"= 75* 46' 42",oo876, étant substituée dans le second membre de
l'équation tang (cp' — <p")z=b" lang (p", on en déduira facilement une
valeur beaucoup plus approchée de <p' — (p"; faisant pour cet effet
A"tangcp"=;;, on aura (p' — (p"=R7? fi — ^j; en voici le calcul ;
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 199
V 4,98188 49441 5 (i) . . . . = o°,ooi88 88989 5528
tang(p". 0,53620114985 (2) ~- 68
p 5,5 1808 60939 8 (p' — (p" = 0,00188 88989 546
R» 1,75812 26324 I (?>' 73,78022 46662 532
(i) 7,27620 87263 9 (p" = 73,77833 57672 986
p^ 1,036172188 (p"--(p'"= 45293
i 9>^^^^7 8745 (p'"= 73,77835 57627 693;
(2) 7,83525 966
la différence <p" — (p'" a été' calculée semblableraent par l'équation
<p" — ^''" = R°Z''"tang<p'". Il n'est pas nécessaire d'aller plus loin, et
ou peut prendre a^'" pour la limite $, ce qui donnera
45» + i^ = 8i%889i6 78813 8465.
Soit fl!=:8i°,89, j: = o%ooo83 21186 i535, on calculera la valeur
de H = / tang {a — x) par les formules
p = -. , / tang {a — x)-=:.l tang a
sin aa
>
Î2 + 2 cos* 2a\
r= 2W/7 Tl -\-p COS 2â5-j-yr?' . ^ .,
on aura ensuite F<p=KMH; voici ce calcul :
VCx 6,92018 52377
R' i,758i2 26324 az=z 8i%89 (i). 0,00004 5i6ii 6o334
X 5,16206 26053 2^=163,78 (2). — 22 54633
sin 2â5 9,44611 18205 (3). + i56
V 5,7159507848" /• = 0,00004 5x589 o586
am.... .. 9,93881 43070 langâ! 0,84618 77314 7040
(0 5,65476 509^8 H = ^4614 25725 6454 '
V 5,71595 07848
C0S2«. ... 9,98236 00014
(3) r, 35307 588~ H. . . 9,92744 35465 6285
5,65476 5i M... 0,56221 ^Çi^'^Çi 9946
P" 1,45190 16 R... 0,00268 58709 5716
f-f-fcos»2â! 0,10765 70 logF?> = 0,29234 5i"ô6i 9945.
(5) 7,^9432 37
20O EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
i6i. Connaissant ainsi logFtp, nous allons procéder au calcul de
E(p=L'F(p-}-Pc?sin(p. La première partie dépend du coefficient L'
qui se calcule par les formules
L' = i b'Ki . {c")i (.-,■), r = i . *^g ;
il en résulte
logL' =: 8,08897 78160 8327
lF<p 0,29254 5io6i 994^
8,38i32 29222 8272
L'F^ = 0,02406 i5i24 3297
Pour avoir la valeur de F , il faut reprendre les valeurs trouvées
de a', a>"y c»'", savoir:
û)' = cp — (p' = i°2i977 53337 468,
a>" =z (p' — cp" = 0,00188 88989 546,
a>"' = ç" — <p'" = 0,00000 00045 293,
et calculer les logarithmes de cos^', cosa>", cos û>"', par la formule
du n" i47, voici le calcul du premier:
•' 8,328157214414 «'+3,3126288 (1) = 0,000038416687719
«'» 6,6563i 44288 28 8,5586o 3i (2) 74 ^4^6<^
9,55675 45i56 37 (,) 1:^3-1^ (3) , ?9?
(0 5,99306 87444 65 t>'^ 9,96894 i:cos«' 0,00009 84241 2278
7,98457 lie' 0,00000 833io 4062
(3) 7,95351 1:/ 0,00010 67551 6340.
Le calcul de cos^y" se fera par un seul terme, comme il suit:
û)" 5,5 1808 609 I :cos .v" 0,00000 00002 56o2
o)"* 1,03617218 lie" ^99^
9,53675 4^2 j.^// 0,00000 00002 5599.
(i) 0,57292 65o
A l'égard de «", la petitesse de cet angle permet de négliger entiè-
rement I — coso)'", ainsi que i— c*, ce qui donne r"'=i. Amsi
la valeur de Pc sincp se réduit, dans ce cas, aux deux seuls termes
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 201
~^^csm<p. Voici le calcul du premier:
2 o,3oio2 99g56 6398
csincp... 9,97956 SyoSi 6776
jlr' lO 67551 6340
1 :/•"*.. . . 5 1198
Z 0,28070 o4565 071 1 Z = 1,90853 64403 8184.
Le second terme csinip, ou sîn8i°sin75% est la même chose
que ^sin 84°+-^sin66% dont la valeur se trouve immédiatement
par la Table III,' = o,954o3 36765 o544 ;
de ces deux termes résulte Pcsîn^= o,9545o 27638 7640
d'ailleurs on a déjà trouvé LT(p = 0,02406 i5i24 3297
donc la fonction cherchée Ecp = 0,97806 42763 0937
d'ailleurs le logaril. connu deF(p donne F(p = 1,96040 1861 3 8371.
Dans cet exemple où le nombre t = — logrV" est assez petit,
on aurait pu abréger le calcul de la partie Pcsin<p par la formule
de l'art. i58 comme il suit :
t = 0,00010 6j556 7538 t 6,02839 09724
/' 2,05678 1944s
3tt =0,00021 35ii3 5076 M 0,36221 56887
M«' — ^6^ 4204 Mt\ . . . 2,41899 76335
M'i' + 645 ]y[.^3 , . . 8,80960 43.
P 0,00021 3485i i5i7
csincp 9,97956 37o5i 6775
Pcsiucp.... 0,97977 11092 8292
On lire de là Pc sin(p= 0,95450 27638 7645, résultai qui ne diffère
du précédent que dans le quatorzième chiffre dont l'exactitude est
toujours incertaine, tant par l'erreur des tables que par celle des
parties proportionnelles.
162. Nous remarquerons que lorsque le logarithme i est aussi
petit que dans l'exemple précédent, on peut calculer la partie
Pc sin <p de la valeur de E^ , d'une manière encore plus simple
'202 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
que par la formule de l'article i58. Car faisant toujours....-
f=. — log (r'r"), ce qui donne ;•'/•"* = e~^% on aura v-^ — i
= 26^* — i; soit celte quantité = i +z, afin qu'on ait Pcsin(p = csin(p
'-\-czsin(p; de la valeur z= 2 {e^^ — i ) = aeî^^^ (e^^^ — ^—\m>^
= 2Mt . e^^^ (i + r? M'Z'' + etc.) , on déduira
log s = log (2MO + T « 4- r? Mi%-
par cette formule, on calculera facilement le petit terme czsincp qui
doit être ajouté à csincp; en voici l'application
logf... = 6,0285g 09724 (i).... = 0,00046 90873 7106
/2M... = o,66324 56843 6 csin^p.. 0,95406 '36765 o544
î' ^ 55778 4 TcsiiKp = 0,95450 27638 765Ô.
r^Mf».. 10 9
logz... = 6,69169 oo356 9
Z(c7sia<p) 9,97956 3705 1 7
(1).... 6,67125 37408 6
Ce résultat s'accorde encore avec les précédens, aussi bien que
cela peut être, en n'employant, pour le calcul des parties acces-
soires , que des logarithmes à dix décimales.
i63. Exemple II. Soit proposé de trouver les fonctions F^, E:p,
pour l'amplitude (^ = 45% et le module sin48% dont les élémens
sont, d'après la Table VI,
c 9)87107 34581 435i h 9,8255i 08951 7436
c'.... 9,99523 52536 94i3 ^'.... 9,i6835 48482 6552
c" 9î99999 34601 5285 V' 7,73940 33718 i465
c'".... — I23l' y\,., 4,87675 32981 2!^^'].
R. . . . 0,06207 66278 /^S^^^
Voici d'abord le calcul de <p' et sin ç'.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 20Z
c 9,87107 34581 4^5i «=3i°70 ^r. 4,66i3o 62942
siiKp 9,84948 5oo2ï 6801 2a=63.4o M. 0,36221 66887
sin(2(p' — (p) 9,72055 84063 II 52
«ï-}-Ci)= 3i°42'2'',68962 8207
(2)+(3) 5 9224
2<p' (p= 31.42.2, 68966 7431
(p'= 38.2I.I, 54483 37155
séc'a, o,i4o33 36969 i
p 5,i6385 46788 I
sm2a. . . 9,95i4i 24387 4
R" 5,31442 5i35i 8
(0 0,42969 22607 5
p 5,i6385 468
(2)....
P
•|C0S2â!.
(3)
5,69354 695
5,i6386 47
0,01486 78
0,77226 94.
Pour avoir /sintp', on fera «=38' 35=38' 21', Jt7=:i'',34483 37166,
q>' =:z a -\- X , et on appliquera la formule lsin(a^x)= Isina
/ ce ÛO \
«4-/WX col a\\ : \- . \ X cot « ) : en voici le calcul ;
R"x... 0,12866 86884 8
R" 6,31442 6i33i 8
X 4^142^34555
m Qj^^??^ 4^1 ï 3
cota... 0,10173 00006 9
sin a.
(2)..
sin cp'
c'...
9,79271 63579 4647
4- 56789 6760
•— 2398
9>7927i 99168 9009
9,99623 52656 9414
sin (2(p"— <p') 9,78796 51706 8423.
(i) 4j56375 77670 9
X 4,81424 34553
i:sin2a 0,01180 7328
(2).... 9,37980 866""
D'après cette valeur de Zsin(2^'' — <p')^ on trouve, en suivant tou-
jours les mêmes procèdes ,
2(p' — . (p' = 37'6i'26",984o9 5255
(P' = 58.21. 1,54483 5716
76.12.27,52892 6960
ç)" = 58. 6.15,66446 5476;
on a ensuite pour déterminer (?'" l'ëquation siu(2(p'"— (p")=c'sin<p'' ;
2o4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
mais à cause de la petitesse de l'angle (p" — (p"'=.où"', il est préférable
de déterminer (p'" par l'équation tang ((?)" — (p'")==^'" tang(p'", ou sim-
plement (p" — (p'" = V\!'b"' tang <p"'. Pour cela, on substituera d'abord
dans le second membre la valeur approchée (p'" = 38°6' lo", ce qui
donnera où'" = i",2i78, et <p"' = 58° 6' i2",4466. Au moyen de celte
seconde valeur, qui a toute l'exactitude nécessaire pour les tables
à dix décimales, on trouvera plus exactement (p" — <p'"=R"^"tang(p'"
= i",2i787 8424. Enfin la différence <p"' — {p"' = a)''' se déduira
de l'équation «'^ =R"^"tang (p'% ou simplement a>'' zzz a>"' . ^ b'" ;
car on peut supposer dans le second membre tang (p"' = tang (p"\ et
h^-* = ^ (b"'y. Voici ces derniers calculs d'où l'on déduit la valeur
de <p'' :
b'" 4,87675 02921 2 <p" = 38°6' i3",66446 3475
tang (p'^' 9,89442 55ii2 5 0)'"= 1,21787 8424
R" . . . . 5,31442 5i35i 8 ^m _ 38.6.12,44658 5o5i
a>"' o,o856o 39365 5 a>'' = 22924
i Z^'" . . . 4,27469 33 ç>,v _ 38.6.12,44658 27586.
&)'' .... 4j^6o29 72
On peut considérer (p"' comme étant la limite des angles décroissans
<p, (p', <p", etc.; ainsi on aura
H = log tang (45° + W") = ^ tang (64* 3'6",22329 1079).
Pour calculer ce log-lan^ente , on fera a = 64° o5 = 64° 3',
x = 6",22339 i379j et appliquant les formules
OC
p = -. , /tang(a + a:)r=/tanga-}-2mp[i — p cos 2a + |p* (i -}- cos^ 20)^,
on trouvera H=o,3i28i 4^842 60705. Enfin la formule F<p=KMH
donnera les résultats suivans.
H . . . . 9,49528 62986 6865
M 0,36221 56886 9946 3
R 0,06207 66278 4558 5
/F<p = 9,91957 86i52 1670
F(p = 0,83095 71254 6716.
164. Venons maintenant au calcul de la formule E(p=L'F(p.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 2o5
+ Pcsin (p; la première partie se trouvera après avoir calculé logL',
comme il suit :
L'. . . . 9,58094 67241 494°
F<p. ... 9,91957 861 52 1370
LT(p.. 9,3oo52 53392 63io LTip = 0,19976 77321 6029,
la seconde partie Pcsin (p=2{/csin (p.V — c sin (p- et pour avoir P',
il faut connaître r"z=c"cosco" et r"' = c"' cosco'", or d après les va-
leurs déjà connues
û)
" = (P' — (p" = 887" 68037 024,
«'" = (P" — (p'" = 1,21784 824,
on trouve les résultats suivans :
jlcos cû" , . . 0,00000 40217 70478 coscù'"..,, — 7570
i'-c" 6539847146 c'".,.. — I25lO
I :/•'' 0,00001 o56i6 17624 r'". ... — 19880
I w
///a
39760
t = 0,00001 o56i6 57384;
par le moyen de cette valeur de t =z — log(rV"*), on trouve aisé-
ment le terme Z=2^/c.sin(p'.P', ensuite on aura c sin tp =:yCOS 5',
+ Y sin 3°; d'où l'on conclura la valeur de E:p, comme il suit:
2 o,5oio2 99956 63981 Z = 1,06981 27381 36o5
V/c... 9,93553 67290 71755 csm(p 0,52348 27454 9876
sin^'.. 9,79271 99168 90090 p^^j ^-54453 999263729
+2^.. + 2 II233 14768 r/p!^ ^^ r i ^
-M^^ I ^S^^So LF^ = 0,19976 775^^ 60^9
+M^£^ + 6 ^^ == 0^74409 77247 97^^
Z.... 0,02930 77646 8575.
Les calculs de ces deux exemples ont été fort longs, malgré la sim-
plicité des formules, parce qu'on a voulu obtenir des résultats
exacts jusqu'à la quatorzième décimale; mais ils s'abrégeraient beau-
coup, si l'on se bornait, comme il convient presque toujours, à dix
ou à un moindre nombre de décimales.
r
2o6 EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
§ XII. Méthode pour construire, diaprés un module donné,
une table composée d'un petit nombre de valeurs des
fonctions F et K, au moyen de laquelle on puisse déter-
miner facilement ces fonctions pour toute valeur donnée
de V amplitude.
i65. La mëlhode que nous allons exposer n'est autre chose que
celle du § IV, modifiée de manière qu'elle n'exige pas un travail
préliminaire trop considérable, au moins lorsqu'on ne veut pas
pousser l'approximation au-delà d'un certain degré.
Supposons d'abord que l'on calcule par la mélhode générale, l'am-
plitude a ou et, qui satisfait à l'équation Yctz=z^Y'c (nous prenons
pour exemple la fraction yz\ niais une autre fraction telle que \
ou ^, pourrait être plus convenable dans certains cas, comme nous
le verrons ci-après ); au moyen de celle amplitude, on déterminera
successivement celles qui satisfont aux fonctions multiples Faj,=2Fa,
Fa3=5Fct, etc. On calculera en même tems les valeurs corres-
pondantes de E, et du tout on formera un petit tableau de dix
lignes seulement, contenant les valeurs de (p et de Etp, auquel on
pourra joindre, pour la facilité des applications , les valeurs cor-
respondantes de Zsin(p, Zlang(f>, /A((p). Vojez un Tableau de celle
sorte , page 2 j 5.
Cela posé, <p ayant une valeur donnée quelconque, il s'agira de
trouver, par le moyen de cette table, les valeurs des fondions
F(p, E(p.
166. Supposons que la valeur de <p soit plus grande que ot,, elle
sera comprise entre deux termes consécutifs de la première colonne;
soit a le terme le plus proche , ou au moins celui pour lequel la
différence F (p — Ya est la plus petite, et soit (p = rt-f-a', x étant
une différence positive ou négative; si l'on fait en même tems
F(â!-f-x) = F«-|-FjK, l'amplitude^ se déterminera trigonométri-
quement par les équations suivantes :
csinâ!==sin^, tang'\},'=cosé' tang(a-|-^), J'=4'"^4>
çsin(a-{-x)=sinê', tang-NJ/ s=cosê'tangâr.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 207
on voit qu'il faudra d'abord calculer les angles auxiliaires^, €',
ensuite les angles 4' et -4^^ dont la différence est Tangle cherché j^.
Connaissant^ qui sera en général du même ordre que x, et peu
supérieur à x (excepté dans le seul cas où c et sin(p seront tous
les deux peu différens de l'unité), on pourra déterminer Fj et E^
par les formules qui conviennent aux petites amplitudes, et on en
déduira les fonctions cherchées
F(?> = Ffl 4- Fj,
E<p = E<2 -f- E^ — c* sin a sin (p sinj'.
Cette sorte d'interpolation n'exigera en général qu'un calcul assez
facile et fondé, comme on voit, sur des formules trigonométriques
très-simples.
Si X est négatif, j le sera aussi; mais d'ailleurs le calcul sera
toujours le même. Au reste la faculté qu'on a, suivant les différens
cas, de prendre x positif ou négatif, permettra toujours de sup-
poser F/ < ^Fa, c'est ce qui aura lieu encore, lorsque (p sera moindre
que a, mais tel cependant qu'on ait F^>jFa.
Nous remarquerons que si l'on fait sina)= r- — r^^^ — r — ^* on
aura exactement sin y = — - ^^^^ . ^ . Par les auxiliaires ^ et &.
^ \ -f- ^c"- sm a» '
ona Aa = cos^, ù^{a-\^x)z=cosQ' , ainsi l'angle cû ^ troisième auxi-
liaire, se trouverait par l'équation sin&)r= — r—r, — r^?-^- — 7-^ =-;
mais il sera presque toujours plus simple de se servir des formules
précédentes, quoiqu'elles déterminent l'angle j* par la différence de
deux angles beaucoup plus grands -vj,' et 4-
167. Nous avons donné dans le § V des formules pour calculer
les fonctions F<p, E:p, lorsque l'amplitude (p ne passe pas une cer-
taine limite; mais si j était très-petit, le calcul de ces formules
pourrait être sujet à quelques difficultés, surtout si le module c
était en même temps très-petit. 11 sera plus simple alors de se servir
des formules telles que les donne immédiatement l'intégration par
séries; ces formules sont, en supposant que les ternies de l'ordre
!2o8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
y'' peuvent être négligés,
168. Connaissant a, , a,, «3, ot^, «5, par la multiplication de la
fonction Fa, il faudra que ct^ s'accorde avec la valeur tirée de
l'équation tanga5 = — y. Cette vérification étant faite, on calculera
les termes suivans ctg, a^, etc., par les équations complémentaires,
savoir: <:o\aL^'=h\.vci\^ci^^ cota^rrr^tangag , cotag^Z» tanga^ ,
cotag=^tanga. Il faudra ensuite calculer les fonctions Ea,,Ea3, etc.,
ce qu'on fera par les formules
aEot, — Ea^ = /?,
Ea + Ec«3 — Eût3 =r p^
Ea + Eaj — Ea^ = f^
Eût -f- Ea4 — ' Eû£5 = j)^
p^ = c» sm a, . sm ûti sm «a
yo, =: c* sin at, . sin ct^ sin ag
;f?3 = c"^ sin a, . sin ct^ sin a^
^4 = c'' sin a, . sin a^ sin «5
de ces formules résulte
Eot = I (E^s + /?, 4- ;f>. + ^3 4- /?4);
et comme on connaît Eoig = ^ E' + l(i — Z»), on aura par l'équa-
tion précédente la valeur de Ea; ensuite Ea^, Eûtj, Eot^, seront
données par les équations
Eût» = 2Ect — • ;^ij
EûSa = Ea 4" Ea^ — /^a j
Ea^ = Ea + Eag — yOg.
Ce calcul se continuera pour les autres amplitudes «5, «7, etc. , au
moyen des formules
Eag + Ea^ = E' + c* sin ot^ sin «g ,
Ea^ + Eas =: E' + c' sin ag sin a, ,
Eag + Ea^ == E' + c" sin a^ sin ag ,
Eotg + Ea = E* + <?=" sin a sin a^.
Cette méthode va recevoir les développemens nécessaires dans
l'exemple suivant, où les calculs sont faits de manière à obtenir
au moins dix décimales exactes dans les résultats.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 209
16g. Afin de mieux juger de l'exaclitude de la nouvelle mé-
thode, nous prendrons pour exemple le module sin45% d'après le-
quel la table II a été construite. Voici, dans ce cas, l'échelle des
modules réduite à douze décimales :
c 9,84948 5oo2i 6d) b 9,84948 5oo2i 6^
c°...\ 9^25444 86295 24 h'.... 9,99351 18092 42
c°»... 7,87530 12255 42 b"" 9)99998 78857 3i
c'°\.. 5,14455 45759 59 b''°\.. 9,99999 99999 5S
0°°°".. 9,68704 91605 93
il faut d'abord déterminer a par l'équation Fa = Y^F'; et comme
on a en général F(p = — 7, . F'c, O étant la limite de la suite <p, ^«p"*,
■^(p°°, etc., il faudra faire $=9°; or, pour le degré d'exactitude
que nous avons en vue, on peut supposer ^ =:: Yë (p°°°° ; ainsi on
aura (p°°°°== i44°' De cette valeur on déduira successivement celles de
<p°°% (p°°, (p% (p, au moyen des équations sin{2<p°°° — (p°°°°)=c=°°°sin£p°''°%
sin(2{p°"' — (p°»°)==c°°°siu(p°°°, etc., dont voici le calcul:
C"^ 9,68704 92 2(p'3__(p"f = 0° O' 0",00000 5898
sin<p°^... 9,76921 87 <p='^= 144
^" 5,5 1442 5i (p°°°== 72.0.0,00000 2949
2(P«»3 ^«4 4^^7069 3o
C°3 5,14455457594 2(p°*— $°°*= 2,736440659
s'inr'. . . 9.97820 65255 5 ^00 ^ 36.0.1^822 i8o4
R" 5,31442 5i55i 8
2(po» — (P°3 0,45718 60547
c°°. .... 7,87550 1225542 (1) 9o5",62626 4255
sin(p°°.. 9,76922 265o5 72 (2) + 290 9682
p 7,64252 58759 14 2(p° — (p"' = i5' 5",62gi'j 5935
R" 5,31442 5i35i 76 (?»"== 56» o. 1,56822 1804
(0 2,95694 90090 90 (p° = 18. 7.35,49869 7870
f/?'.... 4,50689 65
(2) 7,46384 55
2IO EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
C 9,23444 86293 24 angle cherché A = 2(p — ^",
sin (p* 9,49291 01476 38 angle approch. a=3°o6=3'5'36",
sin (2(p — (p°) 8,72755 87769 62 e'q. à résoudre ZsinA = /sina — r,
sm a 8,72739 23169 47 Solution. y[; = /M tangâ!,
/•== 3" 35399 ^^ A=a^p(i -^^—y
r 5,52556 28641 (i) . . . o",85i56 0817
M 0,3622 1 m^d>j (2) . . . 3 2976
tang«.. 8,72801 19841 ^ o,85i52 784?
' p 4,6157905369 a S"» 3' 36"
^' 5,31442 5i552 ^^_^, ^ 3. 3.35,14847 2159
(i) 9,93021 56701 (p° = 18. 7.35,49869 7870
P 4,61579 o55 ^^ ^ 21. II. 8,64717 0029
i:sm2^ 0^97219^ ^^^ _ 10.35.34,32358 5o.
. (2) 5,51820 55
170. Ayant ainsi déterminé la valeur de a. ou a,, il faut calculer
Jes termes a^, «3, ct^, etc., par les formules connues pour la mul-
tiplication des fonctions j savoir : tang ^ «^ =r: A tang a ,
tang(^a3-|- ja,) = A tanga^, etc.; voici d'abord le calcul de Aa
ou A.
c... 9,84948 5obi2i 68 a=7',47
sin«. 0,26441 40026 72 _ __ -- ^ ^.. ^
1 — r 5,8ûi97 06609 CCS ff 9,99629 84428 77
sinA 9,11389 90048 40 tang»c. 8,23533 69554 R... ii^j^ 507
sina. 9,11396 6q2o6 i5 „ " — r-z „ ^_- — - — -—
- f ^ rtang^a 4,06730 76163 A... 9,99629 96103 a8
r= 67915775 r —679158
/sîn A = /sin a — r, rtang'a — 11676
ZcosA = /cosa + R, R . . . 4,06723 85329
/R=/(rtaiig»a)— /•— rtang^^tf.
CO^^STRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. au
Calcul de a,.
«anga.. 9,27187 89348 79 fl=io''5o r»... 6,32556 58917
A 9,99629 96105 28 2«=2i.oo |M.. 0,06 II 8 56950
tang^a^ 9,26817 85452 07 ;?.... 6,58675 15847"
tanga. . 9,26796 69207 55 sin2«. 9,55452 91618
r. . . 21 16244 74 R". . . 5,51442 5i552
1. k ji I Ci)' • • i,2555o 587Q7
/tangA = nang^ + r, ^ J ' /y/
COS2« 9,97015 174
A^a=zps\n-2a{i-i-pcoS2a-\-\p*cos/^a). (2)... "7^1240 920
« + (1) = io°5o' i8'',oo967 517 (i) i,2555o 59
(2)... 409646 Z^" 2,77550 32
(3)... ^ î 9,8259087
l-ct, = 10. 5o. 18 ,01577 216 cos4«... 9,87107 55
a, =21. 0.56,02754 45 (5) 3,72599 i3
Calcul de a^.
tangaa 9,5844o 4^122 28 «=20' 85 r..... B,Si5^S 25192
A 9,99629 96105 28 2^=4 1 . 70 ^M. . . 0,06118 56950
tang A 9,58070 57225 S6 4a=85.4o p 5,87666 80122
tangrt. 9,58076 91081 87 sin2«.. 9,82297 2o58o
r = 6 55856 3i R". . . . 5,5x442 5i552
/tangA=/taiig.z~/-,;r.=:iM/', ^^^ " ' 1.01406 52o34
p 5,87666 801
K-=.a — ps\n2a{i — pcos^a-^^p^cos/^a) cos 2a. 9,87311 02
(2)... 6,76384 34
(1) = io",529i6 4724
(2) — 58 0557 (i).... i,oi4o6 5
(3) + 4 ;?».... 1,75355 6
a — A. . = 10 ,52858 417 f cos4rt 8,88456 9
a = 20° 5i^ o'^ (3) ... 1,65177"^
A =20.50.49,67141 583
«3-1- et.. =41.41.39,54283 17
et 10.35.34 ,52558 5o
«s = 5i . 6. 5 ,0x924 67
212 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
Calcul de a,^.
tangua 9,78051 29931 86 r 5,84856 5o655
A.... 9,99629 96103 28 û= 3o°89 ;^M... 0,06118 56930
tangA 9,77681 26Ô35 14 2^1=61.78 ^ 5,90975 07535"
tanga. 9,77688 31645 69 4«=i23. 56 sin2tf. . 9,945o4 4i5i4
/• = 7 o56io 5? ^" 5,5i442 5i532
7a A 7. ri)-'-- 1,16022 oo43i
/-? 5,90975 076
«— (i)... = 3o°53' 9",23545 584o co5 2«. 9,67473 108
W-- + 567155 (2).... 6,75370 188
(3).. + 56 ^^ " '
^(fit^+aj =n 3o.53. 9,23602 3o3 (1).... i,i692'2 00
a^ = 40 •4^*42 j444^o 18 /?" 1,81950 i5
|cos4« 9,56648 46
(3).. . . 2,55520 61
Calcul de ct^
tanga^. 9,93 55 1 4^9^ ^ ^^ ^=40° 52 ;• 4590002 10848
A 9599629 96103 28 2rt=:8i.o4 ^M... 0,06118 56930
tangA. 9,93181 58oi4 90 p 459^1^0 67778
tangûf.. 9,93180 58578 22 sinia.. 9,99466 78399
79436 68
R".... 5,3i442 5i532
° ^ p 4590^^0 678
a = 4o''3i' i2",ooooo 0000 cos 2«. 9,19241 38i
(0 • • • • • I ^^6537 2796 ç^^y ^ ^ ^ 4,42392 034
(2)...
• •
«ta
2654
-40.
81.
Si.
,3i.
. 2.
6.
i3
27
5
,86337 545
,72675 09
,01924 67
cts = 49'56.22 ,70750 42.
Par l'équalion col et-., = \/b y on trouve directement. /
«{5^= 49° 56' ^2", 70750 5iÇ>f la différence n'est que d'une uuitc
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 21 3
décimale du sixième ordre; or, le sixième ordre de décimales dans
les secondes, est le douzième chiffre significatif du nombre entier,
puisqu'en réduisant tout en secondes, on a «5= i7g782",7075oi6.
On ne peut donc pas re'pondre d'un plus grand degré de précision,
en ne donnant que douze décimales aux logarithmes, surtout si l'oa
considère combien il a fallu d'opérations pour obtenir ce résultat.
171. Pour calculer maintenant les quantités ;?,, p^^ p^^ ^p^, il faut
connaître les log-sinus des angles a, a^, atj, a^, ^5; le premier est
déjà connu, le dernier se trouve par la formule sina5= —j-. — --rr
V Cl + o)
sin45°
s= cos2o"i> voici ces logarithmes, d'où l'on déduit ceux des quan-
tités yo, et ensuite ces quantités elles-mêmes :
/
sin Kl 9,26441 ^ooQ.^ 72
sin «fa 9,55452 67236 63
sin «3 9,7i3ii 68677 26
sin u^ 9,81485 70638 12
sin «5 9,88386 96562 ^j
p, = o,oo6o5 79367 33
pa = 0,01702 2627S 04
P3 ■=. o,o3c99 96606 69
p^ = 0,04693 i5io4 20
p, 7,78232 47^33 43
Pa 8,23io2 66980 97
P3 8,491 36 69386 46
P4 8,66211 07270 67
0,10001 17353 26
Connaissant la fonction complète E'=i,35o64 588io 48, etla quan-
tité I — Z» = 0,29289 32188 24, on trouvera par les formules de
l'art. 168
Eots = 0,82176 85499 ^ï
Eût, = 0,18455 60570 5i2
Eot^ = 0,36265 4^77^ 704
E*3 = 0,52998 76068 176
Ea^ = 0,68334 400^2 998.
172. Il faut maintenant prolonger le calcul de toutes ces quan-
tités pour toutes les amplitudes au-delà de «5, savoir: «g, a^, «g, a,^.
Or, si les amplitudes (p et -4^ sont cômplémens l'une de l'autre,
c'est-à-dire, si l'on a F(p + F4 = F'^, non-seulement l'amplitude
^ se déduit de cp, par la formule cot-vj/= Z> tang-p, comme on l'a
vu dans l'article 168, mais on a en môme tems AX = --- et
sin 4 = ^^ ^ ^^^^ ^ 'y de sorte que connaissant les logarithmes des
quantités sin(p, tang<p, A(p, pour les amplitudes qui précèdent «5,
2i4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
on aura immédiatement les logarithmes de ces quantités pour les
amplitudes qui suivent «5.
D'ailleurs de la valeur connue de cot 4> ^^ déduit celle de l'angle
•v},, ce qui s'applique successivement aux amplitudes a^, a,, «g? ^jj
on aura donc de cette manière les résultats suivans ;
«6
«g
58° 58' 10", 5 1402 70
66.53.52 ,77456 17
74- 4s «22 ,95725 47
82.28. o ,82488 73
lsin(p.
l tang (p.
9,93 1 39 67348 58iO,2i5oo 08066 70
9,96569 70659 9810,57000 20046 46
9,98454 78550 8410,56611 08856 04
9,99623 54574 650,87863 60629 53
Au moyen des valeurs de sin ^, on déterminera les fondions Ea^,
Esfcy, etc., parles formules de l'art. 168, comme il suit ;
c'sina^sinci6=o, 27875 57297 82 c*sina3sina7=o,23756 5265o 146
E' =i,55o64 58810 48 E' =i,55o64 388io 48
1,62959 96108 3o 1,58820 9i44<> 626
Eot^ =0,68554 4oo55 00 Eag 0,52998 7606S 176
Eae =o,946o5 BGoyS 3o Ea^ =i,o5822 15372 45
c'sina^sinagrzro, 17299 93944 95 c*sin«sinotg=o,09ii2 12071 38
E' i,55o64 58810 48 E' i,35o64 388io 48
Eflt.
1,52364 52755 43 1,44176 5o88i 86
.=0,36265 41775 70 Eût 0,18435 60570 5i
E«8 =1,1609890981 73 Eag =1,2574090511 35.
173. Nous avons maintenant tous les éléraens qui doivent com-
poser la Table auxiliaire que nous voulions construire; mais pour
en rendre l'usage plus commode , il sera bon d'y joindre les va-
leurs correspondantes de logAip.
On connaît déjà A(a) et A{a5) = {/b; on calculera les autres
termes par les formules Aa.= ^^^ , Au, = ^IULiJ^
tang «a ' ' tang «^ '
Aot.=
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 21S
, et les termes comple'mentaires par la formule ge'-
tang«4
nëraleA4 = -.
Voici donc la table complète qui re'sulte de tous les éle'mens ainsi
Calcules. .
<p.
Eç>.
/ sin <p.
/ tang f .
/A<p.
«, =io°35'24"32358 5o
0,18435 60570 5i
9,26441 4'^^'^^ 7'"
9,27187 89348 79
.9'99629 96103 281
«a =21 . 0.36,02754 45
0,36265 41773 70
9,55452 67336 63
9,68440 4*122 28
9,98667 47663 62
U3 r=3l . 6. 5,01924 67
0,52998 76068 18
9,7i3i 1 58677 26
T, 78061 29931 86
9,96890 58o85 45 1
««^ =:40 . 45 . 4'2,444^0 1 8
0,68334 4oo33 00
9,8i485 70638 12
9,9355 1 41911 ^^'
9M794 6i377 96:
^5 ==4,9 • 5S . 22,70750 62
0,82176 85499 3i
9,88386 96062 47
0,07625 74989 16
9,92474 26010 84,
«s =58.38. io,3i4o2 70
o,g46o5 56075 3o
9,93i39 67348 58
o,2i5oo 08066 70
9,90153 88643 73:
(«7=66.53.52,77456' 17
i,o5822 15372 45
9,96369 70669 98
0,37000 20046 46
9,88067 91936 23 !
«8=74.48.22,93725 47
1,16098 90981 73
9,98454 78660 84
o,566ii c8856 04
9,86391 02458 i6i
«9=82.28. 0,82488 73
1,26740 903 11 35
9,99623 54574 66
0,87863 60629 53
9,853i8 53918 40,
«,^^=90. 0. 0,00000 00
i,35o64 388 10 48
0,00000 ooûoo 00 Infini.
9,84948 5oo2i es
174. Pour faire voir l'usage de cette table, cberchons la valeur
des fonctions F et E, lorsque cp = 70".
L'amplitude qui dans la table approche le plus de 70', est
<z = 66" 55' 52", 77456 17; elle re'pond à la fonction F^rrzf^F'c;
il faut donc résoudre l'ëqualion F(p = F«-J-E7" , ce qui se fera par
les formules
tang 4' = ^^ lang (p , tang -xj, = A(p tang «! , j = 4' — 4 î
soit csin<p = sinC, on aura /sin ê = 9,82247 08186 11, d'où Ton
lire ZcosS ou ZA(p = 9,87550 72687 65. Par la table, on a imme'-
dialement lang ^ et Aa, ainsi / tang 4' et /tang^, seront donne's
comme il suit :
A« 9,88057 91956 25
tangïp 0,45893 4i5i7 97
Acp 9,87350 72687 63
tanga.... 0,57000 200^^6 4^
lang4'«.. o,5ig5i 35254 20 tang4«.. o,2435o 92734 09
2i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
il en re'sulte '^' := 64° 25' 52",ii076 01
4 := 60.16.54 ,80887 69
j = 4. 6.57 ,3oi88 32
Il s'agit maintenant de trouver avec le même degré d'approximation
la valeur des fonctions E^, F/; c'est ce qu'on obtiendrait par l'in-
terpolation de la table II; mais pour ne rien emprunter de cette
table, nous calculerons directement les valeurs de Ej-, Fjr, parles
formules que donne immédiatement l'inte'gration, lesquelles en né-
gligeant les termes de l'ordre /^ seulement, sont:
Si l'on y substitue la valeur de c"" dans notre exemple, savoir:
c*=|, elles deviennent
1 1 71
■^y — J ^r ^^J T^ 480-^ 4o32o «>^ '
faisant donc ^' = 4° 6' 67", Soi 88 32, ce qui donne, après avoir
réduit cet arc en parties du rayon
logj- = 8,85634 39959 78, jr = 0,07183 63067 020,
on trouvera E;- = 0,07180 54^42 97,
Fj" = 0,07186 72o3o 06.
Maintenant les valeurs cherchées de Y<p et E(p se tireront des équa-
tions F(p=F« + F/, E^ = E« + E7 — c* sinasin (psin/, comme
il suit :
c»sin(p 9,67195 58207 79 E« = i,o5822 15372 4^
sin fl! 9,96369 70659 98 E7" = 0,07180 54342 97
sinj- 8,85597 o4o55 19 i,i3oo2 69715 42
Z 8,49162 32922 96 Z = o,o3ioi 86785 59
Fâ! = -j^ F'c = 1,29785 52741 II
F/ = 0,07186 72o3o 06
F^P = ij3697i 94771 r7
Ecp = 1,09900 82929 8S
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 217
Par la table II , on a F<?> = 1,36971 94771 22 , et
E<p = 1,09900 82929 83, ainsi l'accord est parfait sur la valeur de
E, et il n'y a de différence sur celle de F que cinq unite's déci-
males dû douzième ordre 5 erreur facile à expliquer tant par la
longueur et la multiplicité des calculs de la dernière méthode, que
par l'inexactitude qui peut rester dans le dernier chifïre des nombres
de la table II, malgré tout le soin qu'où a pu mettre à la cons-
truction de cette table.
175. Dans le calcul du tableau de l'art. 173, nous avons poussé
le nombre des décimales jusqu'à douze , afin de mieux établir la
comparaison des résultats avec ceux de la table II qui comprend
un pareil nombre de décimales : mais le calcul s'abrégerait beau-
coup, si l'on voulait se borner à dix ou a un moindre nombre de
décimales.
En général, quel que soit le degré d'exactitude qu'on veut obtenir,
il faut mettre un soin particulier à l'exacte détermination de l'am-
plitude a, d'après laquelle la table est formée. En supposant, comme
nous Tavons fait. Fa = ^ F<?, il est nécessaire, pour connaître
et, d'avoir l'échelle des modules qui résulte du module donné c.
La Table VI ci-après donne cette échelle pour tous les angles
du module, de dixième en dixième de degré, depuis 0° jusqu'à i5°,
et ensuite de demi-degré en demi-degré, depuis i5° jusqu'à 45°.
Mais cette Table n'est pas de nature à être interpolée, et ne serait
d'aucun usage pour les angles du module qui n'y sont pas expres-
sément contenus.
176. Pour obvier a cet inconvénient, nous avons pensé qu'il
serait utile de construire une table ou'J'on trouverait, pour tout
angle donné du module,, au moins de 0° à 4^°, la valeur de a. qui
donne Fa=~F'6'. Dans cette vue, nous avons calculé directement
la valeur de et pour tout angle du module de demi-degré en demi-
degré, depuis 0° jusqu'à 45°; nous avons ensuite interpolé les ré-
sultats en insérant quatre moyens entre deux ^termes consécutifs.
C'est ainsi qu'a été formée la Table VII où Ton trouve la valeur de
a pour tout angle du module de dixième en dixième de degré,
depuis 0° jusqu'à 45°. Celle Table, dans laquelle les quantités ec
si« EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
sont accompagaées de trois ordres de différence, le quatrième élant
omis comme inutile ou pouvant être pris à vue, servira à déter-
miner par interpolation la valeur de a qui satisfait à Téquatioa
Fa = 7J5 F'c, pour tout angle donné du module de o° à 45°, sans
^u'û soit besoin de connaître l'échelle des modules correspondante.
On n'a pas prolongé la Table VII au-delà de 45"*, parce que l'in-
terpolation deviendrait de plus en plus pénible, à mesure que l'angle
du module s'éloignerait de ce terme, et aussi parce que passé 45°>
il convient de prendre Fa plus petit que ^F'c, et de plus en plus
petit, à mesure que l'angle du module devient plus grand. En effet ,
pour que, suivant l'esprit de la méthode, le calcul des fonctions
E^, F<p, soit ramené à celui de deux autres fonctions E/ , Fj-, dans
lesquelles l'amplitude j^ n'excède pas 5 a 6 degrés, il faut que a
n'excède pas 12°. D'après cette base, on peut faire Fa=~F'<7,
depuis 0 = 45% jusqu'à 8=70% et Fa = -^F'c, depuis 0 = 70%
jusqu'à 6 = 82°. C'est ce qu'on trouve aisément par l'équation ap-
prochée — Zlang(45''-}-Y<^a) =«FV, dans laquelle substituant les
valeurs n = YT, c = smjo°y on trouve a=ii''53', de même qu'eu
faisant n = -^, c = sin 82% on trouve a=ii''58'.
177. Nous remarquerons que lorsqu'il y aura lieu de supposer
Fa= Y^jF'c, cette équation peut être résolue par de simples opé-
rations trigonomélriques, sans être obligé de former l'échelle des
modules. En effet, l'angle a^ qui satisfait à l'équation Fa^ = jF'c,
pourra se déterminer par la formule du n" 24, I p.; connaissant sfc^,
il faudra employer les formules de la bissection, pour trouver suc-
cessivement «a et oL^ ou fit. Eusuitc On trouvera les autres termes
par les formules de la multiplication qui ne supposent pas connue
l'échelle des modules. On pourrait même déterminer ces termes
par la simple bissection, savoir: ctg par la formule ordinaire....
tanga6=— 7T, et a, par la bissection de Fctg. Il resterait à trouver
par ces mêmes formules la valeur de «5, ce qui peut se faire au
moyen de l'équation des complémens qui donne d'abord cot a,,
=:è tang a,, et ensuite «s par la bissection de Fa,,.
11 sera encore plus facile de résoudre l'équation F«t = r^F'(;^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. lâig
puisqu'elle n'exigera que les formules ordinaires de la bisseclion.
Nous eu donnerons bientôt un exemple pour le module sin8i°.
178. Pour montrer l'usage de la Table VII, supposons qu'on
demande la valeur de et pour le module sin9 = ^. De celte valeur
du sinus on de'duira d'abord l'angle correspondant
G = i9%47i22 06344 868;
on voit ensuite par la Table, qu'à l'angle du module i9%4 re'pon^
la valeur (p=:9' i5' 37",8366o 10, et les diffe'rences toutes positives
cr(p = 9,956i4 40, cr'<p = 5677 85, cr^(p = 9i4, cr^(p = 8;
faisant donc x = 0,7 1220 6345, et appliquant la formule ordinaire
des interpolations, savoir :
on aura
a = 9°i5'44''j92i6i 5o.
179. Non-seulement la Table VII fait connaître pour chaque
module moindre que sin45°, l'angle et qui donne Fa = -j^F'c; mais
on peut facilement tirer de celte même Table, la valeur correspon-
dante de la fonction Ea. Voici comment on parvient à la formule
ne'cessaire pour cette détermination.
Si on suppose que pour l'angle 9 du module, l'amplitude ^ satis-
fait à l'ëquation F(p = «F'c, n étant un nombre fractionnaire cons-
tant, (p sera en général une fonction de 6; et comme Y(p ou F est
fonction de 6 et <p, on devra faire ^ = (^ "+" 5^ • ^)^ô.. . »
'^ \M "^ \ ' ^J ^^ > ^® ^^^ donnera l'équation
dF i d<p rfP
mais en faisant c= sin 6, les formules de l'art. 43, I p. donnent
d¥ E — F cos' fl sin ô sinipco.scp dY' E' — F'cos^â
dH sinôcosô cgsÔ * A * 1^ ainôcoaô""'
220 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
donc on a
E — Fcos'0 — /z(E' — F'cos'9) = sm'9. — ^ — ~-^ . ^.
ou simplement
T-i T-', • • ,n sin ffl C03 <p sinôcosô d(a
' A A dd
Or, pour chaque valeur de 9 comprise dans la Table VII, on trou-
vera immédiatement le coefficient différentiel ^|, par la formule
où 360 est mis pour la différence o°,i des valeurs de ô, parce que
les différences S(p, cT'cp, etc., sont exprimées en secondes; quant
aux valeurs de G qui ne sont pas comprises dans la Table, on trou-
vera également par interpolation les valeurs correspondantes de S(p y
S*(p, etc., comme on l'a vu dans la quatrième partie, tome II,
art. gi ; donc dans tous les cas, on connaîtra la valeur de Ea qui
répond à l'équation Fa = Y3^F'c.
Dans l'exemple précédent, l'angle du module 4^° est compris
dans la Table; mais les différences qui répondent à 45°, dans le
sens de l'accroissement de la variable ô, n'existant pas, faute de
termes ultérieurs , on y suppléera par les différences dans l'ordre
inverse, comme on l'expliquera ci-après art. igS.
On aura alors
cr<?>=29,8o5i6 98, £r''(p=— 11285 3i, J'^(p=44 10, cr^(p=— 3o,
ce qui donnera ^ = ^â^-^^Z L ~ 0,08294 92892.
Substituant ces valeurs, ainsi que celles de sin^, tang (p. A, dans
1 r 1 T^ 1 TTi I 1 sin'fflcotfZ» 1 d(p
la formule E == 7^ il' -f- ^ • x — r • j^, on aura
A 2A CIO
E = 0,18435 60577, ce qui s'accorde suffisamment avec la valeur
de Ea, dans le tableau de l'art. 173.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 221
§ XIV. Application de la méthode précédente au calcul
de la Table particulière pour le 7/zoc?w/e c = sin8i°.
180. Nous supposerons Fût = 7^F'<?, et nous ferons les calculs
avec toute l'exactitude que comportent les Tables à quatorze dé-
cimales, par la seule méthode de bisseclion, sans faire usage de
l'échelle des modules, quoique cette échelle se trouve dans la
Table VI.
La première bissection de la fonction F'c se fait par les formules
connues, tang«,=^, sin«,=^_Pj^=^^.cosa.=^(^).
Aag= \/by et on a immédiatement les logarithmes de ces quantités,
savoir :
itangûfcg = 0,40283 37793 2i5o, /sinatg = 9,96843 94867 980g,
/Aag... = 9,59716 62206 7850, /cosag = 9,5656o 57074 765g,
les quantités semblables pour a^, se déduiront de la formule
s\na^z=::i~~—j~—-'^ et d'abord pour avoir sin^otg, je cherche
/(i 4- cosag) parla formule qui sert à déduire log(i +A) de logA
logA = 9,5656o 67074 7669 ___ i85 \-\-a.. o,i36o2 o453i 7968
log g... 9,5656o 57453 4709 "^ ~ bÔ6 R 52814616
19641 2960 688 i-+-coa<«g o, i56o2 09815 2674
5o3 o,3oio2 99956 6398
T 4>293i7 oii85 cos»i «g. "9,83499 09856 6176
1 -f- a. . o,i56o2 o453a cos \ «g. 9,91749 64928 5o88
r' 4,1671496653 ^sin«g.. 9,66740 94911 5411
a 9, 66660 37433 sin i «g. . 9,7499 1 39983 o3a3.
7100
R 3,72276 41266
De la valeur Aatg z=\/b , on déduira par un calcul semblable
/(i+Aag).... = 0,14473 54334 2026
o,3ot02 99956 6398
9,84370 54377 5628
VG + ^Aag) = 9,92185 27188 7814
^sin^ag 9,74991 39983 o323
^sina^ =9,82806 12794 2509
t
222 EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL,
on trouvera cos a,^ d'une manière abrégée par la formule
^„^ ■- rns^ _^
A r* 1 ~1 A cosr64-cos^b** aA
cos' «^
1+aL "*" \/(i+6)J 1+^* cosiâ i+A' cosiô ^
OÙ l'on a 0=81°; on aura ensuite tang a^, et A(a^)=:-^^^^
A 9,59716 62206 ySSo
—— T 0,15629456224^72
• cos 1(90" + 8)... 9,86588 68409 8715
cos ^i (90° — &)... 9,99966 5o455 58 II
i.-cos^ô 0,11895 44846 5oo8
cos' a^ 9,73796 71540 9756
cos a^ 9,86898 35770 4878
sin a^ 9,82806 12794 2509
tang «4 9,95907 77025 7631
tang^ûtg 9,83241 85o54 7235
Act^ 9,87354~o8o3o 9604;
on connaît ainsi toutes les quantités sin «4, cosot^, tangot^, Aa^, re-'
lalives au terme a^.
181. Une troisième bisseclion donnera les quantités relatives
à a., par le calcul des formules successives : sin a„ = —-A^—, ,
tang a^ =z /*^ r , Aa„ = — 2-^-^; et pour cela , on fera
o * V^(A«4 -f- cos «^) ' "" tang u^ * ^ '
toujours usage des formules qui donnent log(i H-A) par le moyen
de log A j en voici les résultats :
sina^. y'i. . . . 9,67754 62815 gSiO sin«4 9,82806 12794 2609
V/(l+C0S«4).. 0,12022 18668 3187 l-}-C0S«4 0, 9^0 44 ^7^^^ ^^74
sini«4 9,55732 44^47 6123 tang|«4 9,68761 76457 6i35
\/2.., o,i5o5i 4997^ 3199
9,70783 94126 9322 9,70783 94 126 9322
]/(i+A«{4).. . 0,1211 5 07714 8332 ^(A«4-4-cos«4).. 0,08609 88p,5o 7815
sin «a 9,58668 86411 0990 tang «2 9,62174 06876 1609
cos «a 9>96494 8o535 9481 tang ^«4 9,68761 76467 61 55
A«»a 9^96687 69682 462&
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 223
On procédera de même au calcul des quantile's relatives à a, , par les
formules sm^a.= .-77— r" S , tangla.= — _^— sm^,= / \ /— ,
tangct.= ■ ,,^ ' '- - — r, Aot^ = -— ^ — ; voici les résultats de ce
calcul :
sïna,^.^l 9,43617 36432 7791 sin «, g, 58668 864ii 0990
V/(i+cos<«a).. 0,14192 87786 1774 i+cos*» o,28385 75572 3548
ûn^ci^ 9,29424 4^Q^Q 6017 tang^rfj 9,3o283 io838 744a
\/q Oji5o5i 4,9978 3 199
sin|«2. v/a. .. 9,4447^ 98624 9216 9,4447^ 98624 9216
V/(i+A«!a).. 0,1421 5 17623 45oo v^(A«a -f cos « J 0,1 3322 13749 6833
sin«j 9,30260 81001 4716 tang «1 9,3ii53 84876 2383
tang * «a 9,3o283 io838 7443
^-^i 9>99i29 26963 6059.
Jusqu'ici nous n*avons point cherché les valeurs en degrés des angles
ctgy «4, a,, cti, et nous avons déterminé toutes les quantités qui en
dépendent , par la seule table des logarithmes des nombres , et par
l'application de la formule qui sert à trouver log(i-f-A) par le
moyen de logA; nous continuerons de suivre cette marche, qui
semble la meilleure pour obtenir les résultats les plus exacts, en
n'employant non plus que les formules de la bisseclion, et celles
qui sont relatives aux fonctions complémentaires.
182. Les quantités déterminées pour ct^ feront connaître immédia-
tement les quantités analogues pour son complément a„, au moyen
des formules générales coi'^ = b[a.ng<p, A-vJ^cr: — , sin'v[/=:^^^,
dans lesquelles ou fera Ç) = a^, ^[^==a,^; ou aura ainsi pour a,, les
logarithmes suivans :
tang a„ o,84658 98562 6669
sin a,, 9,99554 27739 5274
cos a,^ 9,14905 29176 86o5
A(a,J 9,52099 16582 6096.
D'après ces élémens, on calculera ceux qui conviennent à a^, ce qui
224 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
donnera les résultais suivans :
ain «,a V/j' • • 9>845i2 77761 2076 sin «,a. ..... 9,99564 27739 6274
V/(i 4-cos«ia) 0,02863 2555o 9193 i+cos«,a. . • . 0,06726 5iioi 8386
5ini«,j. . . . 9,81649 52210 2882 tangi««,j. . , , , 9,93837 76637 6888
o,i5o5i 49978 3199
sin^ «12 . v/s.. 9,96701 02188 6081 9,96701 02188 6081
|/(l+^«,a). . 0,04128 62773 4783 \/(A«ia+COS«,a) 9,77226 3o854 334l
sin «6 9>9^^7^ ^94^5 1298 tangos °>^947^ 7i334 2740
cos «6 9,73096 68080 8558 tangl^^ia 9,93837 76637 6888
A«c 9,74362 o53o3 /^\J^S.
De ces élémens, on de'duira encore par une nouvelle bisseclion,
ceux de «3, comme il suit ;
sm«6-V/î. . • 9^77520 89436 8099 s in «6 9)9^^7^ 394i5 1298
\/(i +cos«f6). 0,09351 04473 6726 1-4- cos «6' • • • 0,18702 08947 3452
sia^«6 9)68169 84963 1373 tangj«6 9)73870 30467 784S
o, i5o5i 49978 3199
sin ^ UQ.y/z. . 9,83221 34941 4573* 9,83221 3494^ 4^72
\/(^i -j- Atce). . 0,09674 62627 8769 \/(A<«6 + cos «s) 0,01918 48742 6726
wn«3 9,7^^4^ 82413 68i3 tangos 9,8i3o2 86198 7846
cos «3 9,92343 96214 7967 tang-j«6 9.73870 30467 7846
A«t3 9,92667 44269 0000
183. Des éle'mens de a^, on déduit ceux de a„ par les formules
des complémeus , savoir ;
tang a,o 0,61091 04252 i56o
sina,„ 9,98734 62777 4410
cos at.o 9,37643 58525 285o
A(a„) 9,45071 191 10 i552,
et de ces derniers, on déduit par bisseclion les élémens de a^
comme il suit:
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5^5
sinrt,o.v/î. . . 9,83683 12799 1211 sin «,„ 9*98734 62777 44io
l/(i+co£«,o)- 0,04634 67607 6243 1 4. cos «,„.. . . 0,09269 352i5 2485
sini«,„. . . . 9,79048 45191 4968 tangi«,o 9,89465 27662 1925
o,i5o5i 49.978 5199
sln{x,^.\/Q. . 9,94099 9^169 8167 9.94099 951^9 8167
\/(l-}-^'«io)-- 0,05399 49^48 2754 \/(A«,o-j-COS«,o) 9,85809 49234 2723
sin «5 9,88700 45821 54«3 tang«5 0^08290 4^935 5444
cos «5 9,80409 99885 9969 tang^«,o 9,89465 27662 1926
A«3 9,81174 81626 6481.
184. Enfin pour trouver les éle'mens de a^ , il faudra d'abord
prendre le complément des éle'mens de a^, pour avoir ceux de a,^,
savoir :
tang a,^ i,i85g2 6971 1 2791
sin a,4 9>99907 ^^9^^ 4^^^
cos a, 4 8,8i5i4 4^242 2064
Aa,4 9,2284554831 1074^
on déduira ensuite de la bissection les résultats suivans ;
«in «,4V/ï« . • 9,84855 60975 i656 sïnu^ 9,99907 10963 4855
y'(i4-cos«,4) 0,01374 30433 6552 i + cos««,4. . . 0,02748 60867 3io5
sin ï «,4. . . . 9,83481 3o54i 5io4 tang | «,4 9^97158 5oo86 1760
o,i5o5i 49978 3199
sini«,4.\/2. . 9,98532 80619 83o3 9,98632 80619 83o3
\/(i -4- /i«,4).. 0,03394 83922 0621 \/(AcCf^~\-cos ci,^) 9,68613 34689 4358
sin«7 9;95i37 96697 7782 tanga^ o,3oo20 4583o 3945
tang à «,4 9,97168 5oo86 1760
^«7 9,67138 04266 7806.
i85. Si l'on joint à ces résultats ceux que donnent les formules de
Gomplémens appliquées aux amplitudes a,, «3, «5, a^, on aura
les logarithmes des quantités sina, tang et, Aol, pour tous les termes
de la suite a,, a^, 0.3. . .ct,Q. Il faut maintenant chercher les valeurs
correspondantes de la fonction Ea, ce qui se fera aisément par les
log-sinus déjà trouvés. Voici le calcul de ces fonctions, où l'on
trouvera de nombreuses vérifications qui prouvent l'exaclilude de
nos résultais.
/
226 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Par la TabJe I, on a log E' = o,oi445 21010 0944» ce qui
donne £' = 1,03378 94625 9087,- substituant cette valeur ainsi
qu« celle de i — Z» = 0,843 56 55549 ^97 7 , dans l'ëquation Ea»
= îE'4-i-(i — b), on aura Eag = 0,93867 749S6 7532. Ce terme
va servir à calculer tous les autres.
Calcul de Ea^ par la formule 2Ea^ — Eag = c^sin* a^ sin otg.
^' 9)9^925 98541 5oi6 Eag = 0,93867 74986 7532
si""*4- 9^65612 25588 5oi8 p 0,41096 22209 ^^^^
sinag. 9,96845 94867 9809 1,34965 971^16^
P 9,6i38o 18997 7843 Ea^ = 0,67481 98598 i835
Calcul de Ea, par la formule aEa^ — Eu^ = c" sin* a^ sin a,.
^' 9;9^925 9^54,1 5oi6 Eu^ = 0,67481 98598 i835
sinX- 9>ï7537 72822 1980 p 0,09787 64965 9827
sin «,. 9,82806 12794 25o9 0,77269 63564 i6"67
p 8,99067 84157 75o5 Ev, =0,38634 81782 o83i
Calcul de Ea par l'équation 2Ea — Ea^ = c* sin* a sin a^.
c* 9*98925 98541 5oi6 Ea, = o,58654 817S2 o85i
siu'^a. 8,6o52i 62002 9432 p o,oi5i7 55589 3074 6
sin a.. 9,58668 86411 0990 ^;^^T5;"i737~71^^5^
P 8,18114 4%55 3438 Ea =z= 0,20076 18685 6952 8
Calcul de Eu, ^^ i°. par l'e'qualion Ea^-j-Ea.^i^E'-f-c^'sina^sina,,.
^*---- 9Î98923 98541 3oi6 E'c == 1,03578 94623 9087
sina^. 9,82806 12794 2509 Ea^ 0,67481 98598 i855
sina... 9,99564 27759 5274 ^:^58^6~96^257;^
P 9^81294 39075 0799 P • • o,65oo4 57264 8663
E(3t,2. . , . = 1,00901 55290 59.15
2'. Par l'équation Ea4 -j- E^g = Est,, -f- c* sin a^ sin a^ sin a,,.
^y«4>.a 9.81294 39075 0799 EagH-Ea4= 1,61549 755^4 9367
sin ag. . . 9,96845 94867 9809 p , .= 0,60448 20294 3456
P 9>78i58 33943 0608 Eût,, ....= 1,00901 53290 5911
Milieu entre les deux résull.: Ea,, = 1,00901 5329a 5913
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 227
CalculdeEds par l'equatioii aEotg — Eot,,= c''sin'a6sina,..
c» 9»98923 98541 3oi6 Ea, = 1,00901 53290 5913
sin'ag. 9,85i44 ySSSo 2596 p 0,68601 01020 8i5i
sina... 9,99564 27759 5274 1,69502 5431 1 4044
p 9,85633 o5iii 0886 Eag = 0,84751 27155 7022
Calcul de Eag par l'équation 2Ea3 — Eag = c" sin" «3 sin ««e-
c» 9,98923 98541 5oi6 Eae . . . . = 0^84751 27155 7022
sin' «3. 9,47293 64827 1626 p 0,24428 69562 5341 I
sin «6- 9,92572 594i5 1298 1,09179 967i"8 2363 i
p 9,38790 02783 5940 Eots . . . . = 0,54589 98559 1181 6
Calcul de E&L,^, i". par l'équat. Ea6+Ea,o=E'+c'sinot6sina,„.
c» 9,98923 98541 3oi6 E'— Eag. = 0,18627 67468 2o65
sin «6- 9,92572 59415 1298 p 0,79856 46352 6023 4
sin *-• 9>9^754 62777 44^0 Ea,,. . . . = 0,98484 i3820 8088 4
p.*.,. 9,90251 00755 8724
2°. Par l'équalion Ea^ + Eatg = Ea,„ 4- c'' sin a^ sin ag sin a,o.
c'sina, 9,57592 84952 4006 Ea^-f-Ea» = i,525o2 56768 8565
sin «g. 9,96843 94867 9809 p 0,54018 4294^ 0271 2
sin a,„. 9,98754 62777 4410 ^^^^ ^ ^ ^ = 0,98484 i587o 8091 8
p 9,55171 4^597 8225
Milieu entre les deux re'sultats: Ea,o = 0,98484 i5820 8090.
Calcul de E^s, 1°. par l'équation 2Ea5 — Ea,^^=:c''s\xv'ct^s\xlot.^^.
c" . . . . 9,98925 98541 5oi6 Ea,o.... = 0,98484 i5820 8090
sin* «5. 9,77400 91645 0826 p o,565ii 26662 8256 5
sin a.,. 9,98754 62777 4410 1,54795 40485 6526"~5
p 9,75059 52961 8252 Eaj . . . . = 0,77597 70241 8i63 3
2°. Par l'équation Ea3-j-Ea5=Ea8+ t'usinas sin as sin «g.
c'sinaj 9,72570 80954 8829 Eotg — Eas = 0,59277 76627 635o 4
sin «5. 9,8870045821 54i5 p 0,5811995614 1811 7
sin^g. 9,96843 94867 9809 ^^^ ^ 0,77397 7o74i 8162 I
p 9,58ii5 21644 4^5 ï
Milieu entre les deux résultats ; Ects = 0^77297 70241 8162 7
228 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de l^a,^^ i°. par l'équat. EaaH-Ea,4==E'-}-c''sinot2sinflt,4;
c*slna, 9,57592 84952 /fOo6 E' — Ea^ = o,64744 12841 8256
sina,^. 9,99907 10953 4^55 p o,57585 70499 8497 ^
p 9,57499 95905 8861 Ea,^. . . . = 1,02327 83341 6755 5
2°. Par l'ëquation Eag -f- Ea^ = Ea,^ -\- c" sin a^ sin «g sin a,^.
c'^sinag 9*9^49^ 57956 45i4 Ea^+Eag = 1,78619 02142 45^4
sin «g.. 9,96843 94S67 9809 ;y = 0,76291 18800 7799 i
sin a.,. 9,99907 10955 4855 £«,,.... == 1,02327 8557i 6754 9
V 9jS8247 45777 8978
Milieu entre les deux résultats: Ea,^ = 1,02527 8554i 6754 2
Calcul de Ect^, 1°. par l'e'qualion :iEa^ — Eaj^rzi^c^^sin^a^sina,^.
c* 9,98923 98541 5oi6 Ea^. . . . = 1,02327 83341 6754 2
sin^tt;. 9,90275 93195 5564 P 0,77816 24478 7589 7
sin ^.4- 9^99907 ^09^5 4855 i,8oi44~07820 4i43 9
p 9,89107 02690 5455 E*7 . . . . = 0,90072 05910 2072 o
2°. Par l'e'quation Ea+Ect^^EcCg-j-c^sinasina^sinag.
c^sina. 9,29184 79^42 7732 Eatg — Ea = 0,75791 565oi 0579 2
sin^y.. 9,93157 96597 7782 p 0,16280 47^<^9 ^492 4
sinag.. 9,96845 94867 9809 Ea, .... ="^90072 05910 2071 6
p 9,21166 71008 5525
Milieu: Eot7 = 0,90072 05910 2071 8.
Calcul de Ectg , i". par l'équat. Ea^ -j-Ectg =E' + c'*SîWa7sin oîg.
(;•.... 9,98925 98541 5oi6 E' == 1,03578 94625 9087
sina^. 9,95i57 96597 7782 Ea^ 0,90072 05910 2071 8
sinctg.. 9>97979 465 II 6o52 ô,i55o6 90715 7015 2
p 9,92041 4^650 685o p o,83255 75612 2635 7
Eag...,. = 0,96562 64525 9648 9
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 229
2'. ParTéqualion Eci-\-Eoi,i = Ea,^-{-c*sinc(,smci^smct^.
c'sina. 9,29184 79542 7732 Ectg+Ea = i,i3945 93672 4485
sin et,. 9,96843 94867 9809 p 0,17381 29546 4837 3
sin«9. 9>97979 465ii 6032 ^^^ __ 0,96662 64325 9647 7
p 9,24008 20922 3573
Milieu : E^g = 0,96662 64325 9648 4.
Calcul de Ea„ , 1°. par l'équat. Ea5 4-Ea,, = E*4-c*sina5sina„.
c- 9,98923 98541 3oi6 E' = 1,03378 94623 9087
sinaj. 9,88700 45821 54i3 £«5 0,77397 70241 8162 7
sina,,. 9,99255 18259 3488 0,26981 24382 0924 3
p 9,86869 626:22 1917 p 0,73891 80274 6692 7
Ea,,.... = 0,99873 04666 7617
2'. Par réqualionEct3-f-Ea8=E:c,,H-c'sina3sina8sina„.
c*sinas 9,72670 80964 8829 Eag+Eaj == 1,48467 73346 8713 6
sin «g.- 9,96845 94867 9809 p 0,48684 Ç>^6S^ 1194 I
sin a.,. 9,99236 18269 5488 e^^^. _ . =0,99873 04666 7619 5
p 9,68649 94082 2126
Milieu: Ea„ = 0,99873 04666 7618 2.
Calcul de Ea,3, i°. par l'équat. Ea3+Ea,3=E'+c'sina3siaot,j.
c*sina3 9,72670 80964 8829 E' — E^s = 0,48788 96264 7906 4
sin a, 3. 9,99776 61945 7967 p 0,62902 14603 8867 2
p 9,72347 32900 6796 Eût, 3. ... = 1,01691 10868 6772 6
2°. Par l'équation Ea5 4- Ea8=Ectj3 + c* sin «5 sin ûtg sin a.j.
c'sinoia 9,87624 44^^^ ^429 Ectg+Eaj = 1,71266 4^228 6694 7
sinocg. . 9,96843 94867 9809 p 0,69674 34369 8921 7
sina.3. 9>9977^ ^^945 79<^7 Ea.3. . . . = 1,01691 108686773
p 9,84244 9^1 7^ 6206
'Milieu: Est, 3 = 1,01691 10868 67728.
:iDO EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
Calcul de Ea,5, i°. par l'ëquat. Ea-|-Ea,5r=E'-|-c*sinûtsina,5.
c*siaa 9,29184 79^42 7732 E'c — Ea = o,833o2 75938 2i34
siaa.j. 9,99977 70162 7274 p 0,19571 53868 3621 8
p 9,29162 497^5 5oo6 Eot,5. ... = 1,02874 29806 5775 8
2°. Par l'ëqualion Ea7-|-E«it8 = Ea,5 4-c*sina7sina8sinai5.
c* 9,98925 98541 3oi6 Eotr-|-Ea,= 1,83939 78896 9603 8
siaa^., 9,95107 96597 7782 p o,8io65 49090 3848 4
sm«g. 9,96843 94867 9809 Ea,5.... = 1,02874 29806 5755 4
sma,5. 9,99977 70162 7274
p 9,90883 60169 7881
Milieu: Ea,5 = 1,02874 29806 5755 6
186. Il ne reste plus, pour compléter notre tableau, qu'à calculer
les valeurs de cp , qui répondent aux logarithmes connus de leurs
sinus ou de leurs tangentes. Il est préférable pour cet objet, d'em-
ployer les log-langentes, principalement depuis 45° jusqu'à 90°; on
se servira donc des formules suivantes , qui paraissent les plus com-
modes dans la pratique:
log tang (p =: log tang â! + r, p=z^Mr,
(p — â! = ^sin2«(i + ;? cos 2âs 4- "l ;»* cos 4^)-
Pour cet effet, on prendra dans la Trig. brit., l'angle a, tel que
Ztang« approche le plus qu1l est possible, en plus ou en moins,
de /tang<p; on calculera avec les Tables à dix décimales, le pre-
mier terme (i)=/?sin2«, qu'on aura soin de multiplier par R°,
pour exprimer la correction (i) en parties décimales de degré,
jusqu'au douzième ordre au moins; de là on déduira les deux autres
corrections (2) = (1) ./?cos 2«, (3) = (1) . i/?'cos4â5, et du tout
on formera la valeur de <p — a, en observant les signes que doivent
avoir les termes, suivant ceux des facteurs p, cos2^, cos 4«.
C'est ainsi qu'ont été calculées les valeui^ de (p qu'on voit dans
la Table; elles sont bornées à la douzième décimale de degré, ce
qui est un degré de précision correspondant aux quatorze décimale»
des log-tangentes.
I
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 25i
Voici un des calculs de ce genre que nous donnons pour exemple.
?>=a4 /tangcp = 9,95907 77023 7631
angle approc. a =42% 3o .. / tang a = 9,95900 79781 2573
/ lang A= l tang a -\- r. , . . r =z 6 97242 5o58
r. . . . 5M^^^ 58549 9
^M.. 0,06118 56930 4
20=. 84.60 â!+(l)=42° 30457 88928 o5l
40=169.20 (2) + 345 906
p.... 5,90456 95480 3 (^) ZZ ^
sin2fl 9,99806 82960 5 (p =42>3o457 89275 764
R°... 1,75812 26324 I
(i).. 7,66076 04764 9 7,66076 0
p.... 5,90456 9548 /7* 1,80913 g
cos2a 8,97562 799 ^cos4« 9>Sï6i4 7
(2) . . 2,53895 801 (3) 9,28594 6.
187. La formule dont nous venons de donner une application
suppose qu'on peut négliger les termes de l'ordre p'^ , ce qui aura
toujours lieu lorsque l'angle <p sera au-dessus de 5°. Dans tout autre
cas, la quantité tang (f) étant très-petite, on fera làng(p = t , et on
calculera (p par la suite ordinaire <p=.t — jt^-\-\t^ — ^i^-j-elc. ,
dont tous les termes devront être multipliés par R% et qui sera alors
fort convergente. On ferait la même chose pour tang (90'' — (p), si
^ était très-près de 90".
Par exemple, pour calculer l'angle a, 5 par le moyen de son
log-tang., soit A le complément de a, 5 et tang A=£; on aura
log t = 8,5o587 09288 8o83,
et A = R"'^(i --i<»-f-|-^^ — ii«-|,ii«). Voici les logarithmes de
ces cinq termes, et les nombres correspondans exprimés en degrés
et décimales de degré.
a^2 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
(i)... 0,26399 356i2 9000 (i) = i»8365i iii56 2465
(2)... 6,79861 41643 3 (2)... — 62 89471 6567
iT83588 21684 58^
(S)... 5,5885o 7272 (3)... + 3877 1024
2556i 6922
(4)... 0,45412 II (4)... — 2 8452
25558 8470
(5)... 7,35672 (5)... + 25
A = I, 83588 25558 8495
donc a, 5 = 88° 16411 7444 ^ i5o7.
188. Au moyen du tableau que nous venons de construire, la
détermination des fonctions E et F pour toute amplitude proposée <p,
peut être ramenée immédiatement aux cas où l'amplitude proposée
est moindre que 6°; car en choisissant pour a le terme de la taWe
qui approche le plus de (p (celui au moins pour lequel la différence
F(p — Frt est la plus petite ), on aura toujours F(p — F<5r, ou ^J<C.jzF'c,
et par conséquent j-<<6".
Nous avons donné dans l'art. 174 les formules nécessaires pour
calculer les valeurs des fonctions ¥jJ- et F^, lorsque l'angle j^ est
d'un petit nombre de degrés. Mais lorsque jr approchera de la limite
6% ces formules, dans lesquelles on a négligé les termes de l'ordre^^
ne pourront guère donner que dix décimales exactes, et il faudrait
les prolonger jusqu'aux termes j"" ou mémej''^, pour avoir un degré
d'exactitude égal à celui de notre tableau. Pour éviter cet inconvé-
nient, et réduire tous les calculs aux formules ordinaires d'inter-
polation, il faudra construire une seconde table qui contienne les
valeurs des fonctions E et F pour des amplitudes croissant par de
petits intervalles, depuis 0° jusqu'à 6°.
Cette table, que nous appellerons la table n° 2, pour la distinguer
de la table n° i , que nous avons déjà construite , peut se calculer
de demi-degré en demi-degré, par les formules de rarlicle cité,
sauf à leur donner plus d'étendue , lorsque l'angle jr devient plus
grand; mais nous préférons de la calculer ici par la méthode du §IV,
qui peut également servir à calculer la table principale n° i.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 255
Il suffira pour notre objet de calculer les valeurs de (p et de E(p
qui répondent aux différentes valeurs n=^i , 2, 3,. ..12, dans
l'équation F(p = — .p"; car de celte manière les valeurs de (p
croîtront par des intervalles moindres qu'un demi-degré, et l'inter-
polation pourra être faite avec toute l'exactitude qu'on peut désirer,
pour toute valeur de 7i moindre ^ue 12.
189. Cherchons d'abord l'amplitude € qui satisfait à l'e'quation
F^ = -ij.Ç^ = z, où Ton a log«= 7,92826 01 865 49o3. Le moyen
le plus simple est de résoudre l'équation suivante dans laquelle on
a négligé les quantités de l'ordre Q^ qui n'entrent pas dans les
quatorze premières décimales,
on en tire
€ = « — icv^ + ^i^^ — ê-,
6 ' 3o • 120 '
ensuite on aura Eê par l'équation
E^4-FC = 2g + ^^5;
substituant la valeur connue de t, il en résulte
^ = 0,00847 72523 60254
F^ = 0,00847 73514 11832
EÇ = 0,00847 71533 10760,
on aura en même tems la formule
d'où l'on déduit la valeur de C en parties décimales de degré, comme
il suit :
€ 7,92825 '51119 09746
R° 1,75812 26324 09172
9,68637 77443 18918
^...=o°4857i 07821 09868.
Maintenant, pour construire la table dont il s'agit, il faut reprendre
les formules de l'art. 94 ci-dessus.
234 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
190. Soient (p% <p, (p', trois termes consécutifs de la suite ^t, C»,
€3, etc. qui re'pond aux valeurs successives /z= i , 2,3, etc.; on
déterminera k par l'équation -^-r == ^csinC=^p, qui donne
log.= log^^+.(i.;,'4-i^.f+,^.^^ + e.c.>
si ensuite on fait J^*^° = — 2ûe), on aura pour déterminer a l'équation
sin Cl) = k sin (2<p — a»),
ou la série
û) = Â: sin 2:p - — ^ k" sin 4<?' + y ^'^ sin 6<p — etc.
Enfin pour déterminer E(p', on observera qu'àréquationF(f:+F€'=F(p',
correspond l'équation EC+E(p=E<p'-}-c* sin ^ sin (p sin (p', d'où résulte
E(p' = E^ -f- E:p — c" sin C sin (p sin (p'j
quant aux coefficiens qui entrent dans ces équations, voici leurs
logarithmes :
k 5,24369 490^4 2596
kK° 7,00181 75388 35i3
Ik'K"., 1,94448 24496
ikm\. 7,01208 6
sin^... 7,92824 99102 2144
c'sinC. 7,91748 97645 5i6o.
191. D'après ces formules, nous allons procéder aux calculs né-
cessaires pour former la table n° 2.
Calcul de ^^ et E^^.
Il faut, dans les formules^ faire (p° = o, <p = C, et on aura
<p' = ^,. On observera d'ailleurs que les tables à dix décimales suf-
fisent pour calculer le premier terme de la valeur de a; mais à
cause de la petitesse de l'angle 2(p , il conviendra de calculer son
log-smus par la formule du n° 147^ et on aura la valeur de C^ par
le calcul suivant:
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^55^
sin2!p.
(i).....
8,22926 45006 7
7,00181 75388 3
5,23 108 18395
8,53o23 19
1,94448 24
(1)... =
(2)...
(5)...
û) , . . .
c^'r- • =-
o°ooooi 70247 92974
— 2 98342
4- 5
sin4<p.
i^•R^
0,00001 70244 94637
—OjOOooS 4*^4^9 ^9274
0,48571 07821 09868
(2)...
0,47471 43
(p =
0,48567 67331 20594
0,48571 07821 09868
sin 6(p .
8,70622
7,01209
^.=9' =
0,971 38 751 52 30462.
(3)....
5,71831.
Pour avoir E^a, il faut calculer le terme c* sin C sin (p sin (p', ou
c' sin*^ sin (p'; mais, dans la vue de faciliter le calcul de ^3, on
cherchera à la fois les logarithmes de sin(p' et cos^', par les formules
de l'art. 147, ce qui donnera les résultats suivant :
Ry 9^98759 25174 o
R° 1,75812 26324 I
<P' 8,22926 98849 9
(i)... = 0,00006 24157 343
(2)... 29 901
(3)... ^
cosfp'.. — 0,00006 24187 246
<p'^ 6,45853 97700
9,33675 43 I 56
(1) 5,79529 4o856
(p'^f 2,91707 95 (p'8 9,37562
8,5586o 3i 7,9^457
(2) 1,47568 26 (3) 7,36019
^(1)= 0,00002 o8o52 448 c" sin* € 5,84575 96746
Ts (2) • • I 993 sin (p' 8,22924 90795
2 08054 44 I
(p' 8,22926 98849 9
sin(p'.. 8,22924 90795 46
cos(p'. — 6 24187 25
2 o,3oiG2 99956 64
sin2cp'.. 8,53o2i 66564 ^5
z. 40749S 87541
2E^ = 0,01695 43066 2l52
Z 11884 7145
E^a= E^' = 0,01695 5ii8i 5007
256
AR» 7,00181 75588 55
(i) 5,552o3 41953 20
4;p...= 5=55' 7"98
siu4(p.. . 8,85099 70
ii9444^j4
(2) 0,77547 94
6p... = 5° 49' 42"
sin6<p.. . 9,00667
7,01208
(5) 6;^8^
sin(p'... 8,40528 89681 5ï
cos(p'. .. — î4 0434^ 06
2 o,5oio2 99956 64
sin2(p'.. 8,70617 85297 09
+
5 96520
10
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de €3 et E^s-
11 faut, dans les formules, faire (p°=^, (p = ^,, et on aura (p'=C;
Dans ce cas, sin 2(p devient ce qu'était sin2(p' dans le cas précédent.
sin2p... 8,55o2i 66564 QS (i)... = o°oooo5 40434 99370
(2)..
(5)..
Cù.. .
j'(p° .
c^sinC . .
sin (p. . . .
sin(p'. . . .
z
E(p. .. =
z . . . .
E^3=E!p'= 0,02542 67067 2122
Calcul de €^ et YÂ^.
11 faudra faire (Po = ^., (p=:^3, et on aura (?>'— ^4. Voici le calcul
d'après ces données , en suivant la même marche que dans le cas
précédent.
(■)...=
(2)..
(3)..
Où. . .
cT^p..
(p..
= o,oooo5 40429 o5o6o
= — 0,00006 8o858 06120
0,48567 67351 20594
= ^856o"86473 14474
= 0,971 58 75i52 50462
:rr 1,45699 61625 44 9^^
•.. 7^9^ 74s 97645 5
. . . 8,22924 9079^ 5
. . . 8,40528 8968^
4,55202 78120 5
0,01695 5ii8i 5007
847 71533 1076
— 35647 3961
sin 2?5.. 8,70617 85297 09
hVC 7,00181 75388 55
(1} 5,70799 6o685 44
4(p...= 5° 49' 40" 74
sin4?>.- • 9,00664 65
1,94448 24
(2) 0,95112 89
6<p....^ 8'44'3i"i2
sin6<p.. . 9,18180
7,01208
(3) 6,19388
o,oooo5 io5oo 37866 o
— 8 93570 7
-f- i5 6
o,oooo5 10491 443 ïï
— 0,00010 20982 88622
o,4856o 86473 14474
o,4855o 65490 25852
1 ,45699 61625 4495_6_
^4=^'= i79425o 27115 70788
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aS;
sîtKp'... 8,53oi5 58oo4 64
cos<p'... — 24 96407 81
8,52990 61596 85
o,3oio2 99956 64
sin2!p'.. 8,83093 61 553 /^'j
sin <p,
sin (p'.
j....
7591748 97643 52
8,4o528 89681 5i
8,5 3qi 5 58oo4 64
4,85293 45329 67
E?). . . = 0,02542 67067 2122
E^. . . 84.7 71553 1076
0,03390 38600 3 198"
jr 71274 558o3
E64=E(p' == 0,03389 67325 y6i 77
Calcul de Cs et E^s.
Il faut faire dans les formules (^" = ^3, (p:=^^, (p' = ^5j ce qui
donnera les résultats suivans ;
sin2(p... 8,83093 61 553 47
AR° .... 7,00181 75388 55
(i) 5785275 36941 82
4(p...= 7»46'i2"o59
sin 4^.- • 951^096 70
1,94448 24
(2) 1,07544 94
6p... = ii°59i8"
sin6;p. . . 9,5o539
7,01208
(3) ^;3774^
sincp'... 8,62697 33896 5o
cos^'... — 39 00237 ^Qi
8;6H658~55658~74"'
o,3oi02 99956 64
sin2<p'.. 8,92761 3561 5 38
(i)... o«oooo6 8o383 37650
(2)... — Il 89733
(3)... 4- 21
ft). .
ê^(p. . . 0,48537 04747
<p. . . . 1,94250 271 15
Cs=<p'= ~2^i2j8j 3i863 00764
0,00006
-0,0001 3
o,4855o
0748537
1, 94250
80371
60742
65490
479^8
95876
25852
29976
70788
7,91748 97643 52
8,53oi5 58oo4 64
8,62697 35896 3o
5,07461 89544 4^
o,o3389 67325 76177
847 71533 10760
0,04237 58858 86957
J" " I 18745 99o5o
E^5=E(p'= 0,04236 20 1 1 2 87887
JC
c^sin^
sin (p..
sin <p'.
E(p. . .:
a38 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de Cq et E^g»
II faut faire <p° = ^4, (^ = ^5, (p' = ^6-
sin2(p... 8,92761 556i5 58 (i).. o'ooooS 5oo25 4^709
AR» . . . . 7,00181 75588 55 (2) . . — 14 84446
(i) 5,92945 09005 73 (3).. + 26
4<p...= 9*42'4i"374 &>....=: 0,00008 5ooo8 59289
sin4?)..- 9,22708 19 /"«p' = — 0,00017 00017 18578
1,94448 24 J'(p\ . 0,48557 04747 29976
(2) 1,17156 45 (^(p.,, 0,48520 04750 II 598
6(p...=: i4°54'2" 0 2,42787 5 1865 00764
sin6ip... 9,4oo56 5 Cg=(p'z=: 2,91307 56595 12162
7,01208 6
(3) 6,4i265~T c*sin^ 7j9ï748 97^43 52
sin (p. 8,62697 33896 3o
sîntp'... 8,70604 17 102 24 sin(p'. 8,70604 17 102 24
cosç)'. .. — 56 i5658 97 j".... 5,25o5o 48642 06
8,70548 01463 27
o,5oi02 99956 64 E(p. . .= 0,04256 20112 878S7
sin2(p'.. 9,oo65i 01419 91 E^... 847 7i553 10760
o,o5o85 91645 98647
j. ... I 78054 78498
E^6=E(p— o,o5o82 i36ii 20149
Calcul de C^ et Eé";.
Il faut faire (p° = ^5, (p=^6, <p' = ^7.
sin2î)... 9,oo65i 01419 91 (O** CoGOio 19360 21849
AR° 7,00181 75588 55 (2)... — 17 77351
(i) 6,oo832 76808"^ (3)... H- 3i^
4(p . . .== ii°59'8"26 (»....= 0,00010 19342 44529
sin4(p-.. 9,3o529 09 cr'(p° .= — 0,00020 58684 89058
1,94448 24 Sr. . o,4852o 04750 II 598
(2) 1,24977 55 ^<p... 0,484996604522340
6(p...= i7°28'42"4 <p.... 2,9i5o7 56593 12 162
sin6^... 9,47765 6 ^,=-.9'= 3,39807 oT638 345o2
7,01208 6
(3) 6,48972 2
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
sm(p\.. 8,77285 5og5g 6g c'sinÇ 7,91748 97643 52
239
COS(p'. .. 76 4^378 12
8,77209 o858i Bj
o,3oio2 99956 64
sia2<p'.. 9,07312 08538 21
smip.
sin^'.
E(p...=
J-
8,70604 17 102 24
8,77285 50959 69
5,39638 65705 45
o,o5o82 i36ii 20149
847 71553 10760
0,05929 85 144 ^0909
2 49^07 36652
E^7=E(p'= o,o5g2 7 56o36 94^57
Calcul de ^g ^t E^g.
II faut faire <p'' = ^s> ^ = ^7j <?>' = ^8.
sin2(p... 9,07312 o8538 21 (i).
AR° 7,00181 75388 35
(r) 6,07493 83926 SG
4(p...= i3°35'32"2i2
sm4(p... 9,57108 85
1,94448 24
(2) 1,3 1557 09
6(p...= 20»23' i8''3
sin6(p.. . 9,54205 6
7,01208 6
(3) 6,55414 2
sin (?'... 8,83069 3i864 4i
cos(p'. .. — . 99 80178 85
8,82969 5i685 56
o,3oio2 99956 64
sln2(p'.. 9,1 3072 51642 20
(2).
(3).
Ct>. . .
<p...
c^s'inC
sin (p.
siui^'.
j. . . .
= o'oooii 88353 643o4
— 20 68097
-{- 36
= 0,00011 883 12 96243
= — 0,00023 76625 92486
0,48499 66045 22340
0,48475 89419 29854
3,39807 02658 34502
= 3,88282 92057 64356
7>9ï748 97645 52
8,77285 50959 69
8,83069 3 1864 4i
5,52 io3 80467 62
E(p. ..= 0,05927 36o56 94257
E^... 847 71533 10760
0,06775 07570 o5oi7
jr.... 5 31923 53474
EC,=:E<p'z= 0,06771 75646 5154"?
24o EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
Calcul de C^ et E^g.
On fera dans les formules (p° = ^^ , <p = ^g , (p' == C ,
sin2(p. . .
9,13072 51642
20
(1)..=
o°oooi3 56883 942655
ÀR- . . . .
7,00181 75388
35
(2)..
~ 23 5633io
(0
6,1 3254 27030 65
(3)..
+ 406
4?>...=:
: l5°3l'52"74
O) =
0,0001 5 56860 37973
sin4<p.. .
9,42775 39
S'r-—-
-0,00027 13720 76946
1,94448 24
S(p\,
8,48475 89419 29854
w
1,37223 63
j'(p..=
0,48448 76698 53908
6?)...=
23M7'49"ii
3,88282 92067 64356
sin6(p.. .
9.59714 3
7,01208 6
ç'....-
4,56731 67766 18264
(3)
6,60922 9
c'sin^
sin (p.
7*91748 97643 52
8,83069 3 1864 4ï
sin(p'. . .
8,88167 i43o4
00
sm(p\
8,88167 14504 oo
cos<p'.. .
— 126 28722
8,88040 8558 I
98
02
r----
5,62986 43811 93
o,3oio2 99956 64
E(p...=
0,06771 76646 5i54S
sm2(p'. .
9,18143 85537
m
Eê...
j. ...
847 71533 10760
0,07619 47^79 623o3
4 26436 61080
0,07616 20743 11225
Calcul de ^,„ et Eé",,.
Il faudra faire (p'== ^8, (p = ^g, (p'=^,o.
sin2(p... 9,18143 85637 ^^ CO • •= o°oooi5 249^1 71463
kR°. ... 7,00181 76388 55 (2).. — 2641707
(1) 6,i8326 60926 01 (3).. + 45
4(p. . .=i7''28'9"362 &)....= 0,00016 24926 29801
sin4^... 9j4774<^ ^3 (^"(p" .=: — o,ooo3o 49860 69602
1,9444824 -cr<p°. . 0,48448 76698 55908
0,48418 26847 94506
4,36731 67766 18264
4,85 149 93604 1267a
(5) 6,66708 2
W 1,42188 47
6<p...~ 26^12' 14''
sin6(p... 9,64499 6
7,01208 6
cr(p...
(P'...:
sîn(p)'.
COS (p'.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
8,92723 4^549 55 c"sin^ 7,91748 97643 52
sin (p.
sin(p'.
241
. __ i55 87650 45
8,92567 54899 10
o,3oio2 99956 64
sin 2^'.. 9,22670 54855 74
8,88167 14304 00
8,92725 4^549 55
j....
E(p...=
E^...
jr....
5,726^9 54497 07
0,07615 20743 I 122.3
847 71535 10760
0,08462 92276 21985
5 32592 99449
0,08457 59683 22534
Calcul de ^,, et E^,,.
9,22670 54855 74 (1),.=
7,00181 75388 35 (2).
sm 2(p.
(I)...
4(p...
sia4<p
(2). . .
60...
sin 6(p
. . 6,22852 30244 09
= i9°24'2i"59i
... 9,52147 79
1,94448 24
. . 1,46596 o3
= 29° 6' 32" 4
.. . 9,68705 8
7,01208 6
(3).
(Û. . .
cTfp.
o°oooi6 92477 96990
■— 29 23885
+ 5o
= 0,00016 92448 731 55
=— o,ooo33 84897 463 10
0,48418 25847 94306
o,48384 40950 47996
4,85 149 93604 12570
= 5,33534 54554 6o566
(3) 6,69914 4
sintp'... 8,96841 19250 40
cos<p'.., — 188 56559 56
8,96652 62690 84
o,3oio2 99956 64
sia2(p'.. 9,26755 62647 48
7j9I748 97643 52
8,92723 42549 55
8,96841 19250 40
5,8i3i5 59443 47
0,08457 59685 22534
847 71535 10760
0,09505 5i2i6 53294
6 5o333 22802
E^,,=E9'= 0,09298 8o885 10492.
c*sin^
sin (p.
sin:p'.
j. . . .
E(p?..=
E^...
J-
H^ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Calcul de C\^ et E^^,.
sia2cp... 9,26755 62647 4^ (0 • • =
^R° 7,00181 75588 35 (2)
(i) 6,26937 38o35 85 (^)
4(P...= 2I°20'28"946 ù)...
sin4^.-. 9,56ioi 06 ^^'P°
i_^448^ Sr.
(2) i^5o549 ^^ ^^ •
6p... = 32°o'43"4 (p. ..
sin6(p... 9,72455 9 ^^^_^^_
7,01208 6
o°oooi8 59404 18279
— 32 02529
+ 54
0,00018 59372
-0,00037 18744
0,48384 40950
0,48347 22206
5,33534 34554
i58o4
31608
4799^
i6588
6o566
(3) 6,75644 5
sincp.
E^. . .= 0,09298 80885 10492 sin^'.
847 71555 10760
E^
J
0,10146 52416 2 1252
7 79%! 06614
r-
5,81881 56760 76954
7^9^748 97645 52
8,96841 19250 40
9,00596 51642 04
5,89186 68555 96
E^' o,ioi58 72825 14658 = E^,».
192. Pour vérifier tous ces calculs, nous allons chercher direc-
tement la valeur de (p qui satisfait à l'équation F(p = j^F'c, ce qui
se fera en déduisant p par bissection de la valeur de a qui satisfait
à l'équation Fa = -rgF'c. Il faut donc déterminer <p d'après l'équa-
tion sin(» = — 7 — -, — r, où l'on connaît les logarithmes suivans:
sin a 9,30260 81 001 47^6
cosa 9,99106 96126 2535
Aût 9>99^^9 25965 5o59.
On en déduira la valeur de Isïnp et ensuite celle de <p, par les
calculs suivans :
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 245
sina|/Y.... 9,i5209 3io23 i5ij i+A.. 0,29669 81 159 01 14
l/(i+cosa) 0,14829 38779 9495 2 o,3oi02 99956 6398
sin^ot 9,00379 92243 2024 9>99566 S1202 3716
9,99783 40601 i858 /G+IA) 9,99783 40601 i858
sin(p 9,00596 51642 0166 az=: 5° 82 ZsinA=/siQ« — r
sina 9,oo6o5 32445 4882 2^=11.64 i^M
— — — ■ — r cos^a*
/• = 8 80803 4716
ç = a — ;osin2^f I — pn-p • 3 /
r 5,94487 90176 7 « — (0= 5°8i88i 55547 2720
^M 0,06118569304 (2) + i2i3 58o4
i:cos"^ 0,00448885129 (3) — 846
p 6,oio55 35420 o (p == 5,81881 56760 7678
sin 2« 9,3o483 88245 7
R° 1,75812 26324 I On voit que celte valeur de (?
(i) 7,07351 49989 1" s'accorde Irès-bien avec la va-
p 6,0 1 o55 35420 ^^"^ trouvée pour ^„ , puisque
^ , - — ; la différence est à peine de deux
(2) 5,08406854 -,' A' ■ 1 ^ . •-
^ '' ' ^ ^ unîtes décimales du treizième
^ .* ' \ 'ov /- ordre, ou du quatorzième chiffre
4(2-f-4sm'a) 9j85274_96 significatif.
(3) 8,92737 17
La valeur de E(p se déduira en même tems de celle de Eût, par
l'équation 2E(p — Ea = c'*sin'^sina, dont voici le calcul:
t'usina. 9,29184 79542 7735 Ea = 0,20076 i8685 6953
sin'^ç».. 8,01193 03284 o332 j 201 26964 5971
J" 7>5o377 82826 8067 0,20277 4565o 2924
E(p = o,ioi38 72825 1462,
valeur qui s'accorde encore aussi bien avec celle que nous avons
trouvée pour EÇ,^.
Suivent les deux tableaux qui résultent des calculs précédens.
^44
EXERCICES DE CALCUL L^TÉGRAL.
■
TABLE rs° L
«1
«3
a,-,
«,,
«,4
«■6
<p.
E^
log. sin (p.
log. tangç).
log. A(p,
11° 579 53 76689 08
22.71 143 002Cj4 02
33.o3o8i 64164 44
42.30467 89270 76
60.43582 07019 71
57.43686 36982 91
63. 3a 1 36 68461 87
68. 4203 1 26776 96
72.66772 79622 17
76.23603 20762 60
0,20076 18685 6953
0, 38634 81782 c83i
0.54689 98359 1182
0.67481 98698 i835
0.77397 70241 81 63
9
9
9
9
9
3û26o 81001 4716
58668 86411 0990
'j'5646 82413 58i3
82806 i2,j()4 2609
88700 45821 54-1 3
9.311 53 84875 2383
9.62174 06876 1609
9,8i3o2 86198 7846
9-95907 77023 763a
0.08290 459-6 5444
9,99129 26963 6069
9,96687 69582 4626
9.92667 44269 0000
9,87354 c8o3o 9604
9.81174 81626 6481
0,84761 27166 7022
0,90072 03910 2072
0.93867 74986 7532
0.96662 64326 9648
0.98484 i382o 8090
9
9
9
9
9
92672 39416 1298
96137 96697 7782
96843 94867 9809
97979 465 11 "6o32
98734 62777 4410
0. 19476 71 334 2740
o,3oo2o 4583o 3g46
0,400.83 37793 2i5o
0,60646 29766 o355
0,61091 04262 1 56o
9.74362 o63o3 4148
9.67138 04266 7806
9.69716 62206 7860
9.62296 20167 7^9^
9,46071 19110 1662
79.27866 36949 060.99873 04666 7618
81.89740 60723 431.C0901 53290 6913
84.19245 20890 68,1.01691 10868 6773
86.25392 71B09 91 il. 02327 83341 6764
88.16411 74441 161.02874 29806 6766
90.00000 ooooo 00 1,03378 94623 9087
9
9
9
9
9
0
99235 18269 3488
99664 27709 6274
99776 61945 7967
99907 10953 4866
99977 70162 7274
ooooo coooo 0000
0.72276 29660 8856
0,84668 98662 6669
0,99263 89387 6454
1 , 18392 69711 2791
1,49412 90711 1917
Infini.
9,38268 4P786 9219
9.32099 16382 6096
9.26865 80144 6700
9.22845 6483 1 1074
9.2o3o3 98460 0641
9. 19453 24413 6700
TABLE rs° U.
o
1
2
3
<p.
Diff. I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
o"oooco ooooo 0000
0.48671 0782 1 0987
0.97138 761 62 3046
1.45699 61626 4494
48671 07821 0987
48667 67331 2069
48660 86473 1448
48660 65490 2686
3 40489 8928
6 80868 0611
10 20982 8863
i3 60^49. 9688
3 4o368 i683
3 40124 8262
3 39760 0726
3 39274 2269
243 343 1
364 7627
485 8456
606 6220
121 4096
121 0929
120 6764
120 1487
3167
4i65
6277
6200
4
5
6
7
9
lO
1 1
12
n.
1.94260 27115 7079
2.42787 3i863 0076
2.9i3c7 36693 1216
48537 04747 2997
48620 04730 1 i4o
48499 66045 2234
17 C0017 1867
20 38684 8906
23 76626 9248
3 38667 7049
3 57941 0342
3 37*094 8348
726 6707
846 1994
964 9980
119 6287
ii8 7991
1 17 9706
7296
8286
9266
3.39807 02638 3450
3.88282 92067 6436
4.36731 67766 1826
48476 89419 29^6
4S44S 75698 5390
48418 26847 943 1
27 i3790 7696
3o 49850 5969
33 84897 4'63'i
3 36129 8365
3 35o46 8672
3 33846 853 1
1082 9691
1200 0141
1 17 c45o
4.86149 93604 1267
5.33534 34554 6067
5.81881 56760 7696
48384 40960 4800
48347 22206 i638
37 18744 0162
E(p.
DifF. I.
IL
m.
IV.
V.
VI.
■
2
3
0.00000 ooooo 0000
0.C0847 71533 1076
0.01696 3u8i 6007
0.02642 67067 2122
847 71633 1076
847 6q648 3931
847 35886 7116
847 00268 6496
11884 7145
23762 6816
35627 1619
47471 4326
1 1877 9671
11864 4803
I 1844 9706
11817 3620
i3 4868
20 2097
26 9086
33 5760
6 7229
6 6-989
6 6664
6 6262
240
325
412
4G3
4
5
6
7
8
9
0.05389 67326 7618
o,o4236 20112 8789
0.06082 i36ii 2oi5
846 62787 1171
845 90498 3226
845 22426 741 i
59288 7945
71072 58i5
82816 i683
11783 7870
11743 5868
1 1 696 8077
40 2002
46 7791
53 3ooo
6 5789
6 6209
6 4579
58o
63o
706
0.06927 36o36 9426
0.06771 76646 6164
0.07815 20743 1122
844 39609 6728
843 4'5o9'6 5968
842 38940 1 1 3 1
94612 9760
1 "06156 4837
1 17740 2335
1 1643 6077
11 583 7498
11617 6046
59 7^79
66 1452
1
6 3873
10
II
12
0,08467 69683 2253
0.09298 8o883 1049
0. 101S8 72826 1464
841 21 199 8796
839 91942 041 5
1 29267 838i
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 245
La table n** 2, construite au moyen des résultats préce'dens ,
contient les valeurs des quantite's (p et E(p, avec leurs différences suc-
cessives jusqu'à la sixième, correspondantes aux diverses valeurs
/i=:o, I, 2.. ..12, pour lesquelles on a F<p = — . ^-. C'est par
l'interpolation de celte table qu'on pourra trouver la valeur de (p
et celle de E^, correspondantes à toute valeur de n moindre que 12,
.c'est-à-dire à toute valeur de F^ moindre que 3tF'<?.
Il semble d'abord que la série des quantités <p et E<p devrait être
continuée pour les valeurs /ï=i3, 14.... 17, afin qu'on pût ea
déduire la suite complète des différences, jusqu'à «=11 , et qu'ainsi
l'inlerpolalioa entre deux termes consécutifs quelconques de la table
ne dépendîtque de la formule ordinaire j=A+.r(crA-f-^fcr*A-f-etc.
Mais en y réfléchissant un peu, on voit que ce nouveau travail est
inutile, et qu'on peut y suppléer aisément par une considération
générale qui s'applique à tous les cas semWables.
ig3. L'usage que nous avons constamment suivi dans la table
>i° 2, ainsi que dans toutes les autres que cet ouvrage contient
est de placer sur une même ligne horizontale la fonction A et ses
différences successives cTA, (^''A, cT^A, etc., qui naissent de l'ac-
croissement constant de la variable a, contenue dans la première
colonne (ici la variable a devient n et sa différence constante est i ).
Pans cette hypothèse, Ja fonclion qui répond à la variable a-U-jc
comprise entre a et «-|-i, est donnée par la formule ordinaire
j = A H- j: (cTA -^ etc.
Mais si, au lieu de considérer les vajûables dans l'ordre crois-
sant a , a -}- 1 , «4-p, etc., on les considère dans Tordre décrois-
sant «H- 1^ rt, <z— I, ^ — 2, etc., et qu'on désigne toujours par
A", A, A'', A°% etc., les fonctions correspondantes, l'expression de
la fonclion j correspondante à la variable a-^x, sera donnée sem-
blablemenl par la formule
j = A' + (. - ^) (A - A') + il^-li—) . (A» __ ,A + AO
.-+ ■" a. 5 (A°" - 3A'+ 3A ~ A') 4- etc. ,
5iG EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
qui se réduit à
j=X'+{x- i)j^A+ ^=^^ «T'A» + £nli£^^-±i <r3A"-
nouvelle formule dans laquelle les diffe'rences cTA, «T^A", cT^A"", elc;
sont les mêmes et de même signe que celles qui sont ainsi de'signées
dans la table; mais on voit qu'elles ne sont plus disposées sur la
même ligne horizontale, et qu'il faut monter d'une ligne pour passer
[ d'une différence à la différence suivante.
C'est donc avec le secours de cette nouvelle formule qu'on sup-
pléera très-aisément aux différences qui manquent dans les lignes
horizontales de la table n° 2, passé «=6. Depuis « = o jusqu'à
71=6, on se servira pour Tinterpolalion de la formule ordinaire
j-= A + xJ'A •+- ^ '^~~ cT^A + etc. ; mais depuis w = 6 jusqu'à
71=12, il faudra se servir de la formule j = A' -\- (x — ï)J'A
œ—i .X ^.^^„ x—i -.r ■£+_]_ J^3^oo j^ ^^^ ^^ ^outes les dif-
2 2.0 '
férences sont données par la table, en montant graduellement d'une
ligne pour passer d'une différence à la suivante.
Dans les tables où toutes les lignes horizontales des différences
sont complètes, il sera indifférent de se servir de l'une ou de l'autre
formule pour chaque interpolation. La première cependant semble
devoir être préférée, lorsque oc sera <Ct) et la seconde lorsque x
sera >j.
11 reste à faire voir par quelques exemples l'usage des tables que
nous venons de construire.
194. Cherchons d'abord l'amplitude (p et la fonction E^^ qui ré-
pondent à l'équation F(p=^F'6'. Puisqu'on a ^. 16=5^, on voit
qu'en faisant Fà = -j^ F 'c, VfJL=:{^Y'c, on aura F(p=FÀ+Fyt*.
Les valeurs de A et EA sont données immédiatement par la table
n" I ; et comme on a Fyu = j|^F'c, les valeurs de fM et de E/* seront
aussi données par la Table n* 2 ; ces valeurs sont
A = 5o''43582 07019 71 ft := 3°88282 92057 6436
EA = 0,77597 70241 8163 E^. = 0,06771 75646 5i54.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 247
îl ne s'agit plus que de calculer <p par les équations algébriques qui
repre'sentent l'ëquation transcendante F<p = FÂ-{-F/*; pour cela,
ayant pris les auxiliaires K', /u,', telles que
tang A' = tang A.A/*, tang /a' = tang ^.AA,
on aura (p=A'+(w'. Ensuite l'équalionEA-l-EyU, — ^Eç=c'sinAsinyUsin<p
donnera la valeur de Eç).
Les quantile's tangA et AA sont données parla table n* i; il ne
reste donc à calculer que tang/^ et Aft, ce que nous allons faire
avec toute l'exactitude que les tables comportent. Voici d'abord
le calcul de Isiufi et Icosjuc, d'après les formules du n" 147.
K'fjL o,58gi4 82876 29^79
R° . 1,75812 26324 09172
ffc. . 8,83 102 56552 20207
ft' . 7,66205 i3io4 4^
9,53675 43r56 37
(1). 6,99880 56260 77
yj^ . 5,52410 26209
8,5586o 3o653
(2). "5,88270 56862
/A^. 2,98615 393
7,98457 180
(3). 0,97072 573
iu«
0,64820 5
7,46683 3
(i) . .= 0,00099 72536 3o6oo6
(2) 7633 i832o8
(3).... 9 348i5i
(4) i3o55
cos/jL. — 0,00099 80178 850398
1(1)... o,ooo33 24178 768669
7^5(2).. 5o8 878881
r3(3).. 148383
,Th(4). 5i_
o,ooo35 24687 795984
ft 8,83io2 56552 20207
sinytfc. .. 8,83069 3 1864 40609
cosyW... — 99 80178 85o4o
tang/A.. 8,83 169 12043 2565,
(4). 8,ii5o3 8
Connaissant Zsin^w, on calculera lAfi comme il suit:
c'sin'/^ 7,65o62 62270 11 58
a 7,65o62 55257 9595
20
^012 i543
447i'
/(l-.A)=:/Cl— û)-R,
^48 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
r..... .. 3,95482 8G188 I — a 9,99805 29244 i449'
I— « 9>998o5 29244 R 40 49^Q
r 3,95677 56944 I — A 9,99805 29203 6499"
a 7,65o62 53258 A^ 9,99902 64601 8250.
1/^
4526
R 1,60740 14728
D'après ces valeurs, Yoici le calcul des angles X', e\ f/:
tangX.. 0,08290 45955 5444 tangyu. . 8,83169 i2o45 2^65
AfJL . . . , 9,99902 64601 8250 AA 9,81 174 81626 6481
tangA'.. 0,08193 10537 5694 tangju,'. 8,64343936699046.'
Au moyen de l'angle approché 0=50' Sj, , on trouvera par les for-
mules ordinaires A' = 5o%37274 12266 485 1 ; quant à l'angle/*',
comme ri n'est que d'un petit nombre de degrés, on pourra, en
faisant tang/*' = <, calculer cet angle par la formule. •
fji' z=t(ï — i <' -j- ï ^* — 7 ^ ~f- ^ ^') > et on trouvera par les cinq pr€l-
miers termes de la série /*'=2%5i93i 21820 4336. De là résulte
A' -J-jm'= cp =:52%892o5 34086 9t87.
^,: ^'' ' Puisque (p satisfait à l'équation F(p=-jF'c,la valeur de (p peut être
' vérifiée par la formule du n° 24, i p. , qui donne ^,, ^^.
/sin<p = 9,90 175 o833i 6245, et delà
cp = 52%892o5 34086 886;
la différence n^esl que de trois unités du quatorzième cBiffre, et att^
ne peut guère décider de quel côté est l'erreur.
Enfin ht valeur de E(p se trouvera par le calcul suivant :
c...... 9,98923 98541 3oi6 EA.. =0,77397 70241 8163
sinA... 9,88700 45821 54i3 Ejw.. = 0,06771 75646 5i54
sin {4.. , . 8,83069 3 1 864 406 1 0,84169 45888 53 17
sin <p. . . 9,90175 o833i 6243 ^ 0,04061 33 1 65 2661
^ 8,60866 84558 8753 E(p. . = 0,80108 12725 o656.
195. Pour donner une seconde application des mêmes tables.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 2%-
dicrchons les valeurs des fondions E et F qui répondent à l'am-
pli lude <p = 75'.
La plus proche valeur de <p contenue dans la table n" i , est
A = 76%256o5 20752 60; elle répond à la fonction FA = 7fF'c;
il faut donc déterminer l'amplitude jx par l'équation F// = FA — F(?),
Ou par les formules
tffngX'=:langA.A<p, tang(p'=tang ^. AA, ^ = A' — <p'.
Connaissant jn, il sera facile d'avoir, par Tinlerpolation de la table
n° 2, la valeur correspondante de n qui donnera celle de Fju. et
eîïsuite celle de E^. Voici le détail de tous ces calculs.
On a, par la table n" i , les logarithmes de tangA et AÂ; on a
immédiatement Ztang®, ainsi il ne reste à trouver que /A<p, ce qui
se fera par la formule A±= cois (pv^(i-f- A), dans laquelle A=^*tang*<p,
et d'où résulte /A^ = 9,47668 69066 8751. D'après ces valeurs, oa
formera celles de / tang A' et / tang <p\ savoir :
tangA.. 0,61091 04262 i56o tang (p.. 0,67194 7^475 333o
A<p 9,47668 69066 8761 AA . . . . 9,46071 191 10 1662
^~— "" i . - ■ ■ ■ Hf il ■ ■■- ■■!! ■- 1' ' 1^
tangX'.. 0,08769 65319 o3ii tang 9'.. 0,02266 94686 4^82
d'où l'on déduit
A' = 5o'73943 77671 6697
<p' == 46,494o3 64376 5376
ytt == 4*24540 23196 3321.
196. Il faut maintenant chercher dans la table n* 2, la valeur de
n qui répond à cette valeur de (p; on voit que cette valeur est com-
prise entre 8 et 9, et qu'en faisant n=z8-^Xy on aura à déterminer
a: par la seconde formule générale d'interpolation, savoir ;
A'— ^=(1 -^x) (M + - («r »A° + ^— (<^u»°+ — ^ (c^u»°•-f- etc. ,
dans laquelle les noimbres donnés par la table sont ;
A'— ^ = 0,12191 44669 8606 cTU'»* = -f 846 1994
cTA = 0,48448 76698 6390 cT^A"- = + ,19 6287
cT'A» =— 27137207696 J^'A"' =— 6200
«T^A- = — 3 37094 8348 «r^A*" ;= -, 923.
s5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Après quelques essais dans lesquels on peut ne'gliger les décimales
qui passent le dixième rang, on trouve a: = 0,74850 756125. Pour
plus d'exactitude, il conviendra de substituer cette valeur dans le
second membre de l'équation a résoudre, afin d'avoir la différence
.entre le résultat de la substitution et la valeur donnée de A' — ft.
Résultat de la substitution 0,12191 445^9 7^4^
A' — fi 0,12191 44559 85o5
Différence r = 962
De là on voit que i —a? doit être augmenté de jv = 1988 , ce qui*
donnera pour la vraie valeur de x .
ûc = o,7485o 75612 5oi2.
O I _.
Connaissant x, on aura F^ = -—7- F"c , et par conséquent
_, aSa — X -r,, 23 1, 26160 gX^S? 6988 -^1, • j 1,
F(p = gg ■■ .F'c = — '■ %8r~^ — ^^ . F'<?, ce qui donne le
logarithme de cette fonction :
F'<? o,5i259 14107 1669
coeff... 9,77975 36954 85o2
F(p . . . . 0,29234 5io6i 9961.
196. Pour calculer E<p, il faut d'abord chercher E/-tpar l'interpo-
lation de la table n" 2; en appelant de nouveau A le terme Ep
qui répond à /2 = 8 , la valeur cherchée sera donnée par la formule
E^ = A' — (1 -:^ x) (M + 1 (<^»A« -h^— C^'A«° + ^-^ (^U~<' + etc. ;
où l'on a
A' = 0,07615 20743 Î122 cT^A""' == -|- 46 7791
cTA = 843 45096 5968 cT^A»* = H- 6 5789
cT'A» = — 94512 9760 cT^A'S _- _ ^63
cT^A"» = — 1 1696 8077 cT^A"^ = — . 5i.
Substituant ces valeurs et celle de jc, on trouvera
E;u. =; 0,07403 01260 4?^'*
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aSV
enfin on aura à calculer E(p par la form. E<p+E;t=EA-}-c''sin(psin/^sinA
c* 9,98925 98541 3oi6 EX = 0,98484 i382o 8090
sin(p... 9,98494 57781 0:^67 Eyw = 0,07405 01260 475i
sin X. . . 9,98734 6.777 44.0 0,9,08. ,.^^^3%
sm f.. . . 8,86959 87498 65 .o ^ _ „^^g^^5 g^^^^ ^jg9
^ ^'«5°9^ ^^^9^ 4003 E? ="^:^^85^^^^^.
Cette valeur et celle de /F(p s'accordent suffisamment avec celles
qu'on a trouve'es par la me'lhode directe, n"^ 160 et 161.
197. Nous avons cru devoir exposer avec beaucoup de détail tout
ce qui concerne la construction et l'usage des tables n" i et n° 2
relatives au module c=sin8i°- les calculs ont été faits avec une
exactitude scrupuleuse, et soumis à un grand nombre de vérifica-
tions, de manière qu'on peut élre assuré que les résultats consignés
dans ces tables, sont exacts autant qu'ils peuvent l'être, d'après les
Tables trigonomélriques à quatorze décimales, dont nous avons
fait usage, lesquelles sont quelquefois en erreur de une, deux et
même trois unités dans le dernier chiffre. On en voit un exemple
dans le logarithme de b ou cos 81% qui, dans la Trigonom. hrit., est
9,19455 244i5 5701 , et dont les derniers chiffres doivent être 569g.
En suivant les mêmes procédés qui ont été indiqués dans la cons-
truction de ces tables, et dans les deux applications que nous en
avons données, on parviendra donc dans tous les cas à la détermi- ■
nation des fonctions E et F et à la solution des questions qui en
dépendent, avec un degré de précision supérieur, non-seulement
aux besoins de la pratique, mais à ceux des recherches théoriques
les plus délicates.
Je ne dissimulerai pas combien est pénible le calcul d une table
telle que la table n° i qui n'a que seize lignes, ou que la table n° 2
qui n'en a que douze; mais, si on aspire à un aussi grand de^^ré
d'exactitude, il semble qu'on n'y peut parvenir que par le secours
de ces tables, ou par la méthode générale fondée sur la formation
préliminaire de l'échelle des modules. C'est au calculateur à choisir
entre ces deux méthodes, celle qui lui paraîtra la moins pénible.
Comme la formation de l'échelle des modules se réduit, d'après
a52 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
jios formules, à un travail assez court, il est vraisemblable qu'on
jugera que la méthode générale mérite la préférence, si l'on n'a à
calculer qu'un petit nombre de fonctions E et F; mais s'il y avait
lieu de calculer un grand nombre de ces fonctions, l'autre procédé
parait être le plus avantageux.
Au reste nous avons déjà dit que si on se borne a dix décimales
dans la formation de la table auxiliaire n" i , auquel cas on peut se
passer de la table n" 2 , le calcul de celle tabje et son usage danç
les cas particuliers, deviendront très-faciles, el rcAtreront dans la
classe des calculs trigonométriques ordinaires, surtout si le module
est plus petit que sin 4^% ce qui permettra de prendre la valeur
de CL dans la table VII; et puisqu^alors les résultats sont exacts jos-f
qu'à la dixième décimale, ou au moins jusqu'à la neuvième, il ne
parait pas qu'on puisse proposer rien de plus simple pour le calcul
des fonctions E et F , au moins tant qu'il n'existera pas des tableç
suffisamment étendues, au moyen desquelles Ja détermination de
ces fonctions serait réduite aux règles ordinaires de l'interpolation,
198. Remarquons en fîmssaut que Je tableau n" 1 pourrait être
réduit aux cinq termes a,, a,, a^, u^, ct,^, et que dans cet état, il
suffirait ericore pour ramener les fonctions proposées E<p, F^, au
cas où l'amplitude est moindre que 6". Pareille observation s'ap-
plique à plus forte raison aux tables auxiliaires construites pour
des modules moindres que sin 81°.
En effet, i*. si ramplitude donnée (p est comprise entre «g et et, g,"
Qu 90', l'une des deux différences F(p — Fag , F'c— -F(p, sera
moindre que fF'cj ainsi, en faisant la plus petite des deux diffé-
rences =F<p', on aura <p' <ia^. 11 faudra donc d'abord déterminer
(p'j soit par l'équation algébrique qui correspond à l'équation...
^(p — Fota = F^', soit par l'équation ^ot <p' = è tang ^ , si l'on a
f\c — V<p = f(p'.
Puisque <p' ainsi déterminé est plus pelil que cl^, le cas le moins
favorable pour la réduction est celui où <p' sera compris entre a,
et ot^; soit alors ¥(p" égal à la plus petite des deux différence»
Fa^ — F<?', F(p' — Fcta, la fonction F(p" sera plus petite que ^
^(Fit^ — ^^t)i et par conséquent < ^Fa» <Fa,. Si en môme tems
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^53
F(p" est <lFa,, <p" sera plus petit que 5%8i88, et l'objet de la
re'duction sera rempli par deux transformations seulement. Si au
contraire F<p" est >>-rFa, , il faudra une troisième transformalioa
pour réduire les fonctions E(p, F(p, au cas où l'amplitude est moindre
que 5%8i88.
2°. Si l'amplitude donnée (p est moindre que ag , le nombre des
transformations qui ne pouvait être plus grand que trois dans le
premier cas, ne pourra surpasser deux dans celui-ci, et se réduira
le plus souvent à un.
De là on voit que la Table auxiliaire, réduite à cinq termes,
conduira aux mêmes réductions que la table entière, calculée la-
borieusement avec onze termes de plus. Mais, tandis qu'une seule
transformation, faite à l'aide du tableau entier, suffit pour réduire
les fonctions F(p et E(p au cas où l'amplitude est moindre que B^^SiSS,
il faudra quelquefois deux et même trois transformations semblables
pour parvenir à la même réduction par le tableau partiel. Ces trans-
formations, il est vrai, se font par de simples formules trigonomé-
triques; mais c'est au calculateur à balancer les avantages et les
inconvéniens des deux procédés.
J'observerai au reste qu'il faudrait ajouter un sixième terme à
la Table auxiliaire, si l'angle du module était plus grand que 8i*;
cette addition suffira jusqu'à 89°, et il est inutile d'aller plus loin,'
Alors le nombre des transformations pourrait aller jusqu'à cinq,
pour obtenir la réduction cherchée.
§ XV. Sur la construction d*un système complet de Tables
elliptiques,
199. La méthode du § IV présente beaucoup d'avantages par
la simplicité et l'élégance des formules qui servent à construire
chaque table particulière pour un module déterminé; on a vu que
les calculs s'exécutent dans toute l'étendue de la table, en n'em-
pruntant de la théorie des fonctions elliptiques qu'un seul élément
qui se multiplie ensuite par des formules purement trigonométriques
et rigoureusement exactes; cependant l'usage de ces tables serait
peu commode dans l'interpolation, lorsqu'il s'agirait de trouver Us
z
r
254 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
fonctions E et F qui répondent à des valeurs données de l'ampli-
tude et du module.
Il parait beaucoup plus convenable, pour cet objet, de construire
des tables dans lesquelles l'amplitude et l'angle du module croissent
par des intervalles égaux et suffisamment petits, de o' à go°. C'est
donc entre les deux méthodes proposées dans le § llï , qu'il faut
choisir celle qu'on regardera comme la plus facile dans l'exécution ,
pour parvenir à un degré d'exactitude déterminé.
La seconde de ces deux méthodes fait trouver directement la
différence seconde de la fonction E, ainsi que celle de la fonction
F; et par ces différences, vérifiées à de certains intervalles, on.
parvient à former la série entière des valeurs de E et de F, ainsi que
nous l'avons fait voir avec beaucoup de détail, en calculant la table
qui convient au module c = sin45°.
200. L'avantage principal de cette seconde méthode consiste ea
ce que les auxiliaires qui servent à déterminer les différences se-
condes des fonctions, sont beaucoup plus petites que celles qui,
dans la première méthode , seraient nécessaires pour donner im-
médiatement les différences premières de ces mêmes fonctions ;
le calcul doit donc en être beaucoup moins long; il exige ou des
tables moins étendues , ou des soins moins minutieux pour obtenir
les parties proportionnelles , ce qui est une épargne de lems con-
sidérable dans une longue suite d'opérations. Mais d'un autre côté,
les erreurs sur les différences secondes se multiplient suivant la
progression des nombres triangulaires, dans la détermination des
fonctions principales; il devient donc nécessaire de calculer ces
différences avec deux décimales de plus, ce qui fait perdre tout
l'avantage qu'on pouvait en attendre; et si on n'augmente pas le
nombre des décimales, il faut vérifier les résultats de distance en
distance, puis corriger les nombres intermédiaires, suivant un mode
de répartition qui est plus ou moins arbitraire.
Cet inconvénient qu'on a pu remarquer dans l'art. 85, n'a pas
lieu dans la première méthode , ainsi que nous nous en sommes
assuré par un grand nombre d'essais, et cette raison suffit pour lui
donner la préférence. Mais, comme on n'a pas de tables usuelles
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 255
qui passent dix décimales, il serait trop difficile de calculer les
fonctions avec douze décimales, comme nous l'avons fait dans la
table lï, et il faut se borner à les calculer avec neuf de'cimaleSj
ce qui au reste est plus que suffisant pour l'usage ordinaire.
201. Voici donc le procédé auquel nous croyons devoir nous
arrêter définitivement, non pour calculer dès à présent une série
complète de tables elliptiques, ce qui serait une tâche au-dessus
de nos forces, mais pour préparer les bases de ce grand travail,
de manière qu'il puisse être exécuté par la suite avec toute l'éten-
due nécessaire.
Pour chacune des valeurs du modale, depuis c=sini"', sin 2%
sinS', jusqu'à c=: sin 75% on formera la table particulière qui donne
les valeurs des fonctions E et F correspondantes aux différens de-
grés de l'amplitude, depuis (p=o% 1°, 2°.... jusqu'à (p=go°. Ces
calculs seront faits par la méthode du n° 66 y en ne donnant que dix
décimales aux auxiliaires p ou V , d'où l'on déduit les différences
premières cTE ou JT, et celles-ci devront être réduites à neuf dé-
cimales. Si l'on porte dans ces calculs l'attention nécessaire, les
erreurs sur le neuvième chiffre décimal de la fonction, se compen-
seront pour la très-grande partie, de sorte qu'on pourrait parvenir
à l'amplitude 90°, c'est-à-dire à la fonction complète, dont la valeur
est connue d'avance par la table I, sans commettre une erreur de
plus de deux ou trois unités sur le dernier chiffre décimal. Cepen-
dant, pour plus de sûreté, il sera bon de calculer, par la méthode
directe et rigoureuse, les fonctions E et F qui répondent à l'am-
plitude de 45'; en cas de différence dans les résultats, on corrigera
les nombres de la table par un moyen préparé dans le cours de
l'opération, et que nous indiquerons ci-après.
Il conviendra, comme nous l'avons dit, de pousser le calcul de
ces tables particulières jusqu'au module c=sin75''; on pourrait
peut-être aller plus loin, sur-tout pour la fonction E qui n'est pas
sujette à d'aussi grandes inégalités que la fonction F; mais, comme
l'interpolation deviendrait peu exacte pour les amplitudes de 70 à
90°, nous avons pensé qu'il était convenable de ue pas étendre les
tables au-delà du module sin '/5'*,
-K
U-v/--*
a56 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Par une raison contraire, on pourrait ne les commencer qu'au
module sini5°; car au-dessous de ce module, les fonctions E et
I F sont repre'sentées avec assez d'exactitude par les séries du § VII,
qui d'ailleurs ont Tavantage de se prêter facilement à tous les calculs
analytiques.
La re'union de toutes les tables particulières dont nous venons de
parler, soit qu'elles commencent au module sini°, soit qu'elles ne
commencent qu'au module sini5', formera la table IX, que nous
h<- \^- ■= -^ nous empresserons de publier, aussitôt que le travail assez consi-
7p^^ V|-^^ ^ de'rable qu'elle exige aura pu être achevé. Au défaut d'une table
plus étendue, dans laquelle l'angle du module et l'amplitude cror-
(?y'^ j^-l^^^^cS: traient par des intervalles beaucoup plus petits qu'un degré, la
table IX sera fort utile pour appliquer la théorie des fonctions ellip-
tiques, en donnant les moyens d'évaluer ces fonctions, pour les
modules qui n'excèdent pas les limites de la table, par un calcul
assez facile, lorsqu'on ne voudra pas obtenir plus de six qu sept
décimales exactes.
202. Voici, d'après la méthode que nous proposons, le détail des
procédés à suivre pour construire l'une des tables particulières qui
doivent composer la table IX. Soit a l'arc d'un degré, ou a=-^,
soit a)=.(p-f"T* et \/{i — c*sin'&)) = A(û)); si on prend l'auxiliaire
p=(xAa>, on aura en général, pour construire la table des fonc-
tions E, la formule
cTE = ;? 4* iî: cTr — yif^ J^;t?- + etc. ;
on calculera donc pour les valeurs successives ip=o% i^s", 5'',4* etc.,
les valeurs correspondantes de l'auxiliaire p \ on observera de plus
que la valeur de;?, pour 9 = — 1% serait la même que pour <p=o';
on placera donc deux fois celte première valeur de /?, l'une sur la
ligne de ^ = 0, l'autre sur la ligne supérieure, ce qui sera nécessaire
pour former cette ligne où Ton doit trouver la différence ci^p° qui
entre dans la première valeur de J'E , celle qui répond à <p = o.
A mesure qu'on aura calculé une valeur dcyp, cette valeur servira
à ajouter un terme de plus aux colonnes des différences dans les
lignes supérieures. Au commencement de la table et même jusqu'à
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. :i^f
des termes assez éloigne's tels que <p=45°ou 5o% il suffira de prendre
les deux premiers termes de la valeur de cTE , savoir: £rE=yt?-|-^cr^^°;
car nous supposons constamment que les valeurs de p sont calculées
avec dix décimales, et qu'on en conserve neuf seulement dans les
valeurs de «TE.
Lorsque par le progrès de l'opération, on reconnaîtra que le
troisième terme — sy^^ S'^p'"* peut influer sur la dernière décimale
de «TE, il faudra tenir compte de ce terme. Mais alors on devra
ajouter un terme de plus à la colonne des p, ce terme qui répond
à<p + <x étant nécessaire pour avoir la différence ^'^p"" qui entre
dans la valeur de cTE. Jamais on n'aura besoin de calculer un terme
de plus de la formule.
Les mêmes procédés s'appliquent au calcul des fonctions F, avec
cette seule différence, que 1 auxiliaire P a pour valeur — ; ainsi le lo-
garithme connu de Aw servira à calculer à la fois les deux auxiliaires
p = aA(a) , P = ^. Il faut observer seulement que les différences
croissant plus rapidement dans la table des fonctions F, il faudra
beaucoup plus tôt faire entrer le troisième terme de la formule dans
la valeur de «TF.
En formant la colonne des différences cTE et cTF, réduite à neuf
décimales, il sera bon de faire une marque particulière aux termes
dont la dernière décimale n'est exacte qu'à \ ou au moins -^ d'unité
près. Celie marque sera utile pour faire sur la table les légères cor-
rections qui seraient indiquées par la différence qu'on pourra trou-
ver entre les fonctions données par la table pour les amplitudes de
45* et go°, et celles qui auront été calculées d'avance par la mé-
thode directe.
2o3. 11 ne reste plus qu'à faire voir comment on doit calculer
le logarithme de A&j. Au commencement de la table et jusqu'à une
limite assez éloignée, faites sinA = csinû); appelez a l'angle qui,
dans la table à dix décimales , approche le plus de A , et soit la
différence Zsin A — ^sina = rj vous aurez avec une exactitude suf-
fisante /cosA, ou
log A = log cos a — r lang* a y
a58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
et l'on voit que la correction rtang'a n'a pas besoin d'être calculée
avec beaucoup de précision, tant que l'angle a sera d'un petit nombre
de degrés.
Lorsque l'angle a approchera de 4^% on pourra faire plus exac-
tement log A=/cos« — R, IogR=log(rtang"a)4-/'-f-rtaûg*«.
Si l'on avait ZsinA=/sina — /•, il faudrait faire logA=/cosa+R ,
log R = log (/• tang* a) — r — r tang* a.
Lorsque l'angle a sera plus grand que 4^% la correction R deve-
nant plus grande que r, les erreurs se multiplieraient par la formule
précédente, et il faut lui en substituer une autre. On mettra alors
la valeur de A sous cette forme, A = ^v^f i +~^-^J, et faisant
tangA = — ~^ on aura A = — -, Soit a l'angle de la table qui
approche le plus de l'angle A dont on connaît la tangente, et soit
Zlang A = Z tanga 4" 'j oi^ 2mx2^
l cos A = Z cos a — r sin* ^1(1+ M/* cos' à) ,
ou si l'on fait ZcosA=Zcosûr — R, on aura
ZR = Z(r sin* a) -|-r — /•sin'â, ensuite logA=:log 1- R*
Celte formule, dont le calcul est aussi facile qu'il est possible, ne
laisse rien à désirer, et pourrait même servir dans toute l'étendue
de la table sans exception; mais le calcul de la première est plus
simple, tant que csinco est «<sin45'*.
Si l'on avait /tangA=Ztangâ! — r, la formule deviendrait
log R = log (r sin* ci) — ;'-|-/sin*â!, log A = log ( — — j — R.
Connaissant A pour une valeur déterminée de «, on connaîtra à
la fois les deux auxiliaires ^ = aA , P = ^ , l'une pour la table des
fonctions E, l'autre pour celle des fonctions F. Ces auxiliaires de-
vront être placées chacune sur la même ligne que la valeur de <p ,
d'où elles sont déduites, en faisant dy = (p-f-7a; on y joindra leurs
différences successives, continuées jusqu'à l'ordre où les différences
de l'ordre suivant seraient négligeables ou fort inégales. On en dé-
CONSTRUCTION' DES TABLES ELLIPTIQUES. 2^9.
duira ensuite les valeurs de cTE et de cTF, suivant les formules que
nous avons rapportées.
Calcul détaillé de la Table particulière pour le module c=sin63*.
204. Nous prenons pour exemple un module un peu grand, parce
que les calculs deviennent plus difficiles vers la fin de la table, à
raison de la grande inégalité des différences ; on verra cependant
que les résultats n'en sont pas moins sûrs, en prenant les précau-
tions convenables. Du reste, nous entrons dans tous les détails
nécessaires pour qu'on puisse facilement saisir la méthode, et l'ap-
pliquer à tout autre module.
^ = 0% û) =r o
pi
*•
c 9,94988 08840 7 ces a 9,99998 65338
sin 4» 7,94084 18696 8 R — G23
sinA 7,89072 27437 5 A 9,99998 68715
«in a 7)88969 04944 « 8,24187 j'5^'j^
r := io3 02493 6 p 8,24186 42391
P 8,24189 04961
r 7,01378 ^<o
tangua 5,77940 71 p = 0,01745 2764^
2,79319 T^ P = ^>'^'^7^^ 38201
r 4- io3 23
R 2,79422 Sg
Dans ce cas et dans le cas suivant, on aurait pu faire plus sim-
plement le calcul de A par la formule log A = j log (i — c* sin' cù)
= ■ — ^ me" sin' fit) j ensuite co devenant un peu plus grand, on aurait
les formules plus approchées r = c' sin* co, log A = — R, •
log R = log {imr) -jr^mr-j mais nous avons préféré de suivre tou-
jours la même marche.
c 9,94988 08840 7 r 6,07670 73 cosa 9,99988 19043
sin*..... 8,41791 90153 9 tang»a.... 6,73669 73 R — Ç^g
8,36779 98994 6 R 2,8ia3o 46 A 9,99988 18394'
sin a... 8,36768 06811 « 8,24187 73676
r = 11 93i83 6 p = 0,01744 86446 p 8,24176 920^
P = 0,01745 80418 P 8,24199 55282.
26o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
C 9,94988 08840 7 r 5,89966 33 cos a 9*999^7 16309
sin*.... 8,63967 96616 i tangua.... 7,17993 63 R -|- 1201
8,68966 04466 8 R 3,07949 96 à 9>999^7 i75io
sine... 8,68963 98006 u 8,24187 73676
r = — 7 93548 a p =z 0,01744 01069 p 8,24164 91186
P = 0,01746 64891 P 8,24220 66166.
Celte valeur de P , auxiliaire de la fonction F , jointe à la valeur
correspondante J^^P" = 42 538, donne pour (p = 2% la différence
cTF = P + ^ éT^P" = 1746 66655, où il faut remarquer que le re-
tranchement du dernier chiffre laisse une incertitude d'une demi-
unité sur la neuvième décimale de «TF. C'est ce qu'on a exprimé
dans la table par le signe + mis à la suite de la valeur choisie
cTF = 174^ 6665 +• C)n aurait pu également prendre »
cTF = 1746 6666 — . Nous verrons ci-après l'usage de cette no-
tation, pour corriger les petites erreurs qui peuvent résulter du
progrès de l'opération.
, (P = 5% û) = 3" i.
c
aina....
, 9,94988 08840 7
. 8,78667 62787 7
8,73555 61628 4
, 8,73574 00461
; — 18 38823
cos a...
R
A
— 9>99935 601 i3
+ 5461
•• 9.99935 66674
... 8,24187 j56jG
.. 8,24123 39260
.. 8,24262 08102
tang
r
R....
P
P :
,.. 7,4727^ 807
... 6,26453 993
.. 3,73730 800
sin a...
a,
r =
P
P
= 1742 74532
= ^74? 9^7°^
(P = 4% a> = 4» i.
c 9,94988 08840 7 cos a 9199893 63682 tangua.... 7,69110 io3
siu«.... 8,89464 32984 1 R — i83i r. 6,67167 390
8,84462 41824 8 A 9,99893 61861 R 3,26277 493
«in a... 8,84448 68865 x 8,24187 73676
r r= 3 72970 p 8,24081 35627 p = 1741 06926
P 8,24294 11825 P = 1749 So97!i
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 261
(p = 5% 0) = 5" ^.
c...;;:. 9,94988 08840 7 cosa 9,99840 98748 tang* a.... 7,86626 8io
ain«.... 8,98167 28715 4 R •• + 6627 r 5,955o5 o5i
8,93145 37556 1 A 9,99841 05375 R 3,82i3i 86i
«ma... 8,93i54 39232 « 8,24187 73676
r = —g 01676 p 8,34028 79o5i p = 1738 95324
P 8,24346 683oi P = 1751 72864.
<P = 6', de) = 6» i.
c^' 9^949^8 08840 7 cos a 9>99777 95564 tang*a.... 8,01190 777
sin#.... 9,o5585 87663 7 R.. — 647 r 4.79925 167
9,00373 96404 4 A 9^99777 949i7 R 2,81116 934
ain a... 9,00373 34424 « 8,24187 73676
r = 61980 p «,23965 68693 p = 1736 4283a
P A244C9 78769 P = 1754 27681.
cp = 7% w = 7
O I
,c 9'949S8 08840 7 coscf 9,99704 363o9 tang'^a.... 8,13696 406
ski «.... 9.11669 76687 3 R — 7260 r 5,72337849
9,06667 86628 A 9,99704 29069 R 3,86034 255
sina.... 9,06662 56622 tt 8,24187 j56jS
r =c 5 28906 p 8,23892 02735 p = 1733 48574
P 8,24483 44617 P = 1767 25368.
<p = 8% oj = 8° i
-c. 9'94988 08840 7 cos a 9,99620 17398 tang^'c... 8,24662 41g
sin «... 9,16970 20867 8 R — ii3i8 r 6,80709916
9,11968 29708 5 A 9,99620 06080 rtang*a.. 4,06372 335
sina.... 9.11961 88352 * 8,24187 j^GjS r 6 414
V= Ml 366 p M38^^^^ rtang»a.. 1^
P 8,24567 67696 R. 4,05378 8?a
p = 1730 12697
P= 1760 665i2.
aa
J262 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
c 9,94.988 08840 7 cos a 9>99525 34714 tangue... 8,34437 695-
sin «... 9,91760 92289 4 R — 10645 r 5,68272 79S
9,16749 oii3o A 9,99626 24069 jS^jO^.'jxo 49*
sine... g,j6'j44 ^94^4 «* 8,24187 73676 r 4 81S
T8'i'ë4~ P 8,23712 97745 rtan^^a.. _io£
P 8,24662 49607 R 4,02716 4i3'
p =z 1726 35368
P= 1764 5 1340.
(p = 10°, ù) = 10" ^.
c 9,94988 08840 7 cos a 9,99419 836o2 tang'ût.... 8,43261 100^
sin »... 9,26063 30434 5 R — 2726 r 6,00292 1^4
9,2io5i 39275 A 9>994i9 80876 rtang^^a.. 3,43563 264
sine... 9,2io5o 386oo a. ..^i 8,2418773676 r 1 007*
r = 1 00675 p 8,23607 54652 ^tang"«-- ^7
p = 1722 16776
P = 1768 80224.
P.. , S,i24jS'; 92800 R 3,43554 22^
(^=11°, 6)= II
o I'
C 9,94988 08840 7 cos a 9,993o3 58856 tang'flf.... 8,5i3oq 43r
sin «... 9,29965 53093 1 R + 16265 r 5,67066 139
9,24953 61934 A 9>993o3 74121 4»i8375 670
aina... 9,24968 3o382 «. 8,24187 73676 r —4 6B4
r = ^ 4 68448 p 8,23491 47797" ^t^"S'"- — ^^^
P.. 8,24883 99555 R 4,18370 733
p = 1717 67132
P= 1773 53678.
(p = 12% ù) = 12° |.
c 9,94988 08840 7 cos a 9;99i76 96100 tang'û.... 8,68692 248
sin «.... 9,33633 67606 1 R + 5io5 r 6,12107045
9,28621 jG547 ^ 9>99^77 01206 ^)7°799 293
sine... 9,28623 08498 u 8,24187 73676 r. ". — *i 322
rz=^ r3li"57 p 8,23364 74881 rtang'^a.. — 5i
p = 1712 66667
P = 1778 71860.
P. 8,26010 72471 R.... ....... 3,70797 920
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 263
■c 9,94.q88 08840 7 cosa 9,99039 54410 tang*a.... 8,65536 Zoy
^iû 4F... 9,368 18 52534 1 R 4- 4902 r 5,03499723
9,3i8o6 61375 A 9,99039 59312 3,69036 o3o
sin a... 9,31807 6(^j6y « 8,24187 73676 r — i 084
r = "^ i~8392 p 8,23227 32988" ^tang'a.. — 4.9
P 8,25i48 14364 R 3,69034 897
p = 1707 i5635
P = 1784 35572.
= 14% a> == i4° i.
c. ,.'.:.'.: 9,94988 08840 7 cosa 9,98891 76119 tang'ûf.... 8,71901 258
«in».... 9,39859 96421 3 R — 29706 r 5,75376 838
9,34848 05262 A 9)98891 4^4^^ 4Àl^l'^ 09S
eina.... 9,34842 38020 « 8,24187 73676 r 5 673
r = 5~67242 " p 8,23o79 19089 ^tang^^... ^97
P... 8,35296 28263 R 4,47284 o65
p = 1701 34313
P = 1790 45259.
r. 9,94988 08840 7 cosa 9,98732 57854 tang*a.... 8,77890 260
ain«.... 9,42689 88240 2 R . — 1678 r 4,4^9°7 9^7
9,37677 97081 A 9,98732 56276 3,19798 227
sina.... 9,37677 70834 « 8,24187 73876 r. a5a
/= â6^7~ P 8,22920 1^ rtang^a.. i£
P 8,25455 17400 R 3,19798 5o5
f — 1^95 12994
jP = 1797 oi5i6,
(P = 16% (jù = 16" 7.
r.. ...... 9,94988 08840 7 cosa 9,98562 944^5 tang'^a.... 8,835i6 911
fiin*».... 9,45334 i8c46 3 R — 6947 r 4,9^910 473
9,4o322 2688^ A 9,98662 88478 3,77427 384
ôina.... 9,4o32i 39970 a, 8,24187 73676 r 869
r = 86^7~ V 8,22750 62154" ''ta"g'«- ^9_
P 8,26624 86198 R 3,77428 3i3
p = 1688 52003
V = 1804 04979.
264 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL;
c 9,94.988 08840 7 cos a 9;98382 28068 tang'a.... 8,88842 65o
sin«.... 9,47814 18041 2 R 4- io34o r 6,12609 893-
9,42802 26882 A 9,9838238^ 4,01452 542
sin a... 9,42803 60672 «... 8,24187 7^676 r — 1 337^
T = ^ Tm^ p 8,22570 12074" ^tang'fl.. - lo5
P 8,258o5 35278 R 4,oi45i 102
p •= 1681 51679
P= 1811 56336.
(p = 18°, a> z= 18" \:
c. 9,94988 08840 7 cos a 9,98191 ii6o3 tang* a.... 8,93887 079'
sin».... 9,5oi47 64453 6 R — 9358 r 5,o3a3o 037
9j4^i35 73294 3 A 9,98191 02245 3,97117 1x6
sine... 9,45i34 66673 « ,. 8,24187 73676 r.... 1 077'
r= 1 07721 p 8,22378 76921 rtan^'a.. 93
P 8,26996 71431 R 3,97u8 286
p = 1674 12388
P= 1819 563i9.
Ç = 19", Cà = 19'
o 1" '
C 9,94988 08840 7 cos a 9^97988 80210 tang'c... 8,98696 769^
&'ma..,. 9,62349 52565 4 R 4^49 ^ 4>63o93 61a
9,47337 61406 A 9,97988 76061 3,61790 38i
sîna,... 9,47337 i8656 «..; 8,24187 73676 r 4'^"^
r= 42760 p...:;..-;... 8,22176 49737 ^tang^«..^ 41^
p = 1666 34620
P = 1828 06712.
P 8,.26i98 97615 R.... 3,61790 849
(p = 20% û) = 20° '
z*
c 9,94988 08840 7 COS a 2>9777^ 92688 tang*a.... 9,03^282 549
sin».... 9,6443a 62953 9 R — 36860 r..... 5,53369 277
9,494*20 61794 6 A 9)97775 66728 4>5665i 826
sina.... 9,494'7 20067 <* 8,24187 73676 r 3 4^y
r= 3 41737 6 p 8,21963 29404 ^*ang=«'- ^^^_
P a,264i2 17948 R 4,56665 611
p = 1668 18484
P = 1837 05346.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 205
<P = 21% (û = 21* i,
c; 9,94.0^8 08840 7 cos a 9;9755i 75669 tang* a... 9,07681 271
iin «... 9,56407 54326 2 R — 38666 r 5,5io48 455
9,5i395 63i66 9 A 9^97^51 36993 4,58739 726"
siha.... 9,51392 39213 et 8,24187 73676 r 3 240
r= 5~^4^ p 8,2 1739" 0669 rtaBg'^a.. 385
P. 8,26636 36683 R 4,68733 352
p = 1649 ^7^7
P = 1846 56104.
<P = 22°y Cû = 22° ~.
C" 9>949^8 08840 7 cos a 9,973i6 17704 tangua,. .. 9,11911 4i6
éa.tt.... 9,58q83 96606 8 R. — 2226 r 4,22843 885
9,539,72 06446 5 A 9,97316 15478 3,34755 3o2
sin a... 9,55271 88626 « 8,24187 73676 16^
r= ïê^iT p 8,2i5o3 89154 ^tang^û"' ^^
P... 8,26871 58198 R.. ......... 3,34755 493
p = 1640 73679
P = i856 68920.
<p = 23%. Cà = 2-3° {.
......... 9,94988 08840 7 cosa 9;97o69 863o6 tang'a.... 9,16976 44**
sin«. .. 9,60069 96819 9 R + 389 r 3,43oi3 968
9^6068 06660 6 A 9,97069 86696 2,68990 399
sina. .. 9,65o68 o8353 «. 8,24187 73676 r... — 26^
T=^^ 2"69r7 V 8,21267 60371 ''tangua.. — 4
P.... 8,27117 86981 R. 2,68990 126
p = i63i 45862
P = 1867 14780.
(p = 24% (à = 24° ]r.
C* 9,94988 08840 7 cosa 9,96812 7936g tang'* a.... 9,19891 76^
«in «... 9,61772 69686 8 R — 33296 r 5,32344 909
9,66760 78497 6 A 9,96812 46073 4,62236 6^
sîna... 9,56768 67832 u 8,24187 'jZÇ>'j^ r a loS
r= a 10696 5 p 8,21000 1974^ rtang'g.. 533
P 8,27376 27603 R ...0. 4j52239 117
p == 1621 81747
P = 1878 24724.
26G EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
c 9>94988 08840 7 ces a...... g,g6544 0^799 tangua.... 9,23683 845
sin«..o 9,63398 43502 6 B — 17823 r. 5,oi4i4 7^3
9,58386 52343 3 A 9,96543 88976 4*25097 627
sina. .. 9,58385 49^32 tt 8,24187 73676 r... 1 o33
r == 1 o33ii 3 p 8,20731 62602 ^- tangua.. '7^
P 8^27643 84700 R 4,26098 838
p = 1611 81898
ï> = 1889 89846,
(p = 26% &) = 26'' ^.
c 9,94988 08840 7 cosa 9,96264 453o4 tanguer.... 9,27349 <y74
lin*.... 9,64962 74374 o R. — 34582 r 5,26533 843
9,69940 832i4 7 ^ 9>96264 10722 4>53882 917
$\na.... 9,69938 98994 « 8,24187 73676 r 1 843
f=s 1 84220 7 p 8,2045 r84398 ''tang^^û- ^
P ».. 8,27923 62954 R..., 4,53885 iq5
p = 1601 468^4
P = 1902 il292,
Ç> = 27% ù) = 2f i.
C 9,94988 08840 7 CCS a 9^95972 96967 tang'ût.... 9,30912 424
sin«.... 9,66440 66998 o R -f- io663 r 4^7^^?^ i5a
9,61428 64868 7 A 9»95973 o663o 4^02788 676
êxn a... 9,61429 17170 a 8,24187 73676 r — 623
r = — 5233i 3 p 8,20160 803^ ^*^"S' ^- "" ^°7
P 8,28214 67046 R 4.02787 94$
P = 1590 77234
P = 1914 90267.
' <p = 28% Cà = 28" J.
c. 9,94988 08840 7 CCS a 9.95670 41639 tang'fl.... 9,34370 679
sin «... 9,67866 29015 4 R -f- 30390 r 6,16903 769
9,62864 37866 1 A 9,96670 72029 4À^V4 44^
sine... 9,62866 76689 « 8,24187 76676 r — 1 377
r = 1^-1-77737^ p '^:^^7'^ rtang-g.. - Soj
p... 8,28617 01647 R 4148273 767.
p = 1679 7^620
P= 1928 28o3o.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 267
<p = 29% 60 =: 29Ô i.
c 9,94988 08840 7 cosûT. 9,95356 77120 tang'c.... 9,3;^732 5ià
sin«.... 9,69233 88236 6 R. -f s5i88 r 5,o2385 182
9,64221 Qyoyj 3 A 9,95357 o33c8 4A^i^7 ^b4
sin«.... 9,64223 02723 ce 8,24187 73676 r — 1 056
r = — 1 05645 7 p 8,19544759^ r tangua.. — ^52
P. 8,2883o 7i368 R 4,40119 oor
p = ibGS 36665
P = 1942 26897.
(fi s= 3o% 0) =±= 3o* ^.
é 9,94988 08840 7 cos a 9;95o3i 96685 tangua.... 9,41006 737'
iin «... 9,7cb4S 88746 5 R — 364o r 4,i5iio oo5
9,65534 97686 2 A 9^95g3i 92945 3,56ii5 742
sine... 9,66534 83425 et 8,2418773676 r. 143
r= Ï4161 2 p 8,19219 66621 ^ta"g'«- 3£
P. 8,29155 80731 R. 3,56ii5 920
p = i556 67038'
P = 1956 8524a.
(p = 3i% eo r^ 3i» i.
c- 9^94988 08840 7 cos a 9^94695 93567 tangue... 9,4419^ 42!?
ainft>.... 9,71808 61017 9 R , — 54oo6 r 6,29044655
9,^^79^ 59808 6 A 9,94696 39561 4,73241 977
sïa o... 9,6G7s4 646J4 « 8,24187 7'^>676 r.... 1 963
r= 1 96184 6 p 8, 18883 i3237 ^^^"S'''- ^^.
P • 8,29492 34116 R.... 4,73244 46^^
p = i544 65439
P = 1972 07493.
0 = 52% o === 32° |.
^ 9>949^8 08840 7 cos a 9,94^47 4^^4^ tang*c.... 9,47324 00^'
«in>.... 9,73c2i 66240 o R. — 8182 r 4,43962791
9,68009 74080 7 A 9,94347 37963 3,91286 799
aing.... 9,68009 46662 « 8,2418773676 r iz^^
r = 27618 7. p 8,i8636 ii6"3^ rtang»a.. 82^
P.. 8,2^40 35713 R 3,91287 i56
p = i532 32698^
P= 1987 94137,
268 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
(p = 53% 0) = 33" i.
c 9,94988 08840 7 cos a 9)93987 53iii tang*ct.... 9,5û38o gGS
sin*.... 9,74188 94y7i 3 R + 3io86 r 4,98876 40a
9,69177 o38i2 A S,9'^9^7 84197 4,49257 365
çin a... 9,69178 01258 « 8,24187 73676 r — 974
r = ^ 97446" p 8,18175 57873 ^tang^«.. — '^^^
P-...-. 8,30199 89.479 R 4,49256 089
p = iBig 69274
P = 2004 4^7 ij'
(p = 34% o> = 34» i.
c". 9,94988 c884o 7 cos a 9>936i7 28891 tangua.... 9,53364 027
^in*.... 9,75312 80269 o R — 54280 r 5,20097 645
9,7o3oo 89109 7 A 9,90616 746.11 4>7546i 573
sin a... 9,70299 30264 * 8,24187 'j5GjG r 1 588
r = r58845 7 p 8,17804 48287 rtan^'a.. __543
P ,... 8,30670 990J65 R 4;73463 704
p = 1606 76269
J* = ao2i 66832,
.(p = 35% cà = 35°
ro 1
f. ...... 9,94988 08S40 7 ces a 9,93234 22162 tang'a.... 9,66297 653
?in a... 9,76396 4o366 5 R — 16227 r 4,64724 796
9,7i383 49206 a A 9;93234 06926 4,21022 449
sine, 9,7i383 04820 u 8,24187 73676 r 444
r= 44386^ p 8,17421 7"^ rtang'a.. 16a
P.. 8,30953 67751 R 4,21023 oo5
p r= 1493 54379
P = 2039 661 36.
<p = 36% ù> = 36° -i.
c. ...7... 9,94988 08840 7 ,cos a 9,92839 41671 tangua.;.. 9,69176 585
sin*..... 9,77438 76973 3 R 4- 33632 r 4,93499 3oS
9,72426 84814 à 9,92839 753o3 4>^^^7^ 891
«in a... 9,72427 70912 te 8,24187 73676 r — 86j.
r = ^ 86098 p 8,17027 48^77 ^^^<^" Z.5?i
P 8;3i347 98373 R 4,^2674 6s4
p = 1480 0449a
P = 2o58 16334.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 269
c. ....... 9,94988 08840 7 cos a 9,92434 12467 tang*a.... 9,61995 8i6
siû*».... 9,78444 71278 3 R — 32o33 r 4,88662 69a
9,7343380119 A 9,9243380434 4,5o558 5^
sin a... 9,73432 03272 te 8,24187 73676 r 768
r= 76847~ p 8.16621 54Û7 ^^a°g'«- £20
P 8,31753 93242 R 4,5o559 696
p = 14S6 H7494
P= 2077 49183.
<p = 38% 6) = 38» i.
<^ 9.94988 08840 7 ces a 9,92015 55343 tang» a... 9,64777 877
sin«.... 9>794i4 9^670 7 R + 64^90 r 5,i6o38 328
9.74403 04511 4 A 9>92oi6 19633 4,80816 2o5
siaa.... s,744o4 49183 « 8,24187 73676 r — i 44^
r = — 1 44671 ë" p 8,16203 93309 ^ta<ûr.. — 643
P 8,32171 54043 R 4,80814 ii5
P = 1452 243i3
P = 2097 56489. .
(P = 59% cù = 59' i.
«^ 9.94988 08840 7 cos a 9,9i586 34168 tang»a.... 9,67608 o4o
sin.«... 9,8o35i q5255 i R + 67771 r 6,08664 523
3,76339140938 A 9,9168691939 4,761 72 ~563
sine... 9,75340 36174 « 8,24187 '7'5^'j^ r — 1 aai
r = — 1 22080 a p 8,16774 656 1 5 '■tang*a.. — 678
P 8,32600 81737 R 4,76170 764
p = 1437 96919
P = 2118 40100.
(p =: 40% Cù = 40"
yO I
^ 9>94988 08840 7 cos a 9.91146 49166 tang'a.... 9,70191 oi3
sina..... 9,81254 44160 3 R —51936 r 6,01354933
9,76242 53ooi A 9.91145 97229 4,71544 935
sine... 9,76241 4985a » 8,24187 73676 r ;.. , Ô33
r = 1 o3i69 P 8, 16333 709^ rtang>a.. Si^
P 8,33o4i -7^47 R 4,71^^^ 486
p = 1423 43320
P = 2140 01908.
bb
vjo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
<p = 4i», a) = 4l' h
c 9,94988 08840 7 cos a 9,9069a 92066 tang*a.... 9,72844 .9o5
ain*.... 9,82126 45717 5 R + 44^88 r 4,9^784 ^67
9,77114 54558 2 A 9^90693 36354 4M^^9 4?»
«ina.... 9,77115 37323 « 8,24187 73676 r — 82»
r^^ S^ë48 p 8,14881 ioo3o rtan^a., -~ 44^
P. 8,33494 37322 R..... 4,64628 201
p == 1408 67564
P= 2162 43834.
(p = 42% û) = 42* i,
c 9,94988 08840 7 cos a 9,90228 5i388 tang'c... 9,75467 926
ain».... 9,82968 334S0 4 R + 59879 r 5,02271 245r
9,77956 42301 i A 9*90229 11267 4.77729 171
sin a... 9,77957 47670 * ' 8,24187 73676 r — 1 o54
r=«=II 1 05368 9 p 8,i44i6 84943 ''**"&'«•• - ^99
P 8,33968 62409 R 4.77727 5i8
p = 1393 69741
P = 2i85 67830.
(P = 43% û) = 45» i.
c 9,94988 08840 7 cos a 9,89753 25476 tang*a.... 9,78032 099
sin».... 9,85781 22o36 4 R. — 281 r „.. 2,66847 910
9,78769 30877 1 A 9,89753 26195 R...r 2,44880 009
■ina.r.. 9,78769 3o4ii « r.... 8,24187 73676
r =s 4^6 1 P 8,13940 98871
P 8,34434 48481
p r= 1578 60989
P = 2209 76868.
<p = 44% o) = 44* T'
c 9,94988 08840 7 cos c 9,89265 43791 tang»a.... 9,80678 88r
«in*.... 9,84566 i8oo3 3 R + 39012 r 4,78641 626
9,79554 26844 ^ 9,89266 82803 4,69120 407
»in a... 9,79554 87866 a 8,24187 73676 r.. — 610
r = ^= ëlZT' p 8,13453 56479 '"*^<"- -^9^
P 8,34921 90873 R 4,69119 407
p = i363 12489
P = aa34 69927.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 271
c. ...... 9,94988 08840 7 C08 G 9,88766 62110 tang'a.... 9,83092 180
ain •... 9,85324 2o538 2 R -f 28277 r 4,62o5i 18S
9,8o3i2 29378"^ A 9,88766 90387 4,45143 366
«in a... 9,8o3i2 71115 « 8,2418773676 r — 417
r = ^ 4r7'36T p 8,12954 64o"63 '"tangua.. - ^8^
P 8,35420 83289 R 4,45i4a 666
p = i347 55471
P = 2260 51987.
Arrivé aux valeurs de E(p et F(p pour l'amplitude ç = 45*, an
voit qu'en comparant ces valeurs avec celles que donne la table VIII ,
l'accord est parfait sur la fonction F, et la diffe'rence est seulement
d'une unité décimale du dernier ordre sur la fonction E. Cette
différence peut facilement être corrigée , en diminuant d'une unité
du dernier chiffre, l'une des différences premières, peu éloignée
de 45°? marquée du signe — . Nous choisirions de préférence la
différence qui répond à 3o°, et pour laquelle nous prendrions
i556 6570. On pourrait aussi , pour faire remonter moins haut la
correction, l'appliquer à la différence qui répond à 4^% où se
trouve un semblable signe — , et réduire ainsi la différence 1408 6665
à 1408 6664, ce qui. diminuera les nombres E d'une unité dans
le dernier chiffre, depuis (p = 42* jusqu'à (p = 45'*. Mais avant
d'effectuer cette correction , on peut continuer le calcul de la table
jusqu'à la fin, pour faire toutes les rectifications à la fois.
Nous remarquerons au reste que c'est par une sorte de hasard
que le calcul de la table s'est rencontré aussi exactement avec le
résultat tiré des formules générales. Cela prouve seulement que les
légères erreurs, qui, à chaque opération, affectent ou peuvent affec-
ter le dernier chiffre, se sont compensées; dans d'autres cas, la
compensation n'aura pas lieu aussi exactement; mais en opérant
avec l'attention nécessaire, il y aura rarement des erreurs de plus
de deux ou trois unités sur le dernier chiffre, et dans tous les cas,
celte erreur sera facile à corriger par les moyens que nous avons
déjà indiqués.
372 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
(f> = 46% a> = 46" i.
c 9,9^988 08840 7 cos a 9,88256 7G934 tang*a.... 9,85674 49^
sin •... 9,86o56 22069 9 ^ — 20842 r 4^463x8 5oo
9,81044 30910 6 A 9,88256 66092 4,31892 998
aina.... 9,81044 oi858 « 8,24187 y^GyQ r 291
29062 6 p 8,12444 29768 ^tang'a.. 208
P 8,35931 17684 R 431893 497
p = i33i 81216
P = 2287 24011.
<p = 47% o) = 4f |.
€ 9,94988 08840 7 COS a 9,87735 84196 tang'^a.... 9,88028 192
sin«.... 9,86763 08843 2 R — 94o55 r 6,09307 797
9,81761176839 A 9,8773490141 4,97335989
abc... 9,81749 93782 a 8,24187 73676 r 1 239^
r= 7^^ P 8,1.922 63'877 ''^"S'^.. 940
P 8,36452 83535 R 4,97338 16a
p = i3i5 91069
P= 23i4 87931.
(P = 48% a = 48» |.
c 9,94988 08840 7 cos a 9,87201 90699 tang»a.... 9,90463 964
8in •... 9,87445 61424 2 R + 1449^ r 4,26667 2o5
9,82433 70264 9 A 9,87202 06090 4,i6in 169
sina.... 9,82433 88323 « 8,24187 73676 r — 181
r = i: 18^587 p 8,1138978766 '•tang-a.. --_i45
P .8,3698668686 R 4,16110 833
p = 1299 86388
P = 2343 4563o.
(P = 49% a> = 49° i.
e :.. 9,94988 08840 7 ces a 9,86668 62916 tangua.... 9,92866 919
«in».... 9,88104 55i53 7 R — 4^77^ r 4,74129 660
9,83o92 63994 4 ^ 9,86668 16144 4,^^99^ 679
jina.... 9,83092 08876 « 8,24187 7^^76 r 65i
^7iT4 p 8,1084689820 '•*^"g'«- ^
P 8,37629 67532 R 4>^^997 59S
r
p == 1283 68662
P = 3372 98916.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^yS
(p = 5o% Où = 5o° \.
c 9,94988 08840 7 C03 a 9,86104 ii838 tangua.... 9,95247 58o
sin*.... 9,88740 60554 9 R —70457 r 4,89530981
9,83728695.956 A 9,8610341401 4,84778 sëT
sin a... 9,85727 90816 « 8,94187 73676 r 786
r= 785^9^ P 8,10291 i5c77 rtan^'a.. ^^
P 8,38o84 32275 R 4,84780 o5i
p = 1267 39359
P = 2403 49502
= 5i% cû = 51"» |.
c 9,94988 08840 7 CCS a 9,85538 02266 tang'û.... 9,97607 828
sin«.... 9,89354 43700 9 R —28628 r 4,48070528
9,84342 52541 6 A 9,85538 02266 4,45678~356
flin a... 9,84342 22293 u 8,24187 73676 r 3o2
r = 30248 "ë p * 8,09725 7594^ ^ta<a.. 28&
P 8,38649 71410 R 4,45678 9^4
p = i25i 00082
P = 2434 98977.
^ =: 52% Cà = 52° \.
c. 9>94988 08840 7 CCS a 9,84963 23386 tangua.... 9,99941 o45
sin«..., 9,^19946 ^%/fi 1 R — 99600 r 4,99882 930
9,84934 75386 8 à 9,84962 23786 4,99823 975
un a... 9,84933 75656 » 8,24187 73676 r 997
r— 99730 8 p 8,09149 274^^ rtang^a.. 99^
P 8,39225 49890 R 4,99825 968
p = 1234 524^^
P = 2467 48766.
Passé ce terme, l'angle auxiliaire a deviendrait plus grand que
45°, et alors la correction R serait plus grande que /■; c'est pourquoi
il convient de calculer A par la seconde formule. On observera en
même tems que les différences quatrièmes «T'^P commencent à de-
venir assez grandes pour qu'il soit convenable d'y avoir égard dans
le calcul de JE, et surtout dans celui de «TF. Mais pour cela,
il faut que la série des auxiliaires P soit avancée d'un terme de
plus que la quantité E ou F qu'on peut déterminer par la diffé-
rence cTE ou cTF.
i»74 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Au reste, pour rendre aussi simple qu'il est possible le calcul de la
différence cTF , on voit par la formule crF=P-j-^ /"P"— 5-^ J^cT^P"*,
qu'il faut prendre, au lieu de cT^P", la différence seconde corrigée
<i^'P° — TT^cT^P"*; et alors en appelant cette différence éT^P^c, on
aura crF = P+^cr*P»c; il en est de même de cTE. On fera d'ail-
leurs attention au signe que «T'^P" doit prendre par rapport à cT'P".
Les différences qui vont en augmentant, sont toujours supposées
positives, les autres sont négatives. Ainsi, dans la table construite
pour la fonction F , les «T^P allant en augmentant les cT^P sont po-
sitifs par rapport aux «T^P; mais les J^'P allant en diminuant (au
moins jusqu'à un certain terme), les J'^F sont négatives, ce qui
rendra cT^P» — ^ cT^P»" plus grand que cT^'P'.
<p = 55', eu = 55" i.
tango.. 0,29283 41192 2 6 9,65764 67648 5 sin*a... 9,76101 047
cos«... 9,77438 76973 2 cos a 9,81328 29020 r 3,79081 978
0,06722 17165 4 9,84376 38628 5 / 3,55182 025
tanga.. 0,06722 23333 R — 3563 r — 6a
r = ^ 6177 6 A 9,84376 35o65~" ^ "^ ^^
ce 8,24187 73676 R 3,55i8i 999
p = 1217 98201 p 8,o8564 08741
P= a5oi 00098 P 8,39811 386ii
<p = 54% co = 54° i.
tangfi.. 0,29283 41192 2 b 9)65704 SjB4^ 5 sin'a... 9,76206 5q4
costf... 9,76395 4o365 5 cos a 9,81923 32689 r 5,o6û38 002
0,05678 81557 7 9,83781 34957 5 / 4,81444596
tanga.. 0,06679 97004 R — 66229 r. — 1 i54
r = — ri"5446T A 9,83780 697^8 '*' "^ ^^'^
« 8.24187 73676 R 4,81444 094
p = 1201 39091 p 8,07968 43404
P = 2535 53958 P 8,4040703948
La série des auxiliaires étant ainsi avancée d'un terme de plus,
on peut maintenant calculer la différence cTF ou «TE qui sert à
ajouter un nouveau terme à la colonne des fonctions.
Ainsi, 1°. pour avoir le cTF qui répond à <p=:52*, j'observe que
COÏÏSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 27^
relalîvement à la différence er*P°= ioi543, on a S^V°'':=-^244,
ce qui donne la différence corrigée cr"P°c = ioi543 + ^^ . 244
= ioi56o, et ensuite /F = P + r4 J^"P°c == 2467 62998, valeur
qui, en supprimant la dernière décimale, se réduit à 2467 53oo ,
ce qui donne pour 53% F = 1,04896 1980.
2°. Dans la table des fonctions E, on a pour(p==.52% J'yzzz — 6635
et crV° = -1-73, ce qui donne S^^c^ — 6640, ^E=:p'j'~J'Y'^
= 1234 52182, qui se réduit à 1234 52 18.
(p = 55% û) = 55* ^.
tangfl.. 0,29283 4'ï92 a b 9,66704 67648 5 sin"a 9,74248 801
cos •... 9,75312 80269 sec a... 0,17469 96647 r..... 6,26680 818
0,04596 21461 2 ^ "^ ^ ^'^'^^ / 5^929679
tango.. 0,0459436616 A 9,83i75 6636î r -f 1 848
r= r"848"45T * 8,24187 73676 / _ZLl_f!!i
p 8,07363 40037 R 5,oog3o 44S
p = 1184 76988 P 8,41012 07316
P = 2671 no44'
(P = 56% œ = 56^ i.
tango.. 0,29283 4^*92 2 ^ 9.66704 67648 5 sin^a 9,7323i 828
cos «... 9,74188 94971 a séca... 0,16867 67900 r 6,09041 i85
0,03472 36i63 4 *^ '" ^^^^^ ' / 4,82273 oli
tanga.. o,o3473 69307 A 9,82661 69063 r — 1 aSi
r = ^ ri3;43T * 8,24187 75676 / + 665
p 8,06749 42739 R 4}^22'/2 44?
p = 1168 i3833 P 8,41626 o46i3
P = 2607 71702.
ç = 57% a> = 57' i.
tangB.. 0,29283 4ÏÏ92 2 b.. 9,66704 67648 5 sin'a. 9,72140 4o5
ces «... 9,73021 66240 séca... 0,16234 31620 r 4>73698 738
o,o23o6 06432 9 ^ + ^^734 / 4,46839 143
tanga.. o,o23o4 5i858 A 9,81939 28003 r 4- 646
r= 545^4T • 8,24187 73676 r' — 287
P 8,06127 01678 R 4,45839 4oa
p = 1161 5i65i P 8,42248 45674
P = 2645 35869.
276 EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
(p = 58% ù> = 58° \.
tangâ.. 0,29283 l^w^i 2 h 9,66704 ^'j'o^ 5 sin' a 9)7^974 ©77
cos «... 9,71808 51017 9 séc a... o,i56o3 73479 t 5,o6oi6 54i
0,01091 72210 1 ^ ^^iZLl r' 47%9Ô~678
tanga.. 0,01090 77361 A 9,81309 00000 r + i i49
r= TT4"857T " 8,24187 73676 V — 589
p 8,06496 73676 R..., 4^7^991 178
p = ii34 92554 P 8,42878 'j'^^'j^
P = 2684 o3ooN
(P = 59% cà = 59° \.
4,
79718
143
— 1
269
+
627
tangâ.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 S'/S4^ 5 s'm" a 9,69728 23a
cos »... 9,70646 88745 5 séc a... 0,14967 44212 r 6,09989 911
orr rr^ R — 62686 6 y
9,9983û 29907 7 /
tanga.. 9,99831 568oi A 9,80671 49i74 ''
r = Z 1 25863 3 ** 8,24187 73676 r'
p 8,04869 22860 R 4>7$7^7 5ii
p = 1118 38745 P 8,43616 24602
P = 2723 71994.
(p =: 60% Û) = 60° |.
tango.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sin' a 9,68389 126
ces «... 9,69233 88236 séca... 0,14322 86363 r 4,12199 294
9,98617 29428 8 ^ "• ^^9^ ^ / 3,80688 420
tanga.. 9,98617 42672 A 9,80027 47606 r — i3a
r = Z ^243T " 8,24187 7^6?^ r' + 6£
p... 8,0421621282 R 3,8o588 352
p ■= 1101 92623 P 8,44160 26070
P = 2764 4^°9^'
(p = 61% Cû = 61* i.
tango.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 6^64^ 5 sin* a 9,66960 44^^
cos «... 9,67866 29016 4 séca... 0,13671 86770 r 5,4i2o5 585
9,97149 70207 6 ^ __±_i^^_Z / 5,o885F^
tanga.. 9,97147 07762 A 9}79'^77 76042 r -|- 2 626
r= 2 62455 6 « 8,24187 73676 / - 1 ^26
p 8,o3665 49718 R 5,08867 424
p = io85 66286 P 8,44809 97634
P = 2806 07816.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 277
^ = 62% Où = 62" \.
tango.. 0,29283 41192 2 h 9,65704 67G48 5 sin* a 9,65409 SSg
cos«... 9,66440 55998 2 séca... o,i3oi8 18162 r 4,9^490 83i
9,95723 97190 2 ^ ^^^'^ ^ / 4,58300 690
tanga.. 9,95723 11109 ^ 9^7^723 24616 6 r -f- 86i
,= i^oSTT - «-°4.87 75676 / -588
p 8,02910 98292 6 R 4>589oi i63
p = 1069 32527 P 8,45464 49059 4
P = 2848 6881 3.
(p = 65% cû = 63° 1.
tango.. 0,29283 41192 2 6 9,65704 67648 5 sin'a 9,6375o 671
cos «... 9,64952 74374 o séca... 0,12359 79i3i r 5,03287 73a
^;^4^36"T55667 ^ ___J68_i5_ 5_ ^. 4,67038 3"^
tanga.. 9,94235 07702 A 9,78064 93595 r + \ 079
r= To^^eTI - 8-°^ ''^7 7%^ ^ - '^^^
P 8,02262 67271 R 4^67038 914
p = io53 2385o P 8,46122 80081
P= 2892 10701.
(p = 64% ^==64'i.
tango.. 0,29283 41192 2 b 9,65704 67648 5 sin^'a 9,61963 588
cos<y... 9,63398 43502 6 séca... 0,11698 70216 r 5,i3o52 610
9,9268114694 8 ^ ^1± r' 4.75016 198
tanga.. 9,92680 49636 à 9,77403 94119 6 r + i 35i
r= TlE^i ' 8,.4.87 75676 / - 565
P 8,01691 67796 6 R 4,76016 986
p = 1037 32962 P 8,46783 79556 4
P = 2936 55376.
<p = 65% ù) = 65" i.
tango.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 SjG4^ 5 sin* a 9,6oo38 902
cos «... 9,61772 69686 8 séca... o,iio36 9x646 r 4y4^4^^ 14^
9,91066 10779 ^ Z_L°I^i-i r' 4,01471 044
tanga.. 9,91066 36740 A 9,76741 48960 r — 260
u 8,24187 73676 r' + io3
r = — 26961
p = 1021 62677
P = 2981 68989.
p 8,00929 22626 R 4*01470 887
p = 1021 62677 P ^)4744^ 247^^
ce
ajS EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
<p ^ 66% û> = 66'' i.
tangfl.. 0,29283 4^ig'3. 2 b 9,66704 67648 5 sin" a 9,67964 565
cos »... 9,60069 96819 9 séc a... 0,10373 12683 r. 5,47287 602
9,89353 38oi2 1 ^ ^^833^ y ô^aTT"^
tanga.. 9,89360 4^3'5ï A 9,76078 93166 3 r + ^ 971
r = 797081 1 " 8,24187 y^GjG / _"li_!^
p 8,00266 66841 3 R 5,06243 910
p = 1006 16916 P.., 8,48108 8o5io 7
P= 3027 62718.
<p = 67% a> = 67* i.
tangS.. 0,29583 4^^^^ 2 b 9,66704 6y64B 5 sin* a 9,66707 886
cos «... 9,68i83 96(306 8 séc a... 0,09712 86688 r 4.7545o i23
9,87667 ^7798"" ^ 20493^ ^ 431168 00^
tanga.. 9,87666 80978 A 9,76417 74828 5 r + 568.
r= 5^820 * 8,-24187 75676 / — 20-^
p 7,99^06 48604 5 R 4,3ii68 372
P = 990 9^709 P ^À^7^9 98847 5
P = 3073 97184.
(P = 68% û) = 68» |,
tangS.. 0,29283 4i'92 2 & 9,66704 67648 5 sin* a 9,53272 879
CQS«... 9,66407 54326 1 séc a... 0,09065 06734 r 4)74i8i 082
^85690 96618 3 ^ Zi^J. r" 4,27463 g'ëT
tanga.. 9,86691 60702 A 9,74769 55566 r — 662
^ ^ Z 55i83 7 « 8,24187 73676 / + 188
P 7-98947 29242 R 4*27453 597
p = 976 06193 P 8,49428 18110
P = 3i20 91407.
<p = 69% a = 69* i.
tangfl.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sm^ a 9,^0626 6o5
co8^... 9,54432 62953 9 séc a... 0,08400 62848 r ^,39972 58o
^^:8377574"^46T ^ __±J^^L r' 4,90598 ili"
tanga.. 9,83713 43ii6 A 9,74106 iio34 r + 2 5io
T-- « 8,2418773676 r' — 8o5
r = a 5io3o i z' ' ' '
p 7.98293 84710 R 4^%'^'^99 890
p = 961 47605 P 8,5oo8i 6264a
P = 3i68 22681.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 279
<p = 70% cù = 70" 7.
tang9.. 0,29283 41192 2 b 9)66704 67648 5 sin» a ^All^^l 600
cos«... 9,52349 52565 4 séca... 0,07764 84976 r 4>85249 463
9,8i632 93767 6 ^ __Zil??ll r' 4,33oo7 o"63
tanga.. 9,8i633 64960 A 5,73469 31243 r — 713
r = II ^"^ « 8,24187 73676 r' + ^'4
p 7^97647 04918 R 4,33oo6 566
p = 947 26282 P. ...... 8,60728 ^1^^
P = 32i5 76455.
<p = 71% (à = 71- \,
tâiigfl.. 0,29283 41193 2 h 9,66704 ^']^^^ 5 sin' a 9,44626 918
cos «... 9,60147 64453 6 sec a... 0,07116 92270 r 5,33736 600
9,7943 r75645 8 ^ + ^°765 1 / 4^7836*2 118
tânga.. 9,79428 88193 A 9,72821 20681 6 r + 2 176
r = r77'45^ * 8,24187 73676 / - 608
p 7,97008 94357 6 R 4,78363 986
p = 933 4465i p 8,6i366 62994 4
P = 3263 36236.
(P = 72% Où = 72' i.
taogS.. 0,29283 41192 2 h 9,66704 67648 5 sin*a 9,41216 iga
C08 «... 9,47814 18041 1 séca... 0,06489 06620 r 4*96896 607
9~77S^7%â33^ ^ __jLfi°_^l. r' 4,38iii 699
tûnga.. 9,77096 66i3o A 9,72193 98219 r -4- 931
r = 93io3 3 * 8,24187 70676 / — 24'
p 7,96381 71896 B. 4)38ii2 089
p = 920 06220 P 8,61993 76467
P = 33io 835o6.
^ = 73% Ce) = 7
tangâ.. 0,29283 41192 2 h 9,66704 67648 5 sin* a 9,37486 466
cos «... 9,46334 18046 3 séca... 0,06875 4^277 r 4>74652 989
9,74617 69238 "4 ^ "" ^^^^4 5 ^ 4,i2i38~444
Unga.. 9,74618 16017 ^ 9*71579 96701 r — 558
rz=z^ 55778"6 * 8,24187 73676 r + 1^2
p 7195767 70377 R 4>i2i38 018
p = 907 14668 P 8,5a6o7 ']^'^']^
P = 3367 97685.
28o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
<P = 74% « = 74" i.
tango.. 0,129283 41Ï92 2 Z> 9,66704 67648 5 sin'a 9,33388 855-
cos«... 9,42689 88240 2 séc a... 0,06276 4^7^^ ^ 6,38908 624
9";^73'79432 4 ï^ _Ji_^i?f_i / '47^'^^
tango.. 9,71970 84478 ^ 9,70981 62228 r + 2 4^0
r = ~4^^4~4 " 8,24187 73676 / ,.... - 5a8
P-» 7,96169 35904 R..... 4^72299 3oi
p= 89473328 P 8,6320611448
P = 3404 66120.
<p = 75% oj = 75° f.
tango.. 0,29083 4iip9 2 ^ 9>657o4 67648 5 sin*a 9,28893 092
cos«... 9,3q^B9 Q^42i 3 séc a... 0,04696 86938 r 3,46664 623
^;6^3 37^1.3 5 ^ ~ ^^9 6 / 2,76667 6i5
tanga.. 9,6q'43 40642 A 9,70401 53oi7 r — Q.^
r = - 2928 5 - 8,24 ig7 75^76 r' _±_1
p 7,94689 26693 R 2,75557 69a
p = 882 86168 P 8,53786 20669
P = 3450 34137.
<p = 76% (jù = 76°
tangfl.. 0,29283 41192 2 b 9>657o4 67648 5 sin'a 9,23923 24^
cos«... 9,368i8 62634 1 séca.... o,o4i37 i6?98 r 6,49966 92^
9.66101 937"^6T ^ ±1^^ / 4,73880 17I
tanga.. 9,66098 77812 A 9,69842 37862 6 r + 3 169
« 8,2418773676 / — 648
3 16914 3
56775
P= 3495 06162
p 7,94c3o 11628 5 R 4,7388a 787
p = 871 56775 P 8,54345 35823 5
(p = 77% ù> = 77» i.
tangfl.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sin^ a..... 9,18425 189
cos«... 9,33633 67606 1 séca... o,o36oi 86194 r 6,42008 602
^2817 08698 3 ^ ____ii''Jf^ / 4,60433 691
tanga.. 9,62814 46620 A 9,69^06 q4o55 r + 2 63i
r = 2"63^8~3 *• 8,24187 73676 r' -• ^02
p 7,93494 67731 R 4*60435 gao
p = 860 88824 P 8,54880 79621
P = 3538 40844.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 28*
<p = 78% a> = 78° i.
tangO.. 0,39283 41192 2 b 9,65704 67648 5 sin»c 9,i23io 965
co9«... 9,29965 53093 1 séca... o,o3o93 3588i r 4,02719 870
9,59248 94285 3 ^ __±_ilîlf r' 3,i5o3o 825
tang a.. 9,59248 83639 A 9,6879804943 r + io6
r = '~~ :^4T3 " 8,24187 73676 / - ^4
p 7,92985 78619 R 3,i5o3o 917
p = 85o 86952 P 8,55389 68733
P= 358o 11414.
<P = 79% « = 79°
tango.. 0,29283 4^192 2 b 9,63704 67648 5 sin'a...... 9,05468 i58
CCS «... 9,26063 30434 4 séca... 0,02614 06192 r 5,i5o62 874
9,55346 71626 6 ^ T-J^f^A r' 4,2o53i o3a
tanga.. 9,06348 i3o85 A 9,68018 66797 r — i 41S
r = - 1 4,458 4 * '8,24187 73676 / + ^gp
p 7,92606 3o473 R.... c. 4,20629 yjj
p = 841 61730 P 8,55869 16879
P = 3619 86928.
<p = 80% a> = 80» i.
tango.. 0,29283 4' 192 2 b 9,66704 67648 5 sin=a ^^977^9 84a
cos«.... 9,21760 92289 4 séca... 0,02166 38944 r 6,48066 737
9,61044^3481 6 ^ ."Lî^Zf^J. J' 4.45816 679
tanga.. 9,61041 3io22 A 9,67871 353i3 r + 3 026
, == 3" 02459 6 * 8,24187 73676 / ~ 287
p 7,92069 08989 R 4j458i9 317
p = 832 89623 P 8,563iè 38363
P == 3657 32737.
= 81% a> = 8i« i.
tango.. 0,29283 41^92 2 b 9,66704 SjS4S 5 sina. 8,89002 oJa
C03*»... 9,16970 2o''67 7 séca... 0,01764 70264 r 6,32177 267
9.46.63 6^069 9 ^ ~ '^^^"^ ^ / 4JiT^l%
tanga.. 9,46266 71844 A 9,67469 21618 r — a 098
r = II ^^8"4T * 8,24187 73676 / + i65^
P 7'9»646 96294 R 4,21177 354
p = 826 02960 P 8,56728 62068
P = 3692 19990.
262 ÉXÉllCICËS Î)Ë eALCÛL INTÉGRAL. ^
<P = 82% ù> s: 82" |.
tangfl.. 0,29283 41193 2 ô 9,66704 67648 5 sin'fl 8,78961 oi5
cos «... 9,ii56g 76687 2 séca.... g,oi38o 36847 ^ 5}43o9i 090
9,4o853 17879 4 ^ ___JlUi^_L^__ r' 4,22042"!^
tanga.. 9,4o855 87098 A 9,67084 87884 5 r -*- 2 697
r = II 76^7^ * 8,24187 75676 ^ + 16S
p 7,91272 6i56o 5 R 4j22o39 674
p ■== 817 94887 P 8,5710a 86791 5
P = 3724 i6ai3.
<p = 83% û) = 85" j. ■
tângfl.. 0,29283 41192 2 b Cj,Gbjo4 67648 5 sin'c 8,67238 127
cos a... 9,o5385 87663 7 séc a... 0,01046 06407 r 6,62014 949
9,34669 28766 9 ^ __i_i^^± r' 429253 076
tanga.. 9,34666 ii743 à 9,66760 92669 7 r. +4 17°
r = 4^7^^ " 8,24187 75676 / _r__i^
p 7,90938 66345 7 R 4*29257 o5o
p = 811 68534 P 8,67436 81006 3
P =. 3762 90968.
(P == 84% « == 84» {.
tango.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sin'^a 8,53367 0^9
cos (»... 8,98167 28716 4 séc a... 0,00766 01040 r 5,3363o 680
'^4~4ô 69907 6 ^ __±_!.i!£^ r' 5i8ë^97~7^
tanga.. 9,27438 62984 ^ 9,66469 76101 6 r ' «f- 2 169
- r= r"i6923 6 « 8,24187 73676 / g- — 74
P 7>9^^47 49777 5 R 3,86999 814
p = 806 26976 P 8,57727 97674 5
P = 3778 15488.
(p = 85% A) i= 85» |.
tango.. 0,29283 41192 2 & 9,66704 S7S4S 6 siri* a 8,36466 56a
cos a... 8,89464 52984 o séca.... o,oo5o8 74168 r 6,76770 888
9,18747 74176 2 ^ L?Î^A ^' 4, i225f 44S"
tangà.. 9,18742 01764 A 9,66213 55073 r 4~ 6 734
r=: ?~7^2"7 « 8,24187 73676 / - i55
p 7,90401 28749 R 4j12243 l3l
p z= 801 70183 p 8,67974 i86o3
P = 3799 65483.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^bS
(p = 66% a> = 86° {.
tângfl., 0,29283 4U92 2 b 9>657o4 67648 5 sin*a...... BjiBogB 984
co5#... 8,78567 52787 7 sec a... o,oo3o9 60397 /• 5^82525 762
9,07860 937777 ^ ^ ^^'' ^ '^ 3:97419 yi"
tang a.. 9,07857 59617 A 9,66014186237 r..., ~ iS 656
r=:Z:: 6 65637 1 ''""•'" ^^^^^^^7 7^676 / + 94
P 7,90201 92299 7 R 5,974V3 ?74
p = 798 o3oo2 P 8,58173 55o52 3
P = Z^ij 11729.
(p = 87», « = 870 {.
tangfl.. 0,29283 4^i^a 2 3 9>657o4 67648 5 sin* a 7,86161 3oo
cos «... 8,63967 95616 1 sec a... o,ooi58 47^4^ t •• 6,08802 238
8,9325 1 36808 3 ^ + ^9°7 5 ^ 3,94963 538
tangc. 8,93239 12129 à 9,65863 23702 r + 12 247
r = r2"l4b>^ « 8,24187 73676 / _-- 89
p 7;9oo5o 97378 R 3,94975 696
p = 795 26110 P 8,58324 49974
P =1 383o 40766.
(p = 88% a> = 88" i.
tangfl.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sin*a 7,4ao56 ooâ
cos «... 8,41791 90153 9 séca... 0,00057 26469 r ^^99792 778
8,71075 3i346 1 ^ - ''^^° ^ / 3,41848 78^ '
tanga.. 8,71086 26586 A 9,66761 91497 r — 9 q5a
r = — 9 95239 9 '^ 8,24187 73676 / + aS
P 7^^949 66173 R 3,4i838 854
p = 793 40789 P 8,68426 82179
P = 3839 35454.
(P = 89% 0) = 890 i.
tangfl.. 0,29283 41192 2 b 9.66704 6';64S 5 shi" a 6,46665 6j4
cos «... 7,94084 18696 8 séca... 0,00006 36026 r. 6,46332 4gi
8,23367 59789 ^ __t_J!l^ r' ^7^^
tanga.. 8,23339 19746 A 9,66711 04606 8 r 4- 28 400
r= 28 40043 • 8,24187 73576 / ~ 8
P 7,89898781828 R 2.92026 "557
p = 792 47910 P 8,68476 69169 a
P = 3843 85429.
384 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
2o5. Ici se termiae le calcul des auxiliaires p et P; car pour,
<p = go% on aurait û)=90°7, et les auxiliaires seraient les mêmes
que pour &) = 89°^, ou pour (p=89°. De même pour (p = 9i% les
auxiliaires seront les mêmes que pour <p =88°; de sorte qu'à 90°, la
différence S^p ou cTP est la même au signe près que pour 88°; on
a donc toutes les données nécessaires pour terminer les deux séries
des fonctions E et F, et compléter le tableau ci-joint, qui contient
le résultat de tous les calculs précédens. Y%^^i,^*^l ,^^,^ o a^ n.
C .-c^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. \Ct^
^t \285
(p. E.
«^E.
P-
«^p.
^=p.
^y
«^^/J
Deg.
o
1
2
3
4
0.00000 0000
0.01745 258q
o.o34qo 0958
0.06234 0888
0.06976 8166
1745 2689
1744 8369
1743 9930
1742 7278 —
1741 0418
ij^S 27649
1745 27649
1744 85446
1744 01069
1742 74532
1741 06926
00000
42203
84387
i 26627
1 6860D
2 10602
42203
42184
42140
42079
4199S
41890
19
61
83
106
124
25
17
22
23
18
23
5
6
7
8
9
0.08717 8584
0. 10456 j^i^^
0.12193 205l
0, 13926 6735
0. i5656 7832
1738 9358
1736 4109
1733 4684
1730 1097
1726 3365
1738 95324
1736 4^^832
1733 48674
1730 12697
1726 36368
2 62492
2 94268
3 35877
3 77'5q,^
4 18692
41766
41619
41462
41263
41062
167
189
21 1
23 1
20
22
22
20
23
lO
1 1
12
i3
i4
0 . 1 7383 1 1 97
0. 19106 2703
0.20822 8246
0.22535 3744
0.24242 5 140
1722 1606 -\-
1717 5543
1712 6498
1707 1396
1701 3265 —
172a 16776
1717 57132
1712 b^Q^j
1707 i5635
1701 34312
4 59644
5 00466
5 410^2
5 8i323
6 2i3i8
40821
40667
40291
39995
39674
264
276
296
321
343
22
20
25
22
20
i5,
i6
18
19
0.26943 84o5
0.27638 9539
0.29327 4576
0.3 1008 96^0
0. 32683 o658
1696 1134
1688 6q36
1681 5oo5 +
1674 1078
1666 3293
1696 12994
1688 62002
1681 61679
1674 12388
1666 34620
6 60992
7 oo323
7 39291
7 77868
8 i6o36
39331
38968
38577
38 168
37731
363
391
409
437
460
28
18
28
23
22
20
21
22
ii3
24
0.34349 3961
0.36007 5^42
0.37667 1968
0-39297 9173
0.40929 3607
i658 1691
1649 63i6 -}-
1640 7216 —
i63i 4434
i6ai 8026
i658 18484
1649 ^47^7
i64o 75679
i63i 45852
1621 81747
8 53767
8 9io38
9 27827
9 64105
9 99^49
37271
36789
36278
35744
35 186
482
5ii
534
669
689
29
23
25
3o
23
25
26
27
28
29
0.42661 1633
0.4416a 9676
0.45764 4218
0.47355 1800
0.48934 9023
1611 8043
1601 /ji^b/\Q.
1690 7682
1679 7223
i568 353o
i6ii 81898
1601 4^4
1690 77234
1679 73620
i568 36666
10 35o34
10 69630
11 o36i4
11 36966
1 I 69627
34596
33984
33341
32672
31972
612
643
700
73o
3i
26
3i
3o
29
3o
3i
32
33
34
35
36
37
38
39
o.5o5o3 2553
0.52069 9124
o.536o4 5638
o.65i36 8671
0. 56656 5476
i556 6671 —
1644 6414
i632 3i33
1619 6804
1606 7606
i556 67038
1644 65439
i532 32698
1619 69274
i5o6 76269
12 01699
12 32841
12 63324
12 9301 5
i3 21880
31242
3o483
29691
28866
28007
759
793
826
868
896
33
34
32
38
33
o.58i63 2981
0.69666 83o2
0.611 36 8638
0.62603 1278
o.64o65 36o4
1493 5321
1480 o336
1466 2640
1452 2326
1437 9491
1493 54379
1480 04492
1466 27494
1462 2431 3
1437 96919
i3 49887
i3 76998
i4 o3i8i
li 28394
14 62699
271 1 1
26183
26213
24206
23167
928
970
1008
1048
1090
42
38
40
43
48
40
4»
42
43
44
45
0.66493 3095
0.66916 733o
0.68326 3996
0.69719 0882
0.71097 6899
0.72460 7071
1423 4235 -f-
1408 6665 —
1393 6887
1378 6017
i363 1 172
1347 5475
1423 43320
1408 67664
1393 69741
1578 60989
i563 12489
1347 5547^1
14 76766
14 97823
16 18762
16 38 600
i5 67018
i5 74266
22067
20929
19748
18618
17237
16902
ii38
1181
i23o
1281
i335
i388
43
49
5i
64
53
61
dd
286 '
!^ "" EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
9-
F.
<^F.
P.
J^P.
«^=^p.
«J3p.
<r^p.
Deg.
O
1
2
3
4
5
6
9
10
II
12
i3
i4
0.00000 0000
0.01745 3996
0.03491 2214
0.05937 8879
0.0G985 8226
1745 3996
1745 8218
1746 6665 +
^747 9347
1749 6275
1745 38201
1745 38201
1745 80418
1746 64891
1747 91702
1749 60972
00000
42217
84473
1 26811
1 69270
2 11892
42217
42256
42338
49459
49622
42825
?9
82
121
i63
203
245
43
39
42
40
42
42
0.08735 45oi
0.10487 1966
0 . 1 224 1 4904
0. 13998 7621
0 15759 44^4
1751 7465
1754 2938 —
1757 2717 +
1760 6833
1764 53.8 —
1751 72864
1754 27581
1757 25368
1760 665 12
1764 5 1340
2 54717
2 97787
3 41144
3 84828
4 28884
43070
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49
76
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86
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437
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0
92879
90
1.18268 9083
792 47910
4- 92879
288
EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
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4- 6007
i85i8
2062
70
1.52385 5182
32 1 5 7671
32 1 5 76455
47 59781
— 125ll
2©58o
2073
71
1.55601 2853
0263 3572
3263 36236
47 47^^70
33091
22653
2021
72
1.58864 6425
33io 8213
33 10 885o6
47 14179
55744
24674
1910
73
1.62175 4638
3357 9537
3357 97^85
46 58435
80418
26584
1737
74
75
1.65533 4175
3404 5277 —
3404 56 120
45 78017
1 07002
28321
1478
1 . 68907 9452
3450 2968
3450 34137
44 71015
1 35323
^9799
ii35
76
1 .72388 2420
3494 9q52
3495 o5i52
43 35692
1 65l22
30934
7i5
77
1.75883 2372
3558 3397
3538 40844
41 70070
1 96056
31649
-j- 202
7»
1.79421 5769
358o o325
358o 11414
39 745 14
2 27705
3i85i
— 377
79
80"
1 . 83oo 1 6og4
1.86621 3738
3619 'j644
3619 85928
37 46809
2 59556
3.474
1026
3667 2192
3657 32737
34 87253
2 9io3o
3o448
171 1
81
1 .90278 5930
3692 0786
3692 19996
3i 96223
3 21478
28737
2417
82
1 . 93970 Gy 1 6
3724 0281
3724 1621 3
28 74745
3 5o2i5
26320
3 106.
83
j. 97694 6997
3752 7636
3762 90958
25 24530
3 76535
23214
3754
H
85
2. 0)447 4633
^777 9979
3778 15488
21 47995
3 99749
19460
4320
2.o5295 4612
0799 4682 —
3799 63483
17 48246
4 19209
i5i4o
47^6
8b
2.09024 9294
38 16 9425
3817 11729
i3 29037 <
4 34349
io364
5 102
^7
2. 12841 8719
383o 2265
383o 40766
8 94688 .
i 44713
5262
5262
88
2. 16*^72 0984
3839 1691
3839 35454
+ 4 4997^ '
4 49975
0
«9
2.2c5ll 2675
3843 eees +
3843 85429
0 i
i 49.975
.
90
2.24354 9341
— 4 49975
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 269
On voit par le dernier re'sultat que la fonction complète F' n'est
en erreur que d'une unité du dernier chiffre, et celte erreur se
corrigera immédiatement en prenant 3845 6667 pour le cTF qui
re'pond à 89% changement indiqué par la valeur 3843 6666 -{-.
A l'égard de la fonction complète E', on voit que le dernier
chiffre est trop petit de deux unités; on a déjà vu qu'à 45% le der-
nier chiffre de la fonction est trop grand d'une unité. Ces deux
légères erreurs se corrigeront fort simplement en retranchant du
dernier chiffre des fonctions E une unité de Si" à 5i', les laissant
comme elles sont de 62° à 5S'*, ajoutant une unité de 5g à 62^ et
deux de 63 à 90°.
Les fonctions E et F étant ainsi corrigées, on y joindra leurs
différences successives jusqu'au quatrième ordre, et on aura la table
particulière pour le module sin63% telle qu'on la trouve parmi
celles qui composent la table IX.
206. Il est bon de prévenir ceux qui voudraient exécuter de sem-
blables calculs pour d'autres modules, que lorsque quelqu'erreur
se glisse dans le calcul des auxiliaires P , on la reconnaît facilement
par les irrégularités que présente alors la colonne des différences
quatrièmes ^^V , ou même l'une des colonnes précédentes, si Ter-
reur est considérable.
En effet, si au lieu de la véritable valeur P = 7W, on a trouvé
P = /72+e, l'erreur -f-<^ affecte la différence cT'^P, et les différences
précédentes du même ordre ou de la même colonne, de manière
qu'en remontant de cT^P à J^^po^o^ i^g nombres de la colonne qui
devraient être J^^^m, S^^m% S^m"", ^^nf"', cT'^m"""', sont respective-
ment J4/?î + e, S^m^ — Z^e, J''fm''°+6e,/^m"°— -4e,cr^/7î^^"-f-e(*),
Lorsqu'on rencontrera donc des inégalités semblables qui sup-
posent e=i, ou e>»i, il sera facile de voir quelle doit être
la valeur de e pour rétablir la marche ordinaire des différences,
et à compter de quel terme il faut appliquer, en remontant dans
la colonne, les corrections — e, -|-4^j — ^^,'•^4^, — c, ce terme
(*) Dans la colonne des différences cinquièmes , les erreurs successives dues
à la même cause, seraient en remontant — e, -f-5c, — ioe, + io(;, — 5e,.
4- e , et ainsi dans les autres colonnes , suivant les coefGciens des puissance»
du binôme.
29^ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
sera celui où la valeur de P est fautive, et auquel il faut appliquer
la correction — e. Cette pratique, avec laquelle on se familiarisera
aise'ment, est utile ou même indispensable, pour construire avec
succès une table quelconque de quantités dont les différences suc-
cessives décroissent d'un ordre à un autre , jusqu'à ce qu'elles
puissent être négligées.
207. Après avoir construit la table IX, qui sera composée de
75 tables particulières pour tous les angles du module de 1° à yS*
(ou de 61 seulement, si on ne la commence qu'à l'angle de i5°),
on aura déjà les moyens de réduire aux règles ordinaires d'inter-
polation, la détermination de toute fonction E ou F dont le mo-'
dule ne surpasse pas sin 75°. Mais l'interpolation d'une pareille
suite de tables dans lesquelles l'amplitude et l'angle du module
croissent progressivement d'un degré, exigera d'assez longs calculs ,
si l'on veut avoir égard à toutes les différences influentes, ou ne
donnera qu'un petit nombre de décimales exactes, si l'on ne tient
compte que des différences premières et secondes. Pour avoir des
tables usuelles plus commodes , il faudra faire croître Tamplitude
et l'angle du module par des intervalles notablement plus petits
qu'un degré; cependant si ces intervalles devenaient trop petits,
le volume de la table générale augmenterait d'une manière incom-
mode, et l'exécution en deviendrait extrêmement laborieuse.
Nous pensons que pour tenir un juste milieu, il conviendra de
fixer à un quart de degré l'intervalle constant par lequel on fera
croître l'amplitude et l'angle du module. Chaque table particulière
étant calculée pour les degrés successifs de l'amplitude, il faudra
insérer trois moyens entre deux termes consécutifs, afin de réduire
les intervalles à un quart de degré, et nous donnerons ci-après les
formules nécessaires pour cette interpolation. On aura donc ainsi
jS tables calculées pour les quarts de degré de l'amplitude, et
pour tous les degrés de l'angle du module, depuis 1° jusqu'à yS*.
208. Il resterait à interpoler semblablement les résultats donnés
par ces tables pour un même degré d'amplitude , de manière à
insérer trois moyens entre deux termes consécutifs. Cette opération
se ferait par les mêmes formules que dans le premier casj mais
les résultats n'en pourraient pas être aussi exacts, parce que
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 291
Terreur d'une ou de deux uniles sur le neuvième chiffre, qu'on
ne peut guère éviter dans le calcul de chaque fonction E ou F,
se rencontrera souvent en sens opposé, dans deux fonctions con-
sécutives correspondantes à différens modules, ce qui nuira à l'exac-
titude des calculs d'interpolation. Il nous semble donc préférable,
quoique plus long, de calculer directement chaque table particu-
lière pour tous les angles du module, de quart en quart de degré.
Ou aura ainsi 3oo tables indépendantes entr'elles, et pourvues cha-
cune d'un semblable degré d'exactitude; ces tables calculées pour
tous les degrés d'amplitude , devront être ensuite interpolées pour
tous les quarts de degré.
Le système des 3oo tables particulières dont nous parlons, pourra
être réuni dans un volume in-4° de grosseur médiocre , si toutefois
on se contente des simples fonctions, sans y ajouter leurs diffé-
rences. En supposant que chaque page soit composée de huit
colonnes, de soixante termes chacune, un degré occupera 6 pages,
et les 75 degrés en occuperont 4^0; mais alors il y aurait 83 chiffres
sur chaque ligne horizontale, ce qui est peut-être trop considérable.
La disposition sera moins commode avec six colonnes par page ,
et le nombre des pages serait porté à 600, mais l'exécution typo-
graphique en serait plus facile.
Pour qu'on ait une idée plus précise de la grande table dont
nous venons d'indiquer la construction, nous joigaons ici une page
entière de cette même table , calculée avec toute l'exactitude qu'on
peut désirer, dans l'hypothèse que le nombre des pages est de
45o; pour les angles du module 54% 54°^, 54°^, 54°|. On a fait
directement les calculs pour tous les degrés d'amplitude de 45 à 60°;
ensuite les résultats ont été interpolés pour chaque quart de degré
par les formules que nous allons rapporter.
2og. Soit A une fonction de la variable «, et cTA, cT'A, cT^A, etc.,
les différences successives de cette fonction , lorsque la variable a
augmente continuellement d'une unité. Soit A-f-j ce que devient
la fonction A, lorsque a se change en a-f-a:, on aura
j = ^cTA + ^ (cT'A + ^ (/^A + etc. ,
chaque parenthèse enveloppant tout ce qui suit.
292 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Soient maintenant^', j"^ j'", les valeurs que prend j* lorsqu'on
fait successivement x=i, j: = 7, «a^=f > et soit pour abréger
M__ <r»A «FA J^^A
on aura en se bornant aux «^ ,
f 3 , 3.7 3.7.11
.// ^^ Q-2 , 2.2.6 2.2.Ô.10
r'" — 5a — — a -4- ^-^ «f — ^•^•5-9 „ .
j _- 5a. — ^ ct,-\~ —g-- et, ^-g-^ a^;
mais en appelant ^A, ^*A, d^A, ^^A, les nouvelles diffe'rences
de la fonction A, dans la suite A, A+y, A+y, A+y, A+cTA,
qui répond aux variables a, a+^, «!+l, «+J, « + i, on aura
^A=y, j'A=7"— 2r', ^^A==y'— 3y+3y, t/*A=crA— 4j'^'
4-6|" — 4y. (Jonc les différences dk, d^A, etc., peuvent être dé-
terminées directement par les formules
^A = a. — I a, -I- ^ «3 — ç a^,
d^A == a, — 5*3 + ^^ «4,
d'A = ^3 — T «^4>
c?^A = ' ct^,
et pour la facilité du calcul, on pourra prendre l'ordre suivant
d^A = a^,
d^A := cto —- % et,
"4»
J*A = a^ — «3 + i a^ — 2<i^A,
dAz=a, — «a + 2a3 — 5*4 — 5- d^A.
Connaissant ainsi les quantités A, dA, d*Ay d^A, d^A, on formera
de la manière accoutumée les quatre termes de la colonne des
fonctions, depuis A jusqu'à A+cTA, et ce dernier terme déjà
connu, donnera une première vérification de l'opération; ensuite
la. liaison des nouvelles différences avec celles des précédons ré-
sultats, sera une seconde preuve de l'exactitude des calculs.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.
295
^ 1 E(?,5n |E(p,5îoi5').1E(p.54»3o').IE(p,54»45')
450
45 i5'
45 3o
45 45
46
46 i5
0.73597 a855
0.73954 7899
0.74311 5i3i
0.74G67 5i36
0.76023 7298
0.75377 i8o3
0.73563 990'
0.73920 94''"
0.74277 ia33
o.74(i32 5371
0.74987 1807
0.75^4' "525
0.75730 8638
0,76083 77
0.76435 9242
0.76787 2986
0.77137 9009
h i5
48 3o
48 45
0.77487 7298
().77i^3t) 7844
o.78i!i5 0635
0.78532 5662
0.78879 2916
0.79225 2388
0.79570 4069
799 '4 7952
5o258 4o3^
0.80601 2290
0.73530 7638
0.73887 1599
0.74242 782
0.74597 o3o
0.74951 7024
0.75304 9962
0.75694 i5n
0.76046 47^'
0.76398 0232
0.76748 7942
77098 7867
0.77447 9997
0.77796 4321
0.781^4 "827
0.78490 9306
0.78837 o34
0.791^2 3343
0.79526 8484
0.79870 5762
o.8o2i3 5171
0.73497 6075
0.73853 4506
0.74308 5 145
0.74562 7975
0.74916 3980
0.7526g 0145
0.75657 5 106
0.76009 3443
0.76360 1959
0.76710 3641
0.77059 7477
77408 3455
0.77756 i564
0.78103 1792
78449 4129'
78794 8566
0.75620 9456
0.75972 0898
0.76322 4457
0.76672 OI20
0.77020 7874
0.77368 7708
0.777 '5 9^09
0.78062 3566
0.78407 giCg
•8752 7608
0.79139 5092
0.79483 36()Ç)
0.79826 4380
0.00168 7125
o.8o555 6702I0.80510 1929
0.80943 2742
81284 5365
81625 0160
81964 7121
o,823o3 0245
0.80897 o35ob.8o85o 8784
0.81237 6109
0.81577 3973
0.81916 3939
0.82254 6002
0.82641 7529
0.82979 0971
o.833i5 6567
0.83651 4317
52 3o_| 0.83986 4219
0.84320 6273
0.84654 o47'
0.84986 68a.
0.853 18 5352
o. 85649 ^023
5a 45
53
53 i5
53 .30
53 45
54 i5
54 3o
55 i5
55 3o
55 45
56
56 i5
56 3o
56 45
57 ,
57 i5
57J2
■5745'
58
.58 i5
58 3o
58 45
o. 85979 8853
o.863o9 3846
86638 ioo5
0.86966 o335
0.87293 1842
82692 01 58
82928 64 o5
0.83264 4740
0.83599 ^^^2
0.83933 7669
0.64267 2260
0.84599 8937
0.84931 7699
0.86262 8548
0.86693 i486
0.79096 7672
<^.794'^9 9753
0.79782 384
0.80123 9932
0.80464 801 5
81 190 7685
0.81629 8626
0.81868 1602
0.82206 6609
82542 3643
0.82878 2701
o.832t3 3781
0.83547 6880
8388 I 199
o.8o8oi 8084
0.81144 oi33
0.S1482 4167
0.81820 oi5o
0.82166 8107
0.82492 8026
0.82827 9902
0.83 162 3732
0.83495 951 5
0.83828 7248
0.84213 9132
0.84545 8284
0.84876 9454
0.86207 2642
0.86536 7861
0.86922 65 14
0.86261 363;
0.86679 286»
0.86906 4181
0.87282 7612
0.85865 5o83
). 86193 434^'
0.86620 5627
86846 - ■
87172
87619 553o
0.87945 1407
0.88269 9480
0.88693 9766
0.88917 2244
0.89239 6962
0.89661 3891
0.81882 3071
o.(;o202 45 -'3
0.90521 8198
0.87668 3i55
0.8-883 0818
0.88207 060 _
8853o 26 io
0.88862 6696
59 i5
69 3o
69 45
6b
0.89174 2811
0 . 89496 1 I 88
0.89815 1735
0.90134 44^4
0.90452 9386
0.9084^» 4*^9
0.91168 243
0.91476 2r,93
0.91 791 6874
0.92107 1007
0.92431 8648
0.92735 8674
0.93049 0882
0.93361 55<)o
0.93673 2717
0.87497 1707
0.87821 1169
0.88144 2667
0.88466 6240
0.88788 i885
0.84160 t)<;)32
o.84:Î9i 8565
0.84822 2î48
o.85i6i 7681
0.85480 5 166
o. 86808 4606
0.86135 6002
0.86461 9359
0.86787 4680
0.871 12 1970
0.87436 12.34
0.87769 2479
0.88081 6710
0.88403 0936
0.8S723 8164
go';7o ()5i4
0.9108^ 586o
0.91403 7438
0.917:9 1263
0.92033 7350
0.89108 9610
o.89}28 9^26
0.89748 i34''
o.gon66 5371
0.90384 1621
0.90700 9807
0.91017 0240
o.gi332 2834
0.91646 7604
0.91960 45^5
0.923/Î7 6714
0.92660 6572
0.9^972 9340
o.g328j 46.58
i).yj59") 2283
0.89043 -4., 2
0,89362 8661
0.89681 ig49
0.89998 72';8
0.90316 46:
o.go?)3i 4io3
0.9094.6 5626
0.91200 9237
0.91574 4953
0.91887 2788
0.92273 3732
0.92,685 5 121
0.92896 8760
0.98207 4637
0.92199 2768
0.92610 4879
0.92820 9168
o.glJiSo 5643
F(p,54o).
0.93617 28000.9.3439 4322
F (p,54» i5'). F(p,54«3o').|f(p,54o45').
Î4110 3441
0.84642 8867
0.86176 5636
0.8671 ' 386o
0.86247 3670
0.86784 "■
0.841 52 90890.84195 4671
0.84686 27790.84729 «548
0.86220 795610.85265
0.86766 46960.8680
0.86293 JO^I
0.87323 7817
0.87862 2485
0.88402 8944
0.88944 7266
0.89487 7621
0.90081 9780
0.90677 4112
0.91124 0689
0.91 671 927c
0.92221 0251
I9J J071
i3i 3i54
0.86339 2667
0.86878 1453
0.87870 6019
0.87910 8787
0.88452 4381
o.88ç)96 2026
0.89539 1740
0.92771 3576
0.98822 9328
98876 7669
0.94429 8352
0.94985 1772
0.9554Î r886
0.96099 6761
0.96658 8462
D.g72ig 3o68
0.97781 o6i5
0.90084 8697
0.90680 7669
0.91178 4028
0.91727 2y45
0.92277 3892
0.87J18 2262
0.87969 6089
0.88501 9888
o. 89045 6874
0.89690 6069
0.92S28 7588
0.93381 3766
0.98935 2614
0.94490 41 83
0.96046 8633
0240
6621
0.90186 7648
.90684 1.884
.()I232 7661
0.91782 6423
0.92888 7768
0.92886 1764
0.98439 8482
0.93994 7992
o.g455i o368
o. 96108 568o
.84238
•84773
.853oQ
.85846
. 86385
.86924
oi4'
0425
2445
6284
2017
9722
.87466
,88008
.88661
.89096
.89^^42
.90189
.90737
.91287
.91888
.92890
9474
134b
5421
1769
o46(>
l58<)
5212
i4ii
0360
i833
o. 96604 6783
0.96163 6062
0.96733 8968
0.97285 5l2()
o. 97848 4406
0.96667 4001
0.96227 5399
J6788 99Î6
0-97351 ^712
0.97915 0767
0.98844 1196
0.98908 4869
99-^74 1696
00041 1746
00609 6076
0.98412 0883
o.g8978 2617
0.99545 1675
i.ooii3 4124
1 .00633 0028
1 . o I 1 79 1 -60
1.01760 i833
1.02822 5388
1 . 02896 2473
I. 03471 3i5o
i .04047
1 . 04626
I .06204
1 . 06785
I . o()367
7478
55 18
7827
3962
2482
1 . o6<)5o
1 .07535
1 .08121
1 . 08709
I . 0929b
6943
3^99
49o5
o5i4
0281
I .09888
1 . 10480
I . u 078
1. 11668
1 . 12264
425(
2490
5o32
1933
8241
.01253
.01826
.0389g
.08661
2469
9116
9483
8624
,04129
.04708
.06288
.06870
.06454
.07089
.07626
.08213
. 08802
. 09892
1600
3473
9808
9'49
8070
0.98481 8179
0.99048 1017
o.9g6i6 23^9
1.00186 7245
1.00766 57(19
.01828
.01902
. 02477
. o3o53
.08681
79«9
8971
3782
7485
6145
1136
8873
9864
0660
58i4
1 . 128()1
1 . 13460
1 . 14 61
i.i4(i68
r . 16266
89* )9
92,66
•4-57
^r
7 P7
1.16871
I. 16477
I . 17085
I. 17696
i.i88o5
6 1,3g
g53o
7668
o588
8327
.09984
.10677
.11172
.11769
. i28(>6
5379
9408
7962
1064
8792
, 1 2C)(i6
,i3:>66
. 042 i o
•04791
.06378
,06956
,06541
.92948
.93498
•94054
.94611
.96170
6206
3462
864s
6858
3 16.'
.96780
.96291
.96864
.974,8
•97f)83
2689
53:'
1876
0782
3644
. g855o
.99118
.f^687
.00268
. oo83o
0082
ooi5
3664
1060
3241
.014 )3
•01978
.02664
.08182
.08711
7806
63ii
g32S
6420
7664
6826 I
2692
2608
6622
5oio
.07127
.07716
.o83o4
.08896
.og',87
7728
4883
6884
3 ',3g
3o66
11861
8200 I
oi56|i
6825 1
8,842 T
10080
10676
11372
11870
1 2469
18070
, 18672
.14882
■ 15489
. 04292
.04874
.00467
. 06042
.06628
.07216
.07806
. o83.i6
.08988
.09682
8289 1
8193
3822
2280
6467
5.584
9681
8658
3709
i83'i
,i5g84
. 16693
.17303
.17818
, 18436
475o|i,
6092 I.
2406! I.
8781 1 .
0106 1 ,
i6cH)7
i6-b7
1731g
1 798 1
18546
6070
5470
0072
0916
5Ô41
.10177
.10773
.11871
.11971
. 125t2
3096
2818
6866
6820
8289
6685
7718
48g8
678(1
'94'
2920
87:9
9676
5364
6197
1.18176 2128
1 .1377g 8209
I . 14884 9491
i.i.|9g2 1028
I. i,6()oo 785q
I, l(>211 0026
I. 16822 75go
I. 17436 o58g
1 . 18060 go68
1. 186<)7 3o56
> O - - ^f CISC p553 r5^>5
C^
2 cyzj£
ee
L U--.'*' ,%-■- ^ 294 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
/ ' / ' ' 210. Pour montrer maintenant l'usage de la table à douLle entrée
» l^^i~ é' dont nous donnons ici une portion, supposons qu'on veuille dé-
I terminer la fonction E qui répond aux deux élémens (p=/^S° /\o\
6 = 54° 12'; il faudra prendre pour terme de comparaison dans
la table préc, le nombre A=o,78532 5662 qui répond aux valeurs
(p = 48°3o', 9 = 54°. Pour une différence cTcp = i5' que nous pren-
drons pour unité, la différence cTA ou., j— = ^46 7254,
ainsi pour 10', elle est à proportion + aSi i5o5.
De même pour la différence /G=i5',
dans l'angle du module, la différence «TA
' ouv^ = — ^i^\S6', àonc ^owv iDi! eWe est — 33 2925
ces deux corrections réunies, en font une
de + 197 8578
laquelle ajoutée au nombre A = o, 78532 5662
donne pour la fonction cherchée E = o, 78730 4240*
Dans ce calcul nous n'avons eu égard qu'aux différences du pre-
mier ordre, ainsi le résultat ne peut être exact que dans les cinq
premières figures.
211. Pour obtenir un plus grand degré d'approximation, sup-
posons que A est la valeur de la fonction •4'(<p, 9), lorsque (p=a,
et 9=rê, on aura, en se bornant aux termes du second ordre, la
formule .^<> i^ _— — -^
où il faut supposer que les différences ^<Py S^, sont égales a l'in-
tervalle de i5' pris pour unité j alors on voit que j- » t^ y représentent
les différences première et seconde de A, en faisant varier l'am-
plitude (p de i5', qu'il en est de même de jj-, t-^-, par rapport
y.'.'- A . ( ^ * ^^ ■{i*y''>)) -M^-^y* ^x,)6--f-y„ ''.^n'jo-,-ieyr^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. agS , \ , w
à lo variable fl, et qu'enfin la différence seconde Tf-^, est prise ea ^ 9 ^,/îy'yfi"8'
faisa^t varier successivement ô et <p. .;^ 9 T»
De là on voit que pour trouver la fonction ^{/(ût + ar, ^4-/), 4. /i"^-^)-^' ^/'C/^
qui re'pond aux variables (p = a,-^ûc, ^zrzC-i-j", il faut supposer ^ "^ . ^ ,
que Ô étant constant, on prend la variation de «^ par rapport à Ç> , ^"^'Ç"
savoir : """" "" ' " — "
ensuite que (p étant constant, on prend la variation de 4 par rap-
port à ô, savoir : '
X
^y.
qu'enfin à ces deux variations réunies p-^-q, on ajoute le terme ^ ^ ^
^f7--T^
xjr . j-jT = r, et Ton aura la fonction cherchée \^y ^&^)(-''-^'-}/) ^A1xi
quant à la différence t^-m r elle se trouve par le moyen des quatre
termes consécutifs de la table qui , à partir de A et dans le sens ""
de l'accroissement des variables , forment un quarré, savoir .•«'»,/» ':,
où l'on a V —
àr-:!}-,^ A'=A4-^, B = A + ^, l . tJ
car on aura de même i
B' == A' -ï- ^- - A' 4- ^ -1^ ^* • i
donc '
'''^ = (B' -^ A') — (B — A). .- i^^ ^
(T
212. Dans l'exemple proposé on a " i'^ ""«!''
\iû)«'^<'4/r') "^ A = 78532 5662 A' = 78490 95o6 Ac^^ ^ -^ ' - '^
' ^^' . n ' /' ^ = 78879 2916 B' = 78857 o547 ;:à i^ - ^ ^ :(. XS^3j
)-B — A = 546 7254 B^ — A' = 346 0841 A .\^ ^ £k\'i'
,<^,^^ B'— A'= 3460841 .. ., rf - -^ . . ' """ ^
296 EXERCICES DE CAXCUL INTÉGRAL.
donc 3^- = — 64i3. Dans ce même cas, il s'agit de trouver la
10'
valeur de la fonction 4(*"l-«^> ^+^)> lorsque x= -r7 = 5,et
^ = -^ = g. Or, dans la colonne verticale où <p varie seule, on a
^ = 3467254, ^ = — 77S2,
ce qui donne
Dans la ligne horizontale où 6 varie seule, on a
w = ~^' ^'^^' ^ = 779;
donc
^=-^ (^+'^^) = — ^^ ^987-2;
enfin le terme r= a^ , j-t^ = -p ( — 641 5) = — 34^0 . 3 j de là ré-
;6ulte la correction totale p -}- q ^ r =z 197 5960
A = 0,78532 5662
> ■
donc la fonction cherchée E = 0,78730 1622
la première valeur trouvée était 0,78730 4^^^, ainsi les cinq pre-
mières décimales seules étaient exactes.
21 3. Le dernier calcul laisse encore les deux dernières déci-
males douteuses ; car, pour les déterminer avec certitude, il faudrait
avoir égard aux différences du troisième ordre contenues dans la
formule générale
,/ , /» , s 1 , M , x.x — 1 «r*A , x.x — i.x — 2 «T^A
4(flt+a:, ^-j-^)=A+^^H ^---^H rr -V"
r --'
^9=^ ^ 2 • ^^^
i
0 cp f / 0"
— \
f . I
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 297
Soit p l'accroissement de A dû à la variable (p, q l'accroissement
dû à la variable ôj enfin soit r la quantité xj (^^ + f=2 . ^^ : rr >c^. {,^'^f " ' ^ ^
+ -^^ — • J7^)> ^" aura ;?4-^ + ^ pour 1 accroissement total de
la fonction A, ce qui donnera ^^^«i^'/Aj^ 'h>/<^
y
LiGS quantités p ei q se trouvent par les règles ordinaires relatives a I
une seule variable; ainsi tout se réduit à trouver la valeur de r. ^^ ^' ( ' "** *^ * 0
Or la partie principale xy . j-jr est déjà connue; pour avoir les ^ t
Les quantités p et q se trouvent par les règles ordinaires relatives à
)Ut S(
îlà.
deux autres termes contenant les différences Tcrrsi j^>p> je forme,
à compter de A , le quarré de trois termes
■A. y JX y A. y
B, B', B", ^'''
C , C , C '^
^
&3- Jy>
ou
«^^A ^B
/»A
^^^ <rô»
^» '
on aura pareillement
^»A
A ^ ij^ ~
Appliquant les nombres donnés par la table, on trouve
^A ^'A o
^ =779 /^ =— 7783,
5^ = 708 -^- = — 7845,
et de là résulte
<^,^A . a:— 1 /^A v i ^A
'■='^-^- 3W«"^'-^ • "i~ • 3?«+*-^-V • ^Hï=~ 34.5. 1 ;
298 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
d'ailleurs par les différences relatives à (p , savoir :
^- = 346 7254, -^- = — 7782, -^-3- = — 9,
on trouve
de même par les diffe'reuces relatives à 6, savoir:
Jâ = — 4i6i56, n^- = 779, -j:j = 38,
on trouve
de là résulte
p -^ q -\- r = 197 5966
A = 0,78532 5662
et enfin la fonction cherchée E = 0,78730 1628
par la précédente détermination E = 0,78730 162a
la différence n'est que de six unités décimales du neuvième ordre.
Ainsi on voit qu'il suffira presque toujours de s'en tenir aux termes
du second ordre , dont le calcul est d'ailleurs très-facile.
214. Supposons pour second exemple qu'on a c=sin54''4' ^2",
et tang(p = -^, ou (p = 52' 32' 48" 95776. Il s'agit de trouver la
valeur correspondante de la fonction F.
Pour cela, il faut prendre dans la table le terme qui répond aux
valeurs <p=52*'|, 0 = 54°, savoir:
A =s 1,00609 5076;
ensuite pour l'interpoUlion on aura
^^i£^ = o,v8775o84,
12 o -
J - -Târ- = 0,28.
D'après la valeur j=o, 28 et les différences tirées de la table,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, agg
savoir ;
^ = 73 4952, j^ = 789, 75-, == — 58,
on trouve
^=^(^ + V-VTâ^ + 3 •■^3- = ^o 5705.75^
de même prenant les différences de A par rapport à <p, savoir :
^ = 569 6674, ^ = 13409, ^ = 63,
on trouve
-^=^(j^+ -^ (1^^ + "T- • x;;3 == 106 8421.9;
_^A
enfin on trouve par la table -yj. = 12749, ce qui donne,
Ajoutant toutes ces parties, on a /> + ^-f-r= 1274796
A = 1,00609 5076
donc la fonction cherche'e F = 1,00736 9872.
La valeur supposée de (p est celle qui donne F(p = ^F'cj or, si
par la table I, on cherche la fonction complète F' qui répond à
l'angle du module 54° 4' 12", on trouvera log F' =0,30421 89608 405
de là
F' = 2,01473 9701 ,
F^ = 1,00736 9865 5;
on voit donc que le re'sultat trouvé par interpolation , n'est en erreur
que de 6;^ unités décimales du neuvième ordre, et cette différence
serait peut-être encore atténuée par les termes du troisième ordre
que nous n'avons pas compris dans la valeur de r.
21 5. Pour avoir dans le même cas la valeur de E, nous prendrons
dans la table, celle qui répond aux données <pz=:52'' 3o', 6 = 54»;
cette valeur est
A = 0,83986 4219;
on a en même temps les différences par rapport à (p
^A. „„ , ^, ^"A
j^ = 334 2054, ^ = - 784s,
5oo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
d'où l'on lire
Les différences par rapport à 0 sont
^ = — 52 6550, ^ = 878,
et on en déduit
^ =-^(^ + "^ 7^^) = — '^ 7^22 5;
enfin on trouve encore par la table jnjr = — 74^5, ce qui donne
De là résulte ^-f-^-f-r= 4^ 0090 2
quantité qui étant ajoutée au terme.. . . A = 0,83986 4219
donne la fonction cherchée. E<p= 0,84054 4^09 2
Parla table I, on trouve logE' = 0,10294 28410 83, de là
E' = 1,26748 50370
I — Z» = o,4i320 55868
1,68068 8'62 38
E(p = 0,84054 45119;
ainsi on voit que la valeur de E<p, trouvée par le calcul précédent,
et en ne tenant compte que des différences du second ordre , n'est
en erreur que de deux ou trois unités décimales du neuvième ordre.
216. Pour faciliter la construction de la grande table dont nous
venons d'indiquer Tusage, ou seulement celle de la table IX qui
n'est calculée que pour les degrés entiers, il est nécessaire de
connaître d'avance, pour chaque module déterminé, les valeurs
des fonctions complètes F'<?, E'c, et celles des fonctions F(p, E<p ,
dont Tamplitude est de 45". C'est principalement pour cet objet
que nous avons construit la table VIII, où l'on trouvera les va-
leurs de ces fonctions, calculées jusqu'à douze décimales pour tous
les angles du module de degré en degré, depuis 0° jusqu'à 90°.
Cette table donnera immédiatement les résultats dont on a be^
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3oi
soin et avec plus de précision qu'il n'est nécessaire, pour le calcul
de la table IX; elle servira de complément à la table I, qui ne
donne que les logarithmes des fonctions complètes ; elle donnera
également, par une interpolation facile, les fonctions qui répondent
à une amplitude de 45° pour chaque quart de degré de l'angle du
module. Quant aux fonctions complètes, leur interpolation ne
pourra être faite avec le même succès par la table VIII, que pour
des angles du module plus petits que 4^°; car au-delà de cette
limite, les différences successives décroissent si lentement, surtout
dans la fonction F, qu'il faudrait les pousser beaucoup au-delà du
sixième ordre , pour avoir un résultat suffisamment exact. Dans
ce cas , il sera plus simple de faire usage de la table I , qui procède
par des intervalles d'un dixième de degré seulement, et dont l'in-
terpolation est beaucoup plus facile j connaissant par cette table
les logarithmes des fonctions Y'c, E'c, il ne restera plus qu'à cher-
cher le nombre correspondant , ce qu'on pourra faire le plus souvent
par les tables ordinaires à dix décimales.
21 j. Nous croyons devoir placer ici quelques remarques sur la
formule qui sert à exprimer la fonction Etp dans la méthode des
modules croissans, et sur les moyens de simplifier le calcul de cette
fonction dans le cas particulier de (^ = 45°.
La formule qu'il s'agit de réduii'e à une forme plus simple est
celle-ci;
E?>=LF<p+^-sin(?'+^^^%^sin(p-+î^°^°-^sin(?>''»+etc.
Soit (p° — (p=^, ^°° — (f)° = û)«, (p»"» — (p'° = ci>"*y etc.; on aura
la suite d'équations tang co = b tang (p , tang co" = b" tang Ç)' ,
tang w°° == ^°» tang (p=% etc.; or, la valeur (p° = <p + <y , donne
sin<p'=sin(pcosa>+sinwcos(p=(i-f-3)sin<f>cosce)=— — . sincpcoso»;
on aura semblablement sin (p"" = -7-^ sin (p' cos ù)" , sin (p""*
yc
= TTj^o Sin (P"" cos 0)°'; donc on peut mettre la formule précédente
sous cette forme
5oâ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
On voit que la série contenue dans celle expression est devenue en-
tièrement rationnelle, et que chaque terme se déduit du précédent
au moyen des multiplicateurs successifs jc^cosco*, ^c'"'cosa>'"'f
{ c"*" cos 0)°"% etc., qui sont tous de la même forme et qui décroissent
avec une grande rapidité.
Si l'on faisait r=c cos a, r" = c' cos a>°, r" = c*° cos a>'% etc. ,
ensuite
P = I r + i rr" + 1 r/^r" -4- etc. ,
on aurait E(p=LF(p+P<^sincp, formule dont l'analogie avec celle
de l'art. i5g, mérite d'être remarquée.
Au reste les angles ca, et>°, dy'", etc., ne sont autre chose que les
différences premières des angles <p, <p% (p°% etc., et ils finissent par
croître comme ceux-ci en raison double.
218. Voyons maintenant ce qui résulte de la supposition (p= 45*.
Alors les équations sin(2(p — (p°)=:c°sin(p% tariga)» = ^' tang(p',
donnent tang(p° = — , lang &•• = —, et de celle-ci on déduit encore
sih<»*=è% cosû)"=c°. Ainsi on aura à la fois cot(p°=c°, et cosei)°=c'*.
La première donne la valeur de (p' et la seconde celle de û)° ; on
connaîtra ainsi (p'° = (p° -\- ù)° . Dans les cas où c" est suffisamment
petit, il conviendra de calculer cp° par la suite
i 77- — <?" = c* (i — ^ c" -f- i c«"f — i c*6 4- etc.),
Oti pour abréger
i ^ ^ (p° = (i) - (2) + (3) — (4) + etc.,
et on aura en même tems
Soit z la somme des seconds membres de ces équations; on aura ,
en les ajoutant, '7r — <p°° = z, ou (p°*z=7r-^z.
Connaissant ainsi cp" et (p°% il sera facile d'avoir r"" par Féqua-
tion tang fit)"" = ^'" tang (p°% ou par la série équivalente
<p""^ ;= ^tp"' — C" sin 2(p°' 4- 1 c'**" sin 4<p'° — etc. ,
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3o5
dont il suffit de calculer les trois premiers termes ; on aura de même
(p"»» = 2(p°°° — 6?"°" sin 2(p°". Il re'sulte de ces deux équations, où
l'on peut supposer c""'" = (j c***)* :
^(poooo = TT — z H- Y C"" sia 22(1 — I c»'* cos 2z) ;
et comme O de'signe la limite des quantite's <p, — , ^ , etc., laquelle
peut être censée égale au cinquième terme, on aura
$ = i['7r — s + i C'" sin 2z{i — | c*»" cos 22)];
ainsi z étant déjà connu, il suffira d'ajouter à "ir — z la petite cor-
rection ■^c"'*'sin2z(i — |c'*°*cos2z), et de diviser le tout par 4,
pour avoir la "valeur de $, au moyen de laquelle on trouve.
»«■
Connaissant F^, on connaîtra la partie LF<p qui entre dans la
valeur de E(p; quant à la seconde partie Pc sin (p, elle se trouvera
d'une manière très-simple par la formule
OÙ il faut observer que le premier terme jcv/<?' = i(i — b), se
trouvera immédiatement par la table de sinus naturels à 1 5 déci-
males, comprise dans la Trig. brit., si toutefois l'angle du module 9
s'exprime exactement en degrés et centièmes de degré.
219. Pourvérifîer cette valeur de Pc sin (p, il faut, dans la formule
générale Pcsin^=^c v/c'sin(p°(i+ic°cos(p'-|-^tf'c°'cos(p»cos(p'"'-{-etc.) ,
substituer les valeurs cosa»'' = c% sinç>°= ' -, ce qui donne
d'abord
- cl/c"
Pciin^= -'■' *; — (i+ic"4-ic°»c°°co8*°''+^c»Vc°~cos«'"cos«'"''+<!tc.);
Y \^i -j- c )
ensuite pour avoir l'expression des quantités cos^)**, cosûT**, je re-
prends les équations tangû)'=:^'»tang<p% ^'"*=^»+a>% tang^y'
5o4 EXERCICES DE CALCtJL INTÉGRAL.
taiig&)**=Z»'"'tang<?>°% j'en déduis successivement
tanff ffl»" _. tang^°+tang^° _ (i+^°)c°
° ^ 1 — tang(p°tang«° c»'' — b" '
COS û)*' =
en continuant celte analyse, on trouvera
tang f c.'- = tang «".^/^., cos o,'" = ^;=î^:,
tane i ^''"•ïzr tanga'^'.t/T-s* cos cù^^°'z= r lf.^_~ -
ainsi à l'infini. On voit donc que dans le cas dont il s'agit, les quan-
tités 0), &)°, &)*% û)°°°, etc., se calculent facilement; savoir, la pre-
mière au moyen de l'équation tangdy = ^, la seconde au moyen
b°
de l'une des équations tang &)° =r — , sm co" = b", cos eo" = c%
tangl &)•= tangû) . * /r= y^^, les suivantes au moyen des équa-
tions tang id«"= tang û.».y/^„ = ^^, tang>- = tanga)-. y/^^^
tang|a)°»°°=tang«°".i/ ^1^, etc., ce qui offre des formules assez
remarquables pour le cas où l'on a ^ = 45*.
Maintenant qu'on connaît les valeurs de cos cû'° et cos û)"'", si on
les substitue dans l'expression de Pcsincp, et qu'on y substitue éga-
lement les expressions connues de c" en 6% et de c"" en c"", on aura,-
en développant ces quantités jusqu'à la dixième puissance de c° in-
clusivement, l'expression que nous avons rapportée du terme Pcsin(p,
laquelle est très-facile à calculer, et donne au moins 12 décimale»
exactes, tant que l'angle du module ne surpasse pas sin45".
C'est par ces formules qu'on a calculé les fonctions F(45°), E(45*)
de la table VIII, pour toutes les valeurs de l'angle du module de
0° à 45°; au-delà de cette limite, on a fait usage de la méthode
des modules croissans, art. i58, laquelle ne présente, pour le cas
de (p = 45°, aucune formule remarquable, si ce n'est pour déter-
miner 9', l'équation sin4^' = ^''.
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3o5
220. Il nous resle mainlenant à parler de l'interpolation de la
table IX qui, au défaut d'une table plus étendue, pourra servir à
évaluer, jusqu'à la précision de sept ou huit décimales, toute fonction
E ou F dont le module n'excède pas sin75°. Nous avons déjà donné
les formules nécessaires pour cet objet, dans les articles 21 1-21 3,
et nous les avons appliquées à divers exemples ; mais la forme
particulière de la table IX, où se trouvent les différences succes-
sives des fonctions par rapport à l'amplitude ç , contribuera à sim-
plifier le calcul des coefficiens de ces formules, ainsi qu'on va le
voir dans l'exemple qui suit.
Soit proposé de trouver la fonction F((p, ô), qui répond à l'am-
plitude <p = 54°4^ ? €t ^ l'angle du module ô=6o°i5''; on aura k
substituer dans les formules les valeurs a=54°, ^=60°, jc=^,
j- = ^, lesquelles supposent cr<?>=6rô=i°. Mais d'abord il faut
tirer de la table IX les résultats suivans , relatifs aux angles du
module 60% 61°, 62", 63°, et dans lesquels A représente la fonction
F(54% Ô).
ô.
A.
«^A
<^"A
^^A [
60"
61
62
63
1,06018 2905
1,06346 5254
1,06672 8358
1,06997 2417
2461 1435
2485 7725
25 10 6001
2535 5826
3o 6595
32 2436
55 8814
35 5710
7432
8329
9301
I0356
Dans la première ligne de ce petit tableau, on trouve immédia-
tement pour 0 = 60% les coefficiens dus à la seule variation de <p,
**^^*^'^7 = ^461 1455, jyr=5o 6593,^^= 7432; pour avoir
ceux qui sont dus à la variation de ô, et aux variations simultanées
de 6 et de (p, il faut prendre les différences des termes dans chaque
colonne.
Par les différences prises dans la colonne des A, on trouve
pour 0 = 60°, les coefficiens
M
^ô
«r»A
rA
= 328 0329, y^T = — i5 2o5, Tir = — 586q.
5o6
EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL.
Par les différences prises dans la colonne intitulée j-> on aura égale-
ment pour 6=60%
TçTè = ^4 6290,
<^^A
"enfin paf la colonne suivante on aura j-^^ = i5 843.
Les coefficiens ainsi trouvés pour le cas de 6 = 60', suffisent
pour calculer les différens termes de la formule générale d'inter-
polation jusqu'au troisième ordre inclusivement.
Si l'on se borne aux termes du premier ordre, on aura
F = A -f-^ . r- + ^ . i;q= 1,07946 i5635. Ajoutant les termes du
second ordre, savoir —^ . j^ -hrs - J^Y^—Ji ■ W"^ 1O8617 ,
on aura plus exactement F= 1,07948 04262. Enfin les termes du
troisième ordre -^ . ^_ — ^ . ^^ —-^ . ^_+^. ^g-, les-
quels se réduisent à — 54ii , donnent pour dernier résultat
F = 1,07947 98841, valeur qui ne peut guère être fautive que dans
la huitième décimale; elle acquerrait une plus grande exactitude
encore, si on tenait compte des termes du quatrième ordre.
221. Pour calculer semblablcment la fonction E, on tirera de
la table IX les résultats suivans :
6.
A.
«^A
c^^A
ê<^A
«r^ *
V'
K''
60'
0,84640 8389
1237 7225
— i5 2287
+ 145
61
0,84427 0773
1225 4604
— i5 6917
+ 67
62
0,84216 8267
i2i3 3430
— 16 i559
i5
63
0,84010 5932
I20I 5897
— 16 6203
— 104
et en opérant comme dans le cas précédent, on aura pour 6 = 60%
les coeflicieus suivans :
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 307
^ = 1237 7325, ^ = -^ i5 2287, ^= ,45,
„ =—2137616,^ = 3 5100, ^ = 3091,
^ = --.12 2621,^^,=; . 1447,
?^=- '^^^"^
subslituanl ensuite ces valeurs dans la formule générale, on aura
1°. en se bornant aux termes du premier ordre, E=o,855i5 69038;
2"*. en tenant compte des termes du second ordre, E=o,855i4 48986;
3°. enfin enjtenant compte des termes du 3* ordre, E=o,855i4 5o8oi.
222. Pour vérifier ces résultats par la méthode des modules crois-
sans , on commencera par former l'échelle des modules qui convient
à l'angle 9 = 6o°i5'; elle est la même, aux dénominations près,
que celle qui convient au complément 0 = 29° 4^', et on la trouvera
comme il suit;
c 9,93861 91884 8 h 9,69567 12043 9
c' 9,99891 64980 4 V 8,84849 62248 o
c" 9>99999 96621 o V 7,09601 62844 4
K o,o3oi4 84858 3 W 3,58997 09164 6.
Faisant ensuite <p = 54°45^ o^^ trouvera par les formules connues
(p' = 49°57'7",556664,
<p" = 49.52.2 ,356394,
(p"'= 49-52'2 >26i2i6;
lien résulte 45°+^<p'"^69»56'i",i3o6o8, H=Ioglang(45*+i(p''')
c= 0,43757 14021, et calculant F(p d'après l'équation F(p = KMH,
on aura
logF(p=o,o332i 45573 3, F<p==i,07947 98929.
Enfin pour calculer E(p , on a l'équation E(p = L'Fip + Pc sin (p , dans
laquelle L' = i ^'(i + î ^' + i ^'^") , P = P'. 2c» sin <p' — c sin (p ,
P' = 4 — I , logP'=— 2logr''=— 2log(c"cosiy")=;o,ooooo 16266 3;
So8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
il eu résulte les valeurs suivantes :
P'.2c»sin(?' = 1,42656 07198 4 h'¥<p..-= 0,13759 15932 6
csin(p 0,70900 72300 5 PcsiïKp.. 0,71755 34897 9
Pcsin(p = 0,71755 34897 9 E?)....= o,855i4 5o83o 5.
On voit donc que la valeur de Fip, trouve'e par l'interpolation de la
table IX, n'est en erreur que d'environ une unité décimale du. hui-
tième ordre, et que celle de E(p n'est en erreur que de trois unités
décimales du neuvième ordre. Le résultat de l'interpolation serait
un peu plus exact encore, si on avait égard aux termes du qua-
trième ordre; mais un si petit avantage ne vaut guère la peine
qu'on prendrait pour l'obtenir, et il paraît convenable de s'en tenir,
comme nous l'avons fait, aux termes du troisième ordre, même à
ceux du second, si on veut se contenter de six décimales.
Nous ne dissimulerons pas qu'il y a des cas où l'interpolation
de la table IX pourrait ne pas donner des résultats aussi exacts que
dans l'exemple précédent; ce sont ceux où l'amplitude excéderait
70°; car alors, les différences des fonctions, sur-tout celles de
la fonction F, décroissent si lentement qu'il faudrait , dans la
formule, tenir compte des termes du quatrième ordre, ou même
de deux du cinquième, pour que l'erreur n'eût lieu que dans la
Huitième décimale. Mais cet inconvénient est inhérent à la nature
des choses, et on pourra toujours l'éviter, soit par les formules de
bissectiou, soit par les formules des fonctions complémentaires,
en ramenant la détermination des fonctions proposées E et F à celle
de deux autres fonctions dont l'amplitude sera beaucoup plus petite.
§ XVI. Des cas où l'on voudrait pousser V approximation
au-delà de quatorze déciinales dans le calcul des fonctions
Ee/F.
325. Le nombre de quatorze décimales dans les logarithmes, ou
celui de quatorze chiffres significatifs dans les nombres, est la li-
mite que nous n'avons pas pu passer jusqu'à présent dans le calcul
,des fonctions E et F , parce que les tables trigonométriques les plus
étendues , ne comportent pas un plus grand degré de précision. S'il
\
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 309
devenait donc nécessaire dans quelques cas de pousser plus loin
lapproximalion , on pourrait toujours faire usage des formules gé-
nérales, qui sont susceptibles d'un degré d'exactitude indéfini; mais
il faudrait recourir à des moyens particuliers, pour déterminer avec
la précision nécessaire les élémens qui entrent dans ces formules.
Soit proposé, par exemple, de calculer avec vingt décimales les
logarithmes des fonctions complètes F'c, E'c, qui répondent au
module c = sin45°. Il faudra, pour cet effet, évaluer jusqu'à vingt
décimales les logarithmes des modules <?, c°, c°% c°°°, 0'"°°, co«»oo^ qi
ceux de leurs complémens b, b", b°°, b°^% Z»"""; ce nombre de termes
suffit, quand même on voudrait pousser la précision jusqu'à vingt-
huit décimales.
D'abord puisque c=zb=:\/^j on a immédiatement
le z=: Ib z=z 9,84948 5oo2i 68009 40239 3i5;
en second lieu , on a c' = ^^ = —^ ainsi il faut calculer le
logarithme de v/2 + 1 avec vingt décimales au moins. Pour cela,
j'observe qu'en faisant (i-i-^/ 2)"=:p-\-(/ \/ 2, on aura;?* — 2^'=( — 1)%
et P'{-(f\/2=p-\' {/(p^zfij); d'un autre côté
log[p+V(p-=P^)]=log,p^i . ^5,-i-^ . -;,=pi^ . rK _ etc.;
or en faisant 7z=i 5, on a p=: 2j58o'jz=y.5i .41 , q=ig5o25,
^._27'==-i; donc i51og(i + v/2)=log2;.+i.^^~i:|.^^.
Par la table connue qui donne jusqu'à 25 décimales ou plus les
logarithmes des nombres de i à iioo, on trouve log2/>;, auquel il
suffit d'ajouter la correction— facile à calculer, ce qui donnera les
résultats suivans :
log 2/7 = 5,74i63 52800 66018 87976 87
JT^ + 14272950220
i51og (1+ y/ 2) = 5,74i63 52800 67946 17479 07
/(i-f-V/2) = o,38i77 56855 57863 07831 938
2/(1 + V^ 2) = 0,76555 15706 75726 i5663 876
Ic^ = 9,23444 86293 24273 84356 124;
5io EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
4
ensuite par la valeur h" = —-.-r = ^. . . ■ , on trouvera
Z^* = g,g955i 18092 4211 3 4ï^^9 7^*
Il faut maintenant calculer c"' et ^''% ce qui se fera par les for-
mules, ^•' = -^t-To , c"' = 7 — T-irrr; ainsi tout se réduit à trouver
y 1+0°' (1+0°)"
log(i-f-è''); or, une valeur approchée de ^' étant ^ = , on coti-
/y
nait par les tables le logarithme de a et celui de i -|- « = — — , ce
qui permettra de calculer log(i + ^'') comme il suit:
fc* 9,99351 18092 42u3 4'569 78 i+a. ... 0,29779 80218 12926 i56oo 78g
c 9,99351 18198 4'^'5^^ 08392 38 (1) — 62 59553 61641 094
r = io5 98272 66822 60 801 65 53372 53959 695
(2) + 3232 708
/A=/c— r, 1'=-^, R=cr'(i— sMr'), ^(1+^°) =0^29779 8oi65 53372 57192 4o3
*"♦■" ^ c'. ...... 9,23444862932427384336124
/(i-f-A) = /(i+a) — R, ^-
8,93665 06127 70901 27143 721
y/b".. 9,99675 59046 2io56 70784 890 /c°«» =7,87330 12255 41802 54287 442
a o,3oio2 99956 63981 19521 374 2 o,3oio2 99956 63981 19521 374
0,29778 59002 85o37 9o3o6 264 ic"»" 7,57227 12298 77821 34766 068
i-f-t" 0,29779 801 65 53372 57192 4o3 5,14454 24597 55642 69533 i36
/6««'= 9,9999878837 3i665 33ii3 861 ^"^ 9,99998 78837 5i655 33ii3 86i
p 5,14455 45760 23977 364i8 275.
224. Ces premiers termes étant connus , on pourra calculer les
modules suivans c'", Z»'°% par les formules ordinaires p = ^7^ »
V=mp^ — l'"/?S lc'°°=lp — P, 1^'*"=. — |Pj voici ce calcul :
mp^ 84507 i5i54 866 p 5,i4455 45760 23977 364i8 ^75
f/np*... 2 4^G P — 84507 i5i52 400
P = 84507 i5i52 400 /c'^»".... = 5,14455 45759 39470 21265 875
/i"»».... = — 42253 57576 200
on obtient ensuite très-facilement les modules c*'*°, è*"'», comme
il suit :
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5ii
^0°"" 4,84352 45802 75489 01744 5n
9,68704 91606 60978 03489 02a
ill)<»'* 42353 67676 200
p 9,68704 91606 93231 61066 a22 P*"- 9.57409 83a
P — io3 "*•••• 9,63778 43i
/c»°°°.... = 9,68704 91606 93231 61066 119 (*) P.... 9,01188 263
Ib'^"".... = . — o5i.
On voit qu'en s'en tenant à vingt décimales, il n'est pas nécessaire
de prolonger la série des modules au-delà de 0°*"" et b°'"'; car log b^""*
n'est que d'une demi-unité décimale du vingt-unième ordre. Ce-
pendant le calcul étant amené à ce point, on peut sans peine avoir
deux décimales de plus, en prenant la valeur suivante de /c'""'.
c°^ 9,68704 91606 gSaSi 61065 1 19
o,3oio2 99966 63981 19621 374
9,386oi 91649 29260 41643 745
i,772o3 83298 68600 83087 490
i:6"»* o5i
/c°°°»°...= 1,77203 83298 68600 83087 541.
225. D'après ces élémens, le calcul deK=\/(T • ^•3"'^'"'°^''*»'"Y et
celui de F'c = - .K, donnent les résultats suivans;
a
log K = 0,07200 73453 81767 88434 o38
jTT 0,19611 98770 3oi&a 66913 763
/F'c = 0,26812 72224 11910 64347 791.
Maintenant pour avoir la valeur de E'c=:LF'c, il faut calculer le
coefficient L par la formule L = t^ (i — {c'^c''° — ^ c^* c"" c""*.
•— ic"c=»c°°»c'»'"»"'). Pour cela, soit r=ic"c«'' [i +^c«»»(i -j-ic'""»)];
on aura d'abord L= r^i (i — r); soit ensuite /•' = ^c''**(i + \ c"*"*')
(*) Nous rappellerons ici un usage qui est commode à suivra dans le cal-
cul des fractions très-petites. La caractéristique 9 place le premier chiffre d'un
nombre au premier rang des décimales , la caractéristique 9 le place au onzième
rang, la caractéristique g au vingt-unième, et ainsi de suite.
5i2 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
=i>"V(i + ^'°'°)=î^°'"'y^^, on aura r = i c^" (c^y (i -^ r^ ;
d'où log /• = log I c'*" 4- 2log c* + //?/•' — iwr'* + j wz-'^j voiei le
calcul ;
iC».... 7,57227 12298 77821 34766 ic«°«.... 4,84352 45802 75489
c" 8,46889 72586 48547 6867a 4/ i
(1). . .+ 30290 67083 5444 V Z»"»"* •
C^)- • •— 105^3 3939 / 4,84352 45802 86o5
(^)- • •+ 49^ m 9,63778 43i i3 oo54
^ 6,04117 15175 82889 2340 (,) 4,48 i3o 88915 865^
i r
. . 4,54^4^ 45846
(2) 9,o238o 3476
I r' "4,66743 32
(3). .... . 3,69123 7
Diaprés cette valeur de log r, il faut calculer log(i — r) par la
suite — mr^i +ir+ etc.), dont cinq termes suffisent; on obtiendra
9insi :
log(i — r) = — 0,00004 77506 95768 98769 62
log^, 9,86246 i3836 83782 57099 75
logL = 9,86241 36329 88oi3 5833o i3
^F'c = 0,26812 72224 119105434779
Œ'c == o,i3o54 o8553 99924 12677 9^'
226. Cette valeur de Ev peut être vérifiée comme dans l'art. 28
par l'équation E'=^F'(i -H A), dans laquelle A =|^; en voici le
calcul :
RF'.. 0,34013 45677 93668 42781 829 _ 865 _ 2758
A.... 9,65986 54322 o633i 57218 171 '^ "" 1893' ^"^''^ ~7853'
o 9>65986 54935 01017 4S903 483 ^
— /A = la — r, / = .
T = 612 94685 89685 3i3 i-fa
/(i+A) = /(i-f-«)-R,
R = cK — iMa/».
Le terme ar' se calculera plus facilement sans le secours des lo-
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i5
. , , , ar 865 .
ganthmes par la valeur ^3^ = — gg r, et on aura , .
ar' =192 24040 3556 1 202,
l'autre partie jM«/% calculée parles log. = g3ii2 85t
donc R = 192 24059 4244s ^71
/(i+û) = 0,16544 36478 76034 20298 574
Z(i-|-A) = 0,16344 36286 51994 77850 2o5
l\Y'c = 9^9^709 72267 47929 54826 417
ZE'c = o,i5o54 o8553 99924 12676 62
Ces deux résultats ne diffèrent entr'eux que d'une unité décimale
du vingtième ordre; le dernier est celui qui doit être le plus exact.
Quant à la valeur de F'c, on peut la vérifier aussi par les formules
F'c = KMH, H= 3i^log^,= 0,68218 81769 20920 67573 6.
Or, en faisant fl!= — 'g ,^ =: 0,68218 81762 5, Hz=ia-\'Xj on
aura a: = 0,00000 00006 70920 67573 6, et en appliquant les for-
mules l{a -\~ x) z=. la -\-'K, ZR = Z (—) — 7 . —, on aura les ré-
sultats suivans:
a 9j833go 41879 o3568 08145 556 x 0,82667 1 1744 îîSSgi
R -f- 42712136680055 m 9,63778 43 n 3 00537
H 9,83390 41 883 30689 44825 611 1 0,16609 58i2o 96432
M 0,36221 56886 99463 21087 71 ^
K 0,07200 73453 81767 88434 o38 mx
IF^c = 0,26812 72224 11910 54347 36
. . o,63o55 1 2978 2o36o
-.^^.. -2 13561
a
R o,63o55 12976 0680.
On voit que cette valeur ne diffère de celle qu'on a trouvée ci-
dessus que de quatre unités décimales du vingt-unième ordre , ce
qui confirme pleinement tous ces calculs.
227. Connaissant ainsi les fonctions complètes, si on propose
de déterminer avec un pareil degré d'exactitude les fonctions E(p,
r^, pour une amplitude donnée <p, le calcul présentera de plus
3i4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
grandes difficultés, parce que les tables connues des log-sinus ne
passent pas quatorze de'cimales, au lieu que les logarithmes des
nombres jusqu'à iioo, sont donnés avec un beaucoup plus grand
nombre de décimales par la table de Sharp y et se trouvent dans
plusieurs autres recueils, ce qui permet de suppléer aux limites
des tables , en employant des réductions et des artifices de calcul ,
tels que ceux dont nous avons donné des exemples. Voici au reste
quelle serait la marche qu'on pourrait suivre, si on entreprenait de
semblables calculs.
Supposons qu'étant donné la valeur de (p, on veut déterminer
avec vingt décimales exactes, la fonction F^ ou son logarithme; il
faudra commencer par chercher, avec une semblable précision, la
valeur de lang (p ou celle de son logarithme; c'est ce qu'on trouvera
par les méthodes connues dans la théorie des fonctions angulaires.
Ensuite il faudra procéder au calcul des angles croissaus (p% (p"*,
(p"", etc., ou à celui des angles décroissans (p', (p", (p'", etc., selon
que le module sera plus ou moins près de l'unité.
Dans le premier cas, pour déterminer (p° par le moyen de (p, on
ne doit plus employer l'équation succincte tang((p° — (p) = ètang!p,
qui suppose l'usage des tables de sinus; mais il faudra déterminer
simplement la valeur numérique de lang (p" par la formule
(1+6) tança
tan£f(p°= ^ / p— .
° ^ 1 — otang''(p
On aura soin cependant de noter la valeur approchée de <p% en degrés
et minutes seulement, afin de ne pas confondre le véritable arc (p"
dont on a besoin, avec les autres arcs qui peuvent avoir la même
tangente; on se rappellera, pour cet effet, qu'en vertu de l'équation
sin (2!p — (p°) = c* sin cp', la valeur de 2(p — (p", doit toujours être
contenue entre les limites ô° et — 9% ô"* étant le plus petit angle qui
a pour sinus c°.
On connaît déjà/ tangcp, on connaît /(i-|-^) = ^(-TT-;J ainsi pour
avoir /tang(p% il faut faire ^tang*:p = A, et du logarithme connu
de A, déduire celui de i — A, ce qui se fait par les formules dont
nous avons donné beaucoup d'exemples.
Il est visible maintenant qu'un semblable calcul servira à déduire
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i5
^^ de (p' et ainsi de suite. On continuera donc le calcul des ampli-
tudes croissantes (p% <?"% «p""", etc., jusqu'à la limite où un terme
ne diffère plus sensiblement du double du précédent; cette limite
aura lieu lorsque le b correspondant au dernier (p, pourra être pris
pour l'unité; dans l'exemple précédent, c'était ^°"""'. Ainsi lorsqu'oa
■voudra avoir vingt décimales exactes, et que c ne surpassera pas
sin 45% il ne faudra pas prolonger le calcul de la suite ç"*, (p°% etc.,
au-delà du quatrième terme <p''""' ; et pour des modules au-dessous
de sin 26*, il suffirait d'aller jusqu'à (p°°''.
Connaissant langÇ)"""'', et sachant toujours d^avance à très-peu près
combien l'arc (p'^ contient de degrés et de minutes, il restera à trou-
ver l'arc lui-même ^°'^ qui répond à cette tangente; c^est ce qu'on
trouvera par les méthodes qui ont servi à trouver tang(p par le moven
de <p.
L'angle (p"""" étant cotmu et réduit en parties du rayon, on fera
^=7g (p'°°% et on aura la fonction cherchée F(p = R$.
L'application de la même formule répétée quatre fois consécutives,
suffira donc pour obtenir vingt décimales exactes; on en obtiendrait
le double avec un terme de plus, mais alors il faudrait calculer aussi
avec quarante décimales, les logarithmes des modules et ceui des
différentes tangentes, ce qui serait un travail presqu'insurmontable.
228. La même méthode peut être suivie, quand même l'angle du
module s'élèverait jusqu'à 70 ou yS*; mais, passé cette limite, il
est préférable de suivre la méthode des modules croissans.
Ayant donc calculé les termes de l'échelle des modules d'où se
déduisent les fonctions complètes FV, E'c, on procédera au calcul
des amplitudes décroissantes (p', (p", etc., de la manière suivante.
Il faut d'abord tirer la valeur de tang(p' de l'équation
tang<p = ^^)^^9^^ laquelle donne
col (p' = L±^ cot (p + v/ [(^)' cof <p + ^Q;
et comme on a i -|-^'= 2x_ = p-, la valeur de taDg(p' pourra
être mise sous cette forme
tang(p'==K^ ^i^
+ \/Ci-h6'nang»9)'
5i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
mais lorsque b sera Irès-pelit, on pourra substituer à cette formule
la suite fort convergente
/tang?' = /(y-^,«g?)-^(Mtang'?-^.^-V^ • -V '"=■)•
On déduira semblablement tang(p" de tang(p', tang(p'" de tangcp", etc.;
d'ailleurs on voit que la suite (p', (p", <p"\ etc., va toujours en dimi-
nuant jusqu'à une limite qu'elle ne tarde pas à atteindre sensiblement.
Appelant donc O le dernier terme de la suite <p , (p', cp"..., on aura
en logarithmes hyperboliques F(p=Rlogtang(45° + ;^0) , ou en
logarithmes vulgaires,
F^=KMZtang(45° + 10) = KMlog[tang$H-V/(iH-tang*$)].
22g. Pour avoir dans le même cas la valeur de la fonction E(p, il
faut recourir aux formules de l'art. iSg qui peuvent donner tel
degré d'approximation qu'on voudra. Si on se borne a vingt déci*
maies , le quarré de b"" sera toujours négligeable , même en sup-
posant l'angle du module peu au-dessus de ^5°; on pourra donc
supposer c""= i , et faisant P= -r4,-mi, — ~' — i , on aura E(p=L'F(?)
+Pcsin(p. Dans beaucoup de cas, on pourra faire c"'=zi ^ alors
on aurait simplement P== -y-yr^ — i. Quant aux valeurs de coso)',
cos cû", cos &)'", par lesquelles on a /•' = c' cos co', r" = c" cos co" ,
1^" z=: c'" cas cù'" , elles se calculeront sans connaître les valeurs en de-
grés des angles a>, par les formules tang^'=^'tang(p', tang«"=è"lang!p",
tang£y'" = ^'''tang(p'", ainsi on aura directement
r'-z=. - /•" — r r'" i__
23o. Si on renonce au calcul par logarithmes qui devient très-
pénible, lorsqu'on leur donne plus de quatorze décimales, on pourra
néanmoins par le calcul arithmétique ordinaire, parvenir à tel degré
d'exactitude qu'on voudra dans la détermination des fonctions E et
F. Mais il y a un choix de formules à faire pour rendre le calcul
le moins long qu'il est possible, dans l'hypothèse d'un degré d'ap-
proxjmation déterminé,.
\
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 317
S'il est question d'abord de calculer les fonctions complètes F'c,
E'<?, on pourra recourir aux séries de l'art. ^5, i p., lesquelles
peuvent donner un degré d'exactitude indéfini. Mais les premières
( pag. 66 ) ne sont bonnes à employer que lorsque le module ne
surpasse pas sin iS", et les secondes (pag. 68) que lorsque le mo-
dule est plus grand que sin jS°', dans tous les autres cas, ces séries
sont trop peu convergentes, et on parviendra plus facilement aux ré-
sultats cherchés par le calcul des différens termes de l'échelle des
modules. Ce calcul pourra toujours se faire par les opérations ordi-
naires de l'Arithmétique.
123 1. En effet étant donné la valeur numérique du module <?, on
en déduira d'abord son complément ô= [/(i — c*); on aura ensuite
les deux termes c", b°, par les formules 0"^=. -^ , ^"^ = ~j^ , les deux
1—6° Q,\/h°
termes c°°, ^°% par les formules c°°= — -r^ , 1°" = -—-7- , et ainsi de
suite. Lorsqu'on sera parvenu à un c très-petit, le suivant désigné
par c", et son complément b°, se calculeront plus facilement par les
suites convergentes
''"-^ 64 V ^16^ ^16.20^^16.20.24^ ^^^^V»
^64 V^i6*^ ^16.20^ ^16.20.24^ 4-eic.^,
la dernière résulte du développement de la formule
Il faudra prolonger le calcul des modules c% c**", c*", etc., jusqu'à
un terme dont le quarré soit négligeable; soit ce terme c^"^, la série
des complémens sera de même terminée à b^"^, ou plutôt à ^^"r'^, car
dans ce cas, on pourrait supposer b^"^= i.
Cela posé, la fonction complète F'c se calculera assez facilement
par la formule
F'C=^(I +C»)(l + C-) (l + C-) (l +cW);
hh
3i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
quant a la fonction complète E'<?, elle ne parait pas pouvoir être
calculée plus simplement que par la formule
E'c=F'c(.----^ g ^g etc.);
on obtiendra de cette manière tel degré d'exactitude qu'on voudra,
par le calcul de deux séries composées du moindre nombre de termes
possible.
232. Supposons maintenant qu'on veuille déterminer les fonctions
F(p, Etp qui répondent a une amplitude donnée j il faudra d'abord
f.a déduire <p° de tp au moyen de la formule
H- '' ' cot(p' = i(cot^ — tang(p) + ic°(cot(p + tang<p),
dont le calcul est assez iacile, pourvu qu'on connaisse à la fois cot p
et tangtp; il faudra par la même raison déduire tang(p° de cot(p%
et on calculera semblablement l'angle (p" par la formule
cot (p'" = ï (cot cp» — tang ^°) + ^ c»° (col <p° + tang (?•).
On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne au terme (p^"^ de même
rang que c^"\ et dans chacun de ces calculs, on aura soin de noter,
comme il a été dit art. 225, la valeur approchée de l'arc dont on
a calculé la colangente. Connaissant donc le nombre total de degrés
contenus dans le dernier terme <p^"^, la valeur exacte de cet arc
pourra être déduite de sa tangente connue avec toute la précision
nécessaire. Réduisant ensuite cet arc en parties du rayon, et faisant
9s=-^y on aura r^ = R<».
Il reste à calculer E(p, ce qu'on fera par l'équation Eip = LF^
-f- Pc sin 9 , dans laquelle on a
L= i^---- ^ etc.,
P == - cos cùA-^ cos cù cos cù" + — -^ cos cd cos a>° cos w"* -f- etc.;
2*4 8
d'ailleurs les angles &>, &)", &)"•, etc. , se déduisent des angles <p, (p*,
^°% etc., par les formules tang «rirr^Z» tang (P, tang 0)"=^° tang (p°,
tanga)°°=Z»"lang9**, letc. j et comme on connaît tangcp, tang(p% etc.,
y If **" — ' ^f^^J F
/
'- k-U'''^('-^
_i^ J )
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sig
on aura immédiatement
c COS » = -(.+;. tang-^) ' "^ '"' "" = t/(,+è°'ta.6-0 > «"=•
Cette méthode, que nous employons ordinairement depuis cr=o jus-
qu'à sin45% peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu'à c=sin 8i*,
parce que dans celte dernière limite les séries n'ont qu'un terme de
plus que pour la limite c=sin 45°. Mais depuis <? = sin 81% jusqu'à
c= I , la seconde méthode mente la préférence , à raison du moindre
nombre de termes dont les séries sont composées, et le calcul devra
être fait comme il suit.
235. On formera d'abord la série des modules croissans c, c', c",...
et celle de leurs complémens b, b', b".,.. par les mêmes formules
que dans l'art. 22g, ayant soin seulement d'échanger entr'elles les
lettres ^ et c, ainsi que les signes " et '. La suite b, b', b"... étant
donc prolongée jusqu'à un terme b^"^ dont le quarré soit négligeable,
relativement au degré d'approximation qu'on a en vue, on aura en
logarithmes hyperboliques F'c= — log ~, ou en logarithmes vul-
gaires, F'c=— - log ^3 , d'ailleurs le coefficient R a pour valeur
K = (i 4- b') (i 4- b") (i + b'") (i 4- ^W) .
on calculera en même tems la fonction E'c par les formules
E'c = LTv + ^,
T / * V I ^' I ^'^'' I b'b''b' , . \
Dans celte méthode, il reste à calculer le logarithme de r^, avec
le degré de précision requis.
Si ensuite il s'agit de calculer les fonctions F<p,E(p, qui répondent
à une amplitude donnée, on suivra les formules de l'art. 225, les-
quelles ne sont guère susceptibles d'être simplifiées, si ce n'est la
formule principale qu'il convient de mettre sous la forme
col <p' = ^^- cot ?> 4- V" [(^'Jcot* <P + ^'] î
520 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
elle servira à déduire cot(p' de coKp; oa déduira de même cottp"
de cot(p', et ainsi de suite.
234. En terminant ces recherclies, nous croyons devoir faire
observer que par la simple méthode de bissection qui n'exige que
des extractions de racine quarrée , on peut calculer jusqu'à tel
nombre de décimales qu'on voudra, les fonctions F et E correspon-
dantes à des valeurs données du module et de l'amplitude.
Remarquons d'abord que pour la bissection des simples arcs de
cercle, on a les formules
sinitp = i V(i -i- sin ?>) — • ^ {/(i ■— sin (p),
cos ^(? = -j v/(i 4- siû ®) + ^ 1/(1 — sin .(?));
ainsi le sinus et le cosinus de l'arc j (p se déduisent à la fois de la
valeur donnée de sin <p. Partant donc d'un sinus connu tel que sin45%
sin5o°, ou en général sin a, on peut, par des bissections conti-
nuelles, parvenir au sinus d'un arc très-petit arc <w, qui sera sen-
siblement égal à l'arc •, et de cet arc ou de ce sinus, on déduira
la valeur de l'arc proposé ol=2''m , « étant le nombre des bissections.
On procédera d'une manière semblable pour déterminer par des
bissections continuelles, la fonction Fx dont l'amplitude est donnée.
Soit en général Fp un terme quelconque de la bissection et F(p'
le terme suivant, ensorle qu'on ait 'F(p' = ^'F<p , on déduira <p' de
^ par la formule
sm (p = — 7- — ^-^ ;
or on peut mettre ^/(H- 1 A?>) sous la forme ~ /(i +csin(p)
"1" a 1/(1 — c sin (p); ainsi on aura en général, pour déduire (p' de
<p, la formule très-simple
.^pW.— V/(^ 4-sinf)— 1/(1 — sin^) ^. ;^ " '- | ^
Cette formule servira à continuer aussi loin qu'on voudra la suite
des bissections; lorsqu'on sera parvenu à une valeur très-petite de
sin(p, celle du terme suivant sin(p' se trouvera plus facilement par
la formule
sin
\ 4-0 4.6.0.10 4-o-"'4 /
CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 32 1
on aurait en même temps
/ 1 3 1.3.5.7 . , , 1.3.. .11 . e . N
enfin si l'on fait les calculs par logarithmes, on préférera les formules
suivantes dont la loi n'est pas moins simple,
77i?inW , 3 sin'(p ,3.5 sin^ip 3.5.7 8in«<P , ^ N.
Supposons qu'après un nombre n de bisseclions , on parvienne à un
are très-petit m qui sera la dernière des valeurs de <p; alors en sup-
posant seulement &)' négligeable, on aura avec une exactitude su^
fîsante
Fo, = « + I 0)3 - -^ (4 - gcO'^S
Eco = 0) — c" ^' H (4 — 3c'')a)5 ;
6 ' 120 ^^ '
:^ C\X^-^<
connaissant F«, on en déduira immédiatement Fa=3"F«ît), n étant
le nombre des bisseclions. Quant à la valeur de Eo, , elle se déduira ^
de toutes les équations de la forme E(p = 2E(p' — c*sin'«psin(p', et
on aura en général Ea = 2"E:«) — c*Z , Z étant la somme des n ^
termes sin" (p s'in tp' + 2 sin* ^' sin (p" + 4 sin* (p"sin <p"' -f- etc., formés
avec toutes les valeurs de (p, en partant de la première et jusqu'à la
dernière co.
Nous n'insisterons pas davantage sur cette méthode, parce que
malgré sa simplicité apparente et l'élégance des formules, la lon-
gueur des calculs qu'elle exige, la rendrait presqu'impraticable, dans
les cas où l'on voudrait obtenir une très-grande approximation.
Les tables suivantes sont une continuation des tables données ci-
dessus, pages 125 — 17 1.
La table VI donne avec quatorze décimales, l'échelle logarithmique
des modules décroissans c, c°, c"....., de leurs complémens ^,
i% à'' , et du nombre K, pour tous les angles du module
-r >
522 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
de dixième ea dixième de degré, depuis 6 = 0* jusqu'à 6=:i5% et
de demi-degré en demi-degré, depuis 0=15° jusqu'à 0 = 45";
celte même table donne aussi, par un simple changemenl de déno-
minations, l'échelle logarithmique des modules croissans c, c', c"... ,
de leurs complémens b', h", b'"... et du nombre K, pour tous les
angles du module de demi-degré en demi-degré, depuis 9 = 45°
jusqu'à 0 = 75% et de dixième en dixième de degré, depuis 0 = 75"
jusqu'à 0=90% ainsi qu'on l'a expliqué dans la note de la page 197.
La table VII donne la valeur de <p qui satisfait à l'équation
F(p = T?F'^î cette valeur est calculée jusqu'à la septième décimale
des secondes, pour tous les angles du module de dixième en dixième
de degré, depuis G = 0% jusqu'à 6=45°.
La table VIII donne, avec douze décimales, les valeurs des fonc-
tions E et F dont l'amplitude est de 45°, et celles des fonctions
complètes E' et F', pour tous les angles du module de degré en
degré, depuis ô=o° jusqu'à 6 = 90°.
TABLE VI.
-nC:.)^^ 323
1
9.
Log c, c°, c°".
Log 6, b°, K.
e.
Lng c, c°, c°°.
Logè,Z.°, K.
0°1
0.2
7.24187 71471 oi4'
3.88169 49643 4326
7.16132 99373 5869
9-99999 9^385 3i34
9-9.9999 99999 9987
o.oocoo o33o7 3427
i^^
8.41791 90153 8883
6.23392 68740 'j'>'j4
1.86679 37631 9439
8.44594 09034 8261
6.28999 11670 3o3c
1.97792 233o9 8799
9.99986 1 1626 2321
9.99999 99936 23 i3
0.0CC07 44^'^4 9996
7.54290 64812 9673
4.48375 56171 4014
8.36545 12429 5435
9,99999 73541 21 33
9-99999 99999 9799
o.oocoo i3229 3833
1.6
1.7
1.8
1-9
2.0
2. 1
9.99983 06420 9626
9-99999 9.99 '7 4465
0.00008 46748 242c
9.99980 88076 9979
9-99,999 998.94 7878
0.C0009 66909 3949
0.3
0.4
0.5
0.6
7.71899 66379 0379
4.83593 92377 01 34
9.06981 84840 8491
9-99999 40467 5789
9-99999 .99999 8981
0.00000 2(^766 1696
8.47226 26666 6069
6.34265 63n3 3118
2.o8325 26418 656y
7.84393 383 10 820/;
5.o858i 82543 5o8Ô
9.56967 65 174 o583
9-9.9.998 94164 2087
9-99999 9.9999 677^"
o.coooo 62917 7345
8.49707 84317 649"
6 0923 1 1 1967 5238
2. 18266 24164 OI21
9.99978 66490 0069
9-99999 99867 7559
o.cooio 71688 8745
9.99976 11661 6773
9-99999 99835 8213
cocon ^4'^'^? 1220
7.94084 18596 7687
5.27964 02647 8638
9.95722 o5383 2348
9.99998 34630 8204
9 -.99999 .99999 21 32
0.00000 82684 1964
8.52o55 13689 3761
6.43928 15475 5578
2.27660 3 1201 9747
8.O9.002 o68o3 2566
5.43800 51822 9180
0.2,7396 03734 i885
9.99997 61867 obi A
9-99999 99998 367c
0.00001 19065 6583
8.64281 91 638 9609
6.48384 29372 2734
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2.3
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524
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99999
256o3
1730
974^
9933
3973
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99999
■99999
.001 19
43489
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999.99
20064
8i85
0549
9993
6143
,99753
■99.999
99999
00123
40124
82497
99999
21186
9459
2268
9912
i364
i5i8
6784
426719
5838!o
99745
•9.9.999
■.9.9999
,00127
23379
8i3i8
99999
28969
6064
63o4
9900
5070
6.4
G. 5
Log c, c°, c"", c°
1 . 04034
.48195
:.36o44
:.ii883
244^^
i583o
5i656
03420
0061
7049
7363
2044
04715
49495
,38785
17365
38409
S4744
90792
81671
1373
7190
6i5o
9633
6.6
6.7
6.8
6.9
7.0
7.2
7.3
,05385
,50845
,41484
, 22763
87563
37250
97164
944i5
7^94
396c
368 1
4713
Log b, b°, 6°°, K.
.99736
•99.999
■999.99
,ooi3i
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80081 3697
99999 9886
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.99728
-.99.9,99
•99999
.001 35
49727 3i 10
78783 5175
99999 9870
64528 0968
, 06046
,52174
,44143
,28080
04259
38iio
oo3o9
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5795
5742
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0664
, 06696
,53483
,333i6
, 07336
,54773
49340
38475
19416
49 1 ^^
23912
479iL
69580
29509
8gi59
JQ.406
6009
2654
55i6
8423
0122
8336
8124
3663
,07967
, 56o44
5i883
43560
62001
35645
00061
00210
5396
4988
9742
6926
,08589
.57297
,54388
,48571
44712
21 638
73751
47589
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3i3o
2625
272c
09202
,58532
,56809
,535i2
36595
39952
10753
2i6o3
588c
5720
42l3
5928
,09806
, 59750
.59S95
,58384
, 10402
, 6095 1
6 1 697
,63i89
6-2444
38o8o
10270
Ù.C>62.J
46'ô3o"
65662
67368
34824
9664
53o8
1455
0448
3642
2608
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35o7
997^9
99999
99999
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■9971 ï
•999.99
■99999
.00144
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.99702
■99999
'99999
,00148
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,99693
•99999
•99999
,001 53
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i5658 2674
,99684
99.999
■9.99.99
00157
31075 6936
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,99675
99999
■99999
,00162
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,99665
■99999
■99999
,00166
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99999 970^^
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■99656
■99,999
•99999
,00171
i885i 2621
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99999 9667
73563 1372
• 99^4^
•99999
9.9999
. 00 1 76
54569
64042
99999 9628
54736 2019
3do
710
u
%
26
TABLE VI.
ô.
TA
7.5
7-6
Log c , c% c°°, c°°^
Log b, b°, b°°, R.
6.
Log c, c", c°°, c^°°.
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8° 5
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4.88220 19907 77)5
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9-99.999 33775 Se44
9-99999 .999.99 87^8
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9. 11569 76687 261 1
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8.6
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9-99999 999.99 861 3
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9-99999 99999 94^^
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8-7
8.8
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4- 92-275 60430 421 1
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9-9.9497 39878 2928
9.99999 27293 983o
9-99999 99999 8478
o.oo25o 93707 7690
7-7
9.12706 00229 4778
7.65598 4855'i 2436
4.70991 41726 865o
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9.99606 62918 8892
9-99.9.99 55462 2284
9 > 99.999 99.999 9429
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9-99999 99.999 8332
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7.8
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9-99999 99999 .9^67
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8.9
g. 18951 94705 2635
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9-99999 999.99 8174
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1-9
8.0
8.1
8.2
9. i38i2 75i 12 oc56
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9.0
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9-99999 99999 8002
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9 99999 48080 o3l2
9-99999 99.999 9224
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9-1
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9-9.9999 99999 7817
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9-99999 .99.999 9 '43
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9-2
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9-9.99.99 9,99.99 7617
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9-99999 9,9.9.99 9^54
0.0022a 86234 5666
9.3
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9 . 99425 366 1 1 307S
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9-99.999 .9.99.99 74oo
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8.3
8.4
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9-4
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9-99.999 .99999 l^^l
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9-9.999.9 .9.9.999 8852
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TABLE VI.
327
V69,
7-
Loge,
2221 1
84827
09449
586q:^
46660
26749
59555
iqiqS
o383
oi58
86i3
7786
9-7
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9-9
.23098
.86626
,i3o48
_6_589j_
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.69436
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58744
23o6
7324
5345
1854
93904
99216
20704
41496
10.0
«3967
88390
,16675
,72946
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35646
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97294
10. 1
• 24394
,89269
,i"83i3
,76420
7 ' 942
07901
48'3o7
96702
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1724
4949
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7962
7787
4392
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7643
7536
10.
10.4
24818
901 '9
, 20034
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11389
3309 q
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08194
3983
1042
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.26237
•90971
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,83269
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27854
99077
98243
ii38
7692
9086
19,85
10. D
10.6
q5652
91816
23426
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26065
. q265o
.26097
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. 26470
,93478
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. 93300
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35124
7o336
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682^
4538
4828
3i8o
0462
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993
•974
8696
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9.9998
999.99
oo3o5
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99999
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99999
oo3i2
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99999
coo 1 8
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99998
99999
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99999
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99998
99999
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99998
99999
oo338
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99999
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99999
oo352
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99999
24001
4356^
56717
99999
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4537
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4856
1484
4091
o36o
99280
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999.99
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52S
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TABLE Vr.
529
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14.1
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^ ' — - ■' ■'^ 8.26767 8i3o4 6256
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9 •99^)99 99992 9^7^,
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14.
^4-9
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i6.
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18.0
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90.C
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kk
55o
TABLE VI.
•«
ai«o
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22. C
22.5
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23.5
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3o.5
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TABLE Vï.
33i
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,08686
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27492
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,68233
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•99999
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o53o
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•99999
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67456
99999
85647,
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4»
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9
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4
,81694
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,69316
, 78427
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4i.5
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,73940
,87675
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8411 5 7805I0.
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.9.9.999
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9.
9
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,5ii53
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•99999
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,06692
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73453
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4211
3i66
6776
8176
TABLE VII.
535
6.
o°o
o. 1
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0.8
0.9
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III.
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99
101
108
110
ii5
118
124
127
i3o
i35
140
142
148
fl.
f-
Diff. I.
II.
III.
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9'
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9
9
9
9
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^93
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210
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23b
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-268
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270
~^
9.8û
284
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6.1
6.2
6.3
Q.4
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9
9
9
9
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. 1. 5.74893 82
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»-9
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9
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. 1.21.8344^ 86
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9
9
9
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7.8
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9
9
9
9
9-
. a. 3.77226 38
2. G. 2.^747 45
2. 9.81228 62
2.13.40671 86
2.17.06080 17
3.49522 07
3.54481 17
3.69443 24
3.64408 3i
3.69376 4A,
4969 IC
1(962 07
4965 07
4968 i5
4.97 ï 2-
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
9. 0.23.33906 22
9. 0.24.87016 38
g. 0.26.46002 16
■9. 0.28.07863 86
9. 0.29.76602 83
i.53iii 16
1.67986 78
1.62861 70
1.67738 97
1 .72617 Q4
4874 62
4876 92
4877 27
4878 67
4880 09
9
9-
9
9-
9
2,20.74456 61
2.24.48804 28
2. 2«. 281 26 32
2 . 32 . 1 2426 9 1
2.36.01706 28
3.74347 67
3.79322 04
3.842q9 69
3.89280 37
3.94264 42
4974 37
4977 55
4q8o 7S
4984 c6
4987 36
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4994 »2
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5oo4 58
3.6
3.7
3.8
4.0
9. o.3i .48220 47
9. 0.33.26718 20
9. 0 35.08097 5o
9. 0. 36. 95359 87
9. 0.38.87606 88
1-77497 73
i .82379 3o
1 .87262 37
1.92147 01
1 . 97033 23
4881 67
4883 07
4884 Q4
4886 22
4887 87
i5o
167
16H
«65
168
170
.76
181
184
187
8.1
8.2
8.3
8.4
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8.7
8.8
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9.0
9-
9
9-
9-
9-
2.39.96970 70
2.43.96222 48
'■^'47 -^^4^4 .99
2.62.08701 62
a.56.2''.q36 81
3.99261 7^
4.04242 61
4.09236 63
4.\4'i^4 iq
4. 19235 26
4..
4.^
4.3
4.5
9 . 0 . 40 . 84540 1 1
9. 0.42.86461 21
9. 0.44.939.71 86
9. 0.47.Ô4973 76
9. 0.49.21668 ^j
2.01Q21 10
2.06810 65
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2. i65q4 91
2.21489 73
4889 55
4891 26
4893 01
4894 82
4896 ^£
9-
9-
9-
9-
9-
3. 0.42171 06
3. 4.66410 89
3. 8.96668 87
3. i3. '29918 ^
3.17.69^93 84
4.24<2'5g 83
4.99247 2^
4.34269 77
4.39376 20
4.44294 35
5oo8 i5
5oi f 79
5oi5 43
6019 i5
5o2a 89
II
534
TABLE VII.
9"cH
9-1
9.2
9.4
9-6
9-7
9-8
9-9
0.0
o. 1
0,2
0.3
0.4
o.
0.6
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2. 1
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2.8
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3.2
3.3
3.4
3.5
3'i7''69iq3 84
3.22.r34"88 iq
3.26.62805 4'3
3.3i .17149 36
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Diff. I.
4-44^34
4.49317
4.H^5
4-^9^74
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1-59497 32
7. 10128 86
5.
5-
5.12. 65872 4^^
5.18. 26732 74
5.23.92714 69
5.29.63822 89
5.35.40062 44
5.4i'2i4>^8 21
5. 47- 07955 17
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6. 4 -98403 72
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7. 1 .4Q049 18
7. 8.09876 44
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7.21 .26184 4^
7.27.95676 60
4.74489
4.79535
4.84586
4.89640
4-94^93
35
24
93
47
88
22
■53
87
25
76
4i
4.99762
5 . 04829
5.09900
5.14976
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5.25i4i
5 . 3o23o
5.35323
5 . 4042 1
5.45524
5.5o63i
5.55743
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5.71108
5.76239
5.81375
5.865i6
5.91663
5.96814
25
34
72
43
11
o3
01
5o
56
22
54
56
32
88
55
77
96
1
47
6.01970
6.07132
6. 12299
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6.22648
6.27831
6.33019
6.38213
6 . 434 1 2
6.48617
6 . 5382^
6 . 59043
6.G49M
6.69492
6.74725
II.
5o22 89
5o26 69
5o3o 54
5o34 4i
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5o42 3
5046 34
5o5o 39
5o54 5"
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5o8o 08
5o84 5q
5o88 98
5093 49
5098 06
02 66
07 32
12 02
16 y6
21 56
26 39
3i 28
36 22
4' 19
46 22
5i 29
56 43
61 57
66 81
72 07
77 38
82 73
88 16
93 60
, 99 11
5 204 67
52IO 26
521 5 93
5221 6{
5227 37
5233 17
5239 02
III.
38o
385
387
393
397
4o3
4o5
4l2
4^4
419
425
4^9
433
437
444
44e
4^1
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466
470
474
480
483
489
494
497
5o3
5o7
5i4
5i4
524
526
53
535
543
544
55
556
559
567
568
576
58o
585
590;
3° 5
3.6
3.7
3.8
3-9
4.0
4
4.2
4.3
4.4
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4.6
4.7
4.8
4-9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6.
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
^7
6.8
6-9
7.0
7-1
7.2
7.3
7-4
Zi5
7.6
7-7
7.8
7-9
8.0
7' 27^95676 60
7.34.70401 94
7.41 .5o366 3o
7.48.35575 58
7.55.26035 71
8. 2.21752 71
8. 9.22732 61
8.16.28981 53
8.23.4o5o5 60
8. 30.573 11 o3
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8.52.39478 21
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g. 7.20779 o5
9. 14.69405 64
9.22.23358 41
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9.45.17240 i5
9.52.92564 25
. 0.73248 10
, 8.59398 56
, 16.50722 58
,24.47^27 11
,32.49719 19
0.40.57305 9
0.48.70294 4o
0.56.88691 86
. 5. i25o5 53
. 13.41742 71
.21 .76410 76
.3o. i65i7 08
.38.62069 14
.47- i3o74 4^
.55.69540 59
2. 4-3i475 19
2.12.98885 94
2.21 .71780 58
s.3o.5oi66 90
2.39.34052 76
2.48.23446 07
2.57. 18354 79
3. 6.18786 95
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3.24.36253 96
Diff. I.
74725
79964
85209
90460
95717
00979
7.06248
7. 11 524
7.16805
7.22093
7 . 27386
7.32687
7-37993
7 , 433o6
7.48626
7.53952
7.59285
7.64625
7-69971
7.75324
7.80683
34
36
28
i3
00
92
92
07
43
04
94
20
86
98
59
77
56
01
17
10
85
7.86o5o
7.91424
7.96804
8.02192
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8.238i3
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8.5ioo5
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8.89393
46
02
53
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67
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5387
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5453
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5483
5491
5499
5507
55 1 5
02
92
85
87
90
02
75
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6
26
12
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8.94908
9 . 00433
9.05963
9.11 5o3
9. i7o5i
72 559,3
i6 553i
68 5539
33 554i7
5556
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61
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89
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m.
590
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625
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661
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796
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TABLE VII,
55!
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e.
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18.1
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18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
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Diff. I.
II.
III.
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9-
9-
9-
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13.42.76912 43
i3. 52. 04084 i3
14. 1.37828 62
14. 10.77154 32
9,17061 18
9.22607 29
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9.449»5 40
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5564 41
6672 79
558 1 2"i
5589 70
6698 25
83o
838
842
85i
856
860
22°5
22.6
22.7
22.8
22.9
23.0
9°2i' i3''3ioii 14
9.21 .25.07178 22
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u. 82168 41
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6991 33
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60 i3 77
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6o36 5i
6c47 99
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1140
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1184
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9-
9-
9-
9-
9-
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56 1 5 5i
6624 24
5633 o3
5641 86
866
873
879
883
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896
903
909
9»4
922
23. 1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
23.9
24.0
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9.23. 1 .33i5i 5i
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12. 12284 ^1
12.18343 83
12.24414 98
i2.3o497 82
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19..
19.2
19.3
19.4
19.5
19.6
19.8
19-9
20.0
9-
9-
9-
9-
9-
i5. 8.30793 41
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10.01292 26
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1261
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9-
9-
9-
9
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20.3
20.4
20.5
9
9-
9
9
9
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20.6
20.7
20.8
20.9
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21.8
21.9
22.0
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9
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9
9
9
9
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Il .76167 08
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6626 32
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6555 37
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1119
27.0
.
556
TABLE VII.
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II.
III.
.476
9.
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II.
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1795
^4.8
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^4.9
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1896
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i85o
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^0.9
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1869
35.4
■9.55.33.20623 38
20.70739 96
8173 83
2438
5i.o
9.41.39.54867 71
17.33137 79
7234 33
1879
.889
35.5
^5.6
9.55.53.91263 34
20.78913 79
8198 21
2462
3i.i
9.41 -56.88oo5 5o
17.40572 12
7253 o5
9.66.14.70177 i3
20.871 12 00
8292 73
9467
3i .2
9.42. 14.28377 62
17.47626 17
7271 87
1896
36.7
9.56.35.67989 i3
20. 96334 73
8247 40
2483
3r.3
9.42.31 .76002 79
i7.548q7 04
7990 83
1906
35.8
9.66.56.5962'3 86
2i.o3582 i3
8973 23
2498
3i.4
9.43.49-30899 83
17.62187 87
7509 89
1916
35 9
9.67. 17.66205 99
21 . 11854 36
8997 21
25l4
3i.5
9.43. 6.93087 70
17-69497 7S
7329 c5
1930
36. 0
9.67.38.68060 36
21.20l5l 67
8322 35
2627
TABLE VII.
557
=i7i
36" o
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36
36.7
36.8
36.9
37.0
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37.2
37.3
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37.
37-
37.
38.
38.1
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42 . 53507
3.98701
25.529,96
35
92
84
38
%1
21
9-59
o. o
o. o
o. o
o. 1
47.14312
, 8.84780
3o . 63726
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.4.47148
o. 1
o. 1
o. 2
O. 2
o. 3
. 36 . 5 1 679
68.64793
,20.865 16
,43.16875
. 5.55897
86
83
i8
^4
10
"61
39
3i
4'.
93
Diff. I.
67
II.
92
54
24
65
8322
.20l5l
.28473
.36821
.45194 6918398
,53593 ■
, 6yoi7
o. 3.
o. 3.
o. 4.
o. 4.
o. 4
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o. 5.
o. 6,
o. 6.
o. 6,
21 .70609
44.73962
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3i .01627
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o. 7
o. 7
o. 8
o. 8
o. 8
.17.64883
,41 • 10061
. 4.64253
,28.37616
,61.99873
21 ,
21 .
21 .
21 .
22.
70467
78944
87446
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0453 1
22.
23.
22.
22.
22.
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21722
3o359
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47713
22.
22.
22.
22.
23.
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,16.26648
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,29.66261
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o.i3,
o. 14,
o, 14.
o. 14.
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i5
87
67
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23
98
h.
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67
81
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66177
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78
93
1 1
61
63
68
61
62
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8682
8609"
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8690
8718
23.
23.
23.
23.
23,
23.
23,
23.
23
25.
0044^
09339
18245
27190
36164
45168
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63263
73366
81478
23.
23.
24.
24.
24.
24,
24.
24,
24,
24
24,
26.
26,
25,
90631
99814
09028
18373
27548
36855
46193
56563
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74399
8347
8373
8424
8460
8746
8773
8802
883o
8858^
8887
8916
8944
8974
9003
9032
9062
9092
9122
9162
9183
93i3
9344
9276
9306
83864
93363
02894
12467
22064
9338
9069
9401
9433
q465
m.
26 27140° 6
2543140 . 6
256oï-4o.7
3676
3591
3606
2633
3639
265'6
3672
688
3703
2733
>.738
3766
2771
2788
3& "
2823
3845
2856
2879
2894
29*14
2931
2949
2968 43 .
3986
3oo6
5o37
3o43
3o6
3o83
3098
3 123
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3i58
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3 900
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49.
42.
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9563
9696
9630
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44-3
3223144.4
3240844 • 5
3a6"oj44.6
3385144.7
33o4f44.8
3325Ï44.9
3347*45.0
58"972o6
24. 19361
49 50946
14.92294
40 . 43339
6.041 i5
, 3 1 . 74667
,57.54998
,23.46173
,49.46317
,i5.55i65
0.19
0.30
0.20
O. 21
0.21
,41 .76062
, 8.04913
,34.44786
. 0.94702
,27.54702
0.21
0.22
0.29
0.23
0.93
54.24821
21-. 06096
,47.96561
,42.07218
0.24
0.24
0.26
0.26
0.26
, 9.28483
36.60091
, 4 -02079
31.54486
,69.27349
0.26,
0.26.
0.27,
0.27.
0.28.
26.90709.
54-74^^3
22.69072
60.741 55
18.89891
0.28.
o . 29^.
0.29.
o-.3o.
o.3o.
47. l6323
16.53487
44-01427
12. 601 83
41 .29796
10
07
17
35]
84
o.3i .
o.3i,
0.32.
0.32.
0.33,
10.1 o3o9
39.01762
8.04197
37.17668
6.49187
o.i)3
0.34,
0.34.
0.35.
0.35.
35.77826
5.24619
34.82609
4.5i84i
34.32358
19
19
90
68
11
33
38
85
DifF. I.
26.
25.
26,
26.
26,
25,
96.
25,
26.
26.
26.
26.
36,
26.
26.
26.
26.
36.
27,
27,
27,
22064 66
3 1684 69
41348 ,9
61045 34
60776 39
70641 56
8c34i 08
90176 lA
00043 96
09947 78
19886 84
29861 36
39871 54
49917 65
59999 9c
701 18 55
80273 82
90465 96
00696 1 8
10961 76
21266 92
,31607 95
41988 o5
62406 , '
628^-3
73369 38
83894 37
94458 71
06082 67
16736 5
26430 63
,37ib4 97
.47940 \o
,68766 18
, 6q6i3 49
.80612 35
98,
99,
^9
29,
99.
29,
52 3a.
5o ^
91453 00
0P435 72
13460 78
94628 4q
35639 1 6
46793 o5
67990 46
69331 Ç^'j
8o5i6 98
II. III.
9834
9868
9903
9.9-39
9974
0193
0329
0366
o3o4
0349
173786
0D74
:o6i3
o653
0694
0734
0775
0816
10867
10898
1 0940
10982
1026
1067
1110
11 53
, .'9br
î 5988
(4oi8
24^42
\ 4069
86 4179
664207
724234
064265
71 4296
^'j 43iî2
89 {456 2
4i'4'^8o
4410
mm
558
TABLE VIII.
8.
E(45«).
DifF. I.
II.
III.
IV.
V.
0.78539 81 633 97
2 17326 22
4 34449 ^1
608 4q
4o5 49
22
1
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6 51775 83
4 33841 12
ioi3 98
4o5 27
39
2
0.78531 i253i 92
10 856i6 95
4 32827 ^4
1419 25
4o4 88
39
3
0.78530 26914 97
i5 18444 09
4 31407 89
1824 i3
404 49
60
4
o.785o5 08470 88
19 49851 98
4 29583 'fi
2228 62
4o3 89
57
5
6
0.78485 586 1 8 90
2^ 79435 74
4 27355 14
2632 5i
4o3 32
89
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3o35 83
402 43
74
7
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32 3i5i3 5i
4 21686 80
3438 26
401 6s
1 06
8
0.78401 40878 'j'j
36 53200 3i
4 18248 54
3839 95
400 63
1 09
9
0.78364 87678 /^^
40 71448 85
4 14408 59
4240 58
399 54
1 20
lO
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1 41
11
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4 05527 89
5o38 46
396 93
1 44
12
0.78230 34346 72
53 01 553 34
4 00489 43
5435 39
395 49
1 68
i3
0.78177 32793 38
57 02042 77
3 95o54 04
583o 88
393 81
1 75
i4
0.78120 3o75o 61
60 97096 81
3 89223 16
6224 69
392 06
1 97
i5
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64 863 19 97
3 8C.998 47
6616 75
390 09
2 07
i6
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68 69318 44
3 76381 72
7006 84
388 02
2 33
17
0.77925 78015 39
72 4^7^^^ 16
3 69374 88
7394 86
385 69
2 42
i8
0.77853 323i5 20
76 i5c75 ©4
3 61980 02
7780 55
383 27
2 69
ï9
° -77777 17240 19
79 77c55 06
3 54199 47
8i63 82
38o 58
2 84
20
21
0.77697 40185 10
83 31254 53
3 46o35 65
8544 4o
377 74
3 i3
0.77614 08900 60
86 77290 18
3 37491 25
8922 14
374 61
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22
0.77527 3 1640 42
90 14781 43
3 28569 1 1
9296 75
371 33
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23
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93 4335o 54
3 19272 36
9668 08
367 75
3 85
24
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3 09604 28
ioo35 83
363 90
4 08
25
2b^
0.77247 io885 55
99 79227 18
2 99568 45
10399 73
359 82
443
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355 39
478
27
0.77044 66862 j/^
io5 60964 35
2 78409 17
11114 94
35® 61
4 92
28
0.76939 05898 39
io8 3.9373 5a
2 67294 23
11465 58
345 69
5 54
29
0.76830 66524 87
m 06667 75
2 55828 65
ii8u 27
340 i5
5 75
3o
3i
0.76719 59857 12
11 3 62496 40
2 44017 38
i2i5i 42
334 40
6 i5
0.76605 97360 72
1 i6 o65]3 78
2 3i865 96
12485 82
328 25
669
32
0.76489 90846 g4
118 38379 74
2 19380 i4
12814 07
321 56
7 01
33
0.76371 '52467 20
120 57759 88
2 o6566 07
i3i35 63
3i4 55
7 59
34
0.76250 94707 32
122 64325 95
1 93430 44
i345o 18
3o6 96
8 08
35
36
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i5 79
TABLE Vin
♦
559
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II.
III.
IV.
V.
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467
3 06
9°
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TABLE VIII,
341
9.
45°
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Diff. r.
II.
m.
IV.
V.
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17302 16
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46
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164 69924 7"8
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3 o5
48
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3
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10 47066 90
64255 94
1898 7Q
56 90
5 29
45
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883 78229 17
g 82810 96
66154 '73
1955 69
62 ig
5 79
TABLE VIII
543
e.
F'.
Diff. I.
II.
m.
IV.
V.
VI.
o°
1 . 57079 63267 95
1 1 q63i3 32
23 93629 i3
3009 84
aoi4 58
12 IC
4 85
1
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35 89942 45
23 96638 97
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3026 68
16 g^
6 11
Q
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59 8658 1 4a
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7061 10
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aa 06
4 99
3
1.57187 36io5 14
83 88244 81
24 08714 49
9094 73
2066 69
27 oE
5 36
4
1.57271 24349 95
107 96969 3o
24 17809 22
1 1160 42
2092 74
32 4,
5 37
5
6
1 .57379 21 309 25
i32 14768 62
24 28969 64
i3263 16
aia5 i5
37 7?
5 66
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166 43738 16
24 42222 80
16378 3i
3162 93
4342
; 5 81
7
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180 86960 96
24 67601 11
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2206 36
49 M
\ 6 16
ë
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206 43562 07
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19747 60
2265 60
55 4c
6 36
9
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23o 18704 42
24 94889 96
220o3 20
23ii 00
6i 76
' 6 84
lO
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255 13594 37
26 16893 16
24314 20
2372 7S
68 6c
) 7 02
11
1.58539 4' 637 75
2H0 30487 52
26 4*207 35
26686 96
2441 36
75 62
7 S^
12
1.58819 72125 27
3o5 71694 87
26 67894 3i
29128 32
25i6 98
83 28
l&
i3
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33 1 39689 i8
26 97022 63
3i645 3o
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8 66
i4
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a6 28667 93
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9 26
i5
i6
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9 76
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39728 4.
2900 39
118 82
10 64
ï7
1 .60608 13494 10
437 28043 80
27 39678 98
42628 80
3oi9 21
129 36
11 45
i8
1.61045 4>537 90
4S4 67622 78
27 82207 78
45648 01
3148 57
]4o 81
12 24
ï9
i.6i5io 09160 68
492 49830 56
28 27866 79
48706 58
3289 38
i63 o5
i3 3o
20
21
1 .62002 58991 24
620 77686 35
28 76662 37
52oo5 96
344a 43
166 35
180 81
'4 4S
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549 54338 72
29 28738 33
55528 39
56o8 78
i5 Q^
sa
1 .63072 91016 3i
678 83077 o5
29 84266 72
69137 17
3789 69
196 60
17 04
23
1 . 6365 i 74093 36
608 67343 77
3o 43403 89
62926 76
3986 09
2i3 54
18 69
24
1 .64260 4' 437 i3
639 10747 ss
3i o633o 65
66912 86
4199 63
232 23
20 46
25
1 .64899 52184 79
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3i 73243 60
7111a 48
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26
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27
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4969 5i
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27 00
28
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767 54578 11
34 00129 21
86188 40
6269 12
326 61
°â '77
29
1.67773 48840 81
801 54707 32
34 853 17 61
90447 62
6585 73
356 38
33 06
3o
1.68575 03548 i3
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36 76766 i3
96033 26
6942 1 1
633i 65
389 44
36 32
3i
1 .6941 1 43573 06
872 16790 06
36 71798 38
1 01975 36
4a5 76
40 56
32
1 .709.83 69363 13
908 876'88 44
37 73773 74
1 08^06 91
6767 3i
4SS 32
A4s^
33
1.71 192 4*^9^1 56
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38 82080 65
1 16064 22
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611 28
5o 12
34
1.72139 o83i3 74
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39 97144 87
1 22287 86
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56 1 40
56 o3
35
36
1 .73124 61766 67
1026 40687 70
41 Ï9432 72
1 3ooaa 76
8296 01
617 43
6a 5o
» -7414.9 92344 27
1 .75216 52364 69
1066 60020 42
42 49455 48
1 383 19 07
8913 74
679 93
70 55
37
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1 47232 81
9593 67
760 48
78 89
38
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- 162 97260 46
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1 66826 48
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89 18
39
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1198 '32267 81
46 91833 84
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1 1173 62
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100 81
40
41
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1 78344 i5
12092 07
1019 36
1 14 3o
1.79922 i544o 5o
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60 37348 62
1 90436 22
i3iii 43
1 1 33 60
129 5i
4^
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a 03647 65
14245 09
1263 17
148 6a
43
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2 17792 74
i55o8 26
i4ii 7Q
.68 76
M
1.83966 67210 g4
1460 79662 07
66 49 '26 a3
a 333oi 00
16920 o5
i58o 54
194 :^Q
45
1.85407 46773 01
1607 28687 3o
58 82426 23
2 60221 c5 18600 5q
1774 80
aa3 01
-, 1
S44
TABLE Vlir.
6.
E'.
Diff.
6.
45°
4G
il
t
F».
Diff.
45°
46
47
48
49
5o
1.35064 388 10 48
1.34180 6o58i 3i
1.33286 99541 18
1.39384 91844 89
1.31472 95602 65
i.3o553 90942 97
883 78299 17
893 6104b i3
902 77696 36
911 96249 17
919 04669 68
996 10863 o3
1 .85407 46773 01
1.86914 75460 3i
1.88480 86673 84
1.90108 3o334 65
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1607 38687 3o
i566 iiii3 53
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5i
52
5?^
54
55
56
57
58
^e?
6i
62
63
84
65
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1.98695 37387 83
1 .27757 39482 5o
1.26814 6"53io 64
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5i
52
53
54
56
66
57
58
60
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Qi 44 87469 85
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1 .93966 11759 89
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i.99o58 89957 54
1.21 io5 60275 68
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a. i3ooa i4383 99
a.i565i 66476 ©0
3329 67438 95
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3536 37799 <^8
3649 4^091 01
2769 76694 49
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1 . 19204 56765 80
i.î8958 90849 45
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g49 96076 34
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61
62
63
G4
65
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9.2i3i9 46949 81
2.24354 954 '6 99
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S898 14780 32
3o'35 4e4Sy 98
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67
68
69
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71
79
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67
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70
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1 . loioÇ 21687 58
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1 .07640 5ii3o 76
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71
70
74
75
76
77
78
79
80
a. 66073 Ï449G 27
a. 69981 97300 61
a. 6621 3 80046 3o
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a. 76806 3 1453 69
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i.o6io5 93337 54
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i.o4oi 1 4^957 06
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632 49333 i5
a. 83267 26829 18
9.90266 4^4*^^ 70
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81
8a
83
84
85
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i.o923i 26881 68
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6q4 58426 5o
553 io3i5 73
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81
82
83
84
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87
88
89
90
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1 .00268 4o855 28
1 ,00076 16777 03
I . 00000 00000 00
338 93696 98
967 46016 81
i83 96078 26
76 16777 oa
86
87
88
89
— «
4.06276 81690 49
4-33865 39760 00
4.74271 72669 79
5.43490 98996 a5
5 log hyp. 1
28689 58064 5i
4o4o6 32899 79
69219 26643 4^
TABLE IX.
541
5
o°
E(o»).
E(x»).
E(2°).
E(3»).
E(4o).
£(5°).
0.00000 00000
0.00000 00000
0.00000 00000
0.00000 00000
0.00000 00000
0.00000 ooooc
1
0.01745 SaqaB
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0.01745 32914
0.01745 32901
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0.01745 3285H
2
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3
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G
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.9
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lO
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ib"
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i8
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',9
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'62
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7^/X
00
54^
TABLE IX.
é
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F(oo).
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o.coooo oocoo
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'.9
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QÔ
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i5o
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3i
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37
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38
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^9
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40
41
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44
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0.76827 i5525
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45
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0.78641 9897c
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0.78674 67437
0.78694 uogo
TABLE IX.
347
45°
ECO»).
E(i°).
E(2°).
E(3°).
£(4°).
E(5)
0.7S539 Si 634
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0.78520 26915
o.785o5 08471
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46
o.8oa85 i455q
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0.82020 68368
0.80264 38199
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p. 80227 53990
47
o.82o3o 47484
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48
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0.83711 lOOOl
49
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o.855i8 39142
o.855io 16802
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5o
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5i
Û.890U 79185
0.89008 j^j^^
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o-94'9o 94677
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55
56
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57
0.99483 76736
°- 99479 67005
0.99467 38i38
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58
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i .01224 81023
1.01211 95443
1 .01 190 53950
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1.01122 10715
5,q
1 .02974 4^'587
1 .02969 94623
1 .02956 5io8i
1 .02934 i3oi9
1 .02902 82193
1 .02862 6jo65
bo
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1 .04715 07815
1.04701 o5o8i
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6i
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1.06387 io55i
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62
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i.c8o83 51453
63
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64
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1. 11695 56647
1 . 11679 o535i
1 . ii65i 54542
1 . 1 i6i3 06237
1 . 11 563 63269
65
66
1.13446 4oi38
1.13440 67917
1.13423 5i668
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i.i5i38 27531
i . 13354 92892
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1 . 15191 73o63
i.i5i85 78833
1 . 15167 96563
i.i5oq6 73858
1 .15043 38520
67
1.16937 05988
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1 . 1 69 1 2 4^079
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68
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1 , 18675 99640
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1.18624 8'8iic
i.i858o 19413
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6-.9
I .20427 71839
1 .20421 09554
1 .20401 23] 52
i.2o368 13996
i.2o32i 84361
1 . 20262 37429
70
71
l .22173 Q/^J^^
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1 .221 1 1 37087
i . 22063 44340
1 .22001 87808
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i.238o4 99545
1 .23741 30725
72
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i . 25634 38572
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7^
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74
i.2qi54 36465
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i . 29029 38559
1.28959 17902
75
1 . 30899 ^9^.9°
I .30891 62961
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76
i .32645 023 1 5
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1.32611 77457
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1.325 12 ii2o3
1.32437 44705
77
1 .34390 35240
1.34381 78763
1.34356 09859
i .3431 3 3oi 16
1.34253 42180
1.34176 49755
78
i.36i35 68166
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1.36100 4^449
i.36o56 35o68
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7,9
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1 .3779g 3832 1
I .37735 94602
80
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1 .39542 40009
1 .41285 40269
1.39477 i652o
1 .59393 35839
8« ,
1.4 1371 66941
1 .4i362 08047
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82
i . 43 1 1 6 99866
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85
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1.44852 21767
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1.44771 37056
I .44700 68014
1 . 4A^°3 862 1 1
H4
1 .j^'6'ooj 65717
1 .46597 28452
1.46566 17245
1.465 14 33863
1.46441 8i25i
1.46348 6353o
85
86
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1.48310 4483o
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1.50087 ^xb^j
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1 .5oooo 25oi5
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1 ,49826 ll322
87
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i.5i832 47989
1-5 '798 9.9094
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1 .533o3 5255o
89
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i.55o42 21898
90
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1 . 57067 6709 1
i. 57031 79199
1 .56972 oi5o4
1.56888 37196
l .56780 90740 !
'
348
4^
47
48
\43
|5o
5i
52
53
54
55
TABLE IX.
56
57
58
I
6i
Ca
63
6-4
65_
b"b"
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68
6d
70
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84
72
73
74
75
76
77
78
79
80
j87
188
189
!9o
F(o-).
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0.80285
o.82o3o
0.83775
o. 85521
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81634
14559
47484
804 10
1 3335p
462600
F(i°).
.78541 98970
.80287 454^9
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92502
94247
o . 95993
121 10
45o36
77961
10886
79 i85;o. 8901 4 84593
.90760 338oo
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.95996 84106
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.01229
. 02974
.04719
45811
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09662
42587
75512
FCso).
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.06455
.08210
.09955
. 1 1701
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08437
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74288
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,18682
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22173
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,23918
,25663
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, 29 1 54
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37689
70614
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,32645
,34390
,36135
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023i5
35240
68166
01 091
34016
41371
43ii6
44862
4'^ 607
48352
66941
99866
32792
66717
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50098
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55334
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3i567
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.99487 ^Q^^j
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F (3°).
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o.8o3o5 91841
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o . 83799 I 367 1
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, 16992 56927
, 18739 94229
,20487 344.39
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F (8°).
F (3°).
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b'.9
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7'à
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76
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TABLE IX.
§153
1
2
3
4
_5_
6
7
8
9
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12
i3
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TABLE IX.
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47
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